LINGUAGENS FORMAIS E AUTÔMATOS

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1 LINGUGENS FORMIS E UTÔMTOS Introdução reve Histórico Em 1936, lan Turing (matemático) propôs a possibilidade de se construir um computador digital através da formalização de um procedimento em tempo finito. Turing estabeleceu um modelo formal de algoritmo. Ele reduziu os vários sistemas formais a um sistema básico, tornando possível o computador digital. Um sistema formal é como um jogo rigorosamente definido, onde regras para manipulação dos símbolos são especificadas. Neste é estabelecido a natureza dos símbolos, a situação inicial e uma lista de movimentos permitidos a uma dada posição. lan Turing criou uma máquina que executava operações sobre a teoria dos números por meio de regras de um sistema formal, embutidas na mesma. Isso gerou uma nova perspectiva para formalizar a matemática. Turing descobriu que os números são mais importantes como símbolos. o longo Church apresentou a Tese de Church qualquer procedimento pode ser descrito por uma máquina de Turing, ou seja, qualquer processo aceito por nós homens como um algoritmo é precisamente o que uma Máquina de Turing pode fazer. Em outras palavras, qualquer computação que pode ser descrita por uma máquina de Turing pode ser executada mecanicamente e vice-versa teoria das linguagens formais surgiu nas décadas de 1940 e Seu objetivo inicial era modelar a função do cérebro, desenvolvendo teorias relacionadas com as linguagens naturais. Em 1969, S. Cook estendeu o estudo de Turing do que podia e do que não podia ser calculado. Cook conseguiu separar os problemas que podem ser resolvidos de forma eficiente por computadores daqueles problemas que podem em principio ser resolvidos, mas que, na prática, levam tanto tempo que os computadores são inúteis para solucionar todas as instâncias do problema, exceto aquelas muito pequenas, Os problemas dessa última classe são chamados intratáveis ou NP-difíceis. J. E. Hopcroft Porque Estudar LF? presenta uma fundamentação matemática da computação (fornece provas). É pré-requisito essencial para a disciplina de compiladores Dá suporte à verificação da computabilidade de problemas (problemas reais têm solução computacional).

2 Para entender a complexidade de um problema. Um problema pode ser fácil ou difícil de se resolver. complexidade de algoritmos pode fazer esta classificação baseando-se na dificuldade computacional do problema. Para entender a teoria computacional. lguns problemas básicos não podem ser resolvidos. Ela classifica os problemas em solúveis e não solúveis Sintaxe e Semântica Linguagens Formais preocupa se com os problemas sintáticos das linguagens. ssim, inicialmente, é importante introduzir os conceitos de sintaxe e de semântica de linguagens. Paulo. Menezes sintaxe e a semântica são dois componentes importantes das linguagens de programação. Sintaxe é conjunto de regras formais que especifica a composição de programas (letras,digitos, ), while, do....) e semântica é o conjunto de regras que especificam o significado de algum programa sintaticamente válido. Sintaxe é dividida em: 1. nálise Léxica (regras léxicas): São regras que especificam um conjunto de caracteres que constituem um alfabeto (símbolos elementares) é a maneira como tais caracteres podem ser combinados. Ela efetua a validação da formação das palavras de uma linguagem. 2. nálise Sintática (regras sintáticas): São regras que definem a forma da linguagem. Realiza a verificação da estrutura sintática da linguagem (sintaxe possui construções matemáticas bem definidas e universalmente reconhecidas). Teoria dos Conjuntos Conjunto é um grupo de objetos representados como uma unidade (sem repetições e sem qualquer ordenação). Ex.: conjunto das vogais. Elementos são membros ou objetos num conjunto. Ex.: a,e,i,o,u Dizemos que um elemento pertence ( ) ou não pertence ( ) quanto ele está ou não está em um conjunto, respectivamente. Ex.: a pertence ao conjunto das vogais Diagrama de Venn é a forma de se representar graficamente na teoria dos conjuntos. a e i o u universo (U) Conjunto Conjunto

3 é um subconjunto de se e somente se todo elemento de pertence também a, denotamos a continência da seguinte forma: {a, b} {a, b, c, d} {a, b, c} {b, c, d, e} Sendo,, e C três conjuntos arbitrários valem as seguintes propriedades: (reflexiva) 3. ( e ) = (anti-simétrica) 4. ( e C) C (transitiva) Dois conjuntos são iguais ( = ) se e somente se têm os mesmos elementos, caso contrário. Dados dois conjuntos e, chama-se reunião de e o conjunto formado pelos elementos que pertencem a ou a. {a,b} U {c, d} = {a, b, c, d} ; U = ; {a, b, c} U = {a, b, c}; U = U Dados dois conjuntos e, chama-se intersecção de e o conjunto formado pelos elementos que pertencem a e a. {a,b} {c, d} = (conjunto disjunto não tem elementos comum) {a, b, c} =

4 diferença de dois conjuntos é o conjunto formado pelos elementos de que não pertence a {a, b, c} {b, c, d, e} = {a} {a, b} {a, b, c, d, e} = = - O produto cartesiano de dois conjuntos ( x ) é o conjunto de todos os pares onde o primeiro elemento é um objeto de e o segundo e um elemento de. Se = {1, 2, 3} e = {1, 2} então x = { (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 1)} O complementar de um conjunto, denominado, é o conjunto de todos os elementos que não pertence a. = ; U = U. definição de um conjunto pode ser dada através da: denotação por extensão onde é dada uma lista de todos os elementos do conjunto numa ordem qualquer, separados por vírgula e entre chaves, como por exemplo: V = {a,e,i,o,u} denotação por compreensão onde o conjunto é definido por sua propriedade, como por exemplo: P = {n N n é número par} lguns conjuntos bem conhecidos são: O conjunto dos números naturais, denotado por N. N={0,1,2,3,...} O conjunto dos números inteiros, denotado por Z. Z={...,-2,-1,0,1,2,...} O conjunto dos números reais, denotado por R. Conceitos ásicos Um alfabeto, denotado por, é um conjunto finito não vazio de símbolos. SCII e ECDIC são exemplos de alfabetos de computadores. Exemplos: = {a, b, c,... } = {0, 1} (alfabeto binário) = {verde, amarelo, azul, branco} Um símbolo do alfabeto pode ter mais de um caractere. única restrição que temos é que o conjunto de símbolos é finito. Podemos usar reticências para definir alfabetos extensos.

5 definição de palavra está intimamente relacionada com a de alfabeto. Uma palavra é um conjunto de símbolos de um alfabeto. Dado um, a sequência de símbolos a 1 a 2 a 3... a n é uma palavra sobre se e somente se, para cada i= 1, 2, 3,..., n, a i pertença ao alfabeto. Exemplos: Dado = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } palavras sobre : {0, 11, 9787, 33} -11 não é uma palavra sobre o alfabeto por causa do sinal (-) Dado = {a, b,..., z} palavras sobre : {casa, zebra} fa3 não é uma palavra sobre o alfabeto por causa do 3 Dado um alfabeto e uma palavra x = a 1 a 2 a 3... a n sobre ; x denota o comprimento (tamanho) de x. Isto é: a 1 a 2 a 3... a n = n. Exemplos: = {a, b, c,... z} amor = 4 verde = 5 = {verde, amarelo, azul, branco} verde = 1 azulamarelo = 2 Palavra de comprimento 0, isto é, palavra que não possui nenhum símbolo é denominada palavra vazia. Denotaremos a palavra vazia por ε (epsilon) (alguns autores utiliza N). Note que ε é uma palavra e não um símbolo, logo ε não pode pertencer a nenhum alfabeto. Um prefixo (ou sufixo) de uma palavra é qualquer sequência inicial (final) de símbolos contígua da palavra. Exemplos: Dado = {a, b, c} e a palavra abcb Prefixos: ε, a, ab, abc, abcb Sufixos: ε, b, cb, bcb, abcb Subpalavras: qualquer sufixo ou qualquer prefixo Dado o alfabeto, sejam x = a 1 a 2 a 3... a n e y = b 1 b 2 b 3... b n palavras sobre, a concatenação de x e y é denotada por xy = a 1 a 2 a 3... a n b 1 b 2 b 3... b n. concatenação, portanto, é formada pelos símbolos de x seguidos de y. Deve-se observar que: x + y = xy xy é diferente de yx. ordem é importante. xε = x εx = x

6 Exemplos: Dado = {a, b}, x = abab e y = babab xy = ababbabab yx = babababab x 2 = xx = abababab εx = abab Dado um alfabeto e um inteiro não negativo k, definimos: k = {x x é uma palavra sobre e x = k} k é o conjunto de todas as palavras sobre de comprimento k. Exemplo: Dado o = {0, 1} 1 = {0, 1} 2 = {00, 01, 10, 11} 0 = {ε} Dado um alfabeto definimos: * = U k=0 até k = 0 U 1 U = U k=1 até k = 1 U 2 U = * - {ε } * é o conjunto de todas as palavras possíveis sobre o alfabeto + é o conjunto de todas as palavras possíveis e não vazias sobre o alfabeto * é um conjunto infinito sobre, cada palavra que pertence * tem comprimento finito definição de linguagem está intimamente relacionada com a de alfabeto e palavra. Uma linguagem é um conjunto de palavras sobre um alfabeto. Normalmente denotaremos uma linguagem pela letra L. Exemplo: Dado = {a,b,c}, podemos definir a. L1 = {ab, b, ca, cc} b. L2 = todas as palavras sobre que terminam com o símbolo a c. L3 = conjunto de todas as palavras sobre que possuam a subpalavra ab d. L4 = {x x é uma palavra sobre e x = 4} = 4 Na matemática os objetos são números e as ferramentas são operações para manipulá-los, como: + e x. Na teoria da computação os objetos são linguagens e as ferramentas são operações especialmente formuladas para manipular as linguagens. Vamos definir três operações chamadas operações regulares: Sejam e linguagens 1. = {x x ou x } junta todas as palavras de e 2. = {xy x e y } coloca uma palavra de em frente de uma palavra de de todas as formas possíveis 3. * = {x 1 x 2..., x k k 0 e cada x i } junta qualquer quantidade de palavras de para formar uma nova palavra. é sempre uma palavra de *

7 Exemplo: Dados = {a, b,..., z}; L1 = {bom, ruim}; L2 = {garoto, garota} L1 L2 = {bom, ruim, garoto, garota} L1 L2 = {bomgaroto, bomgarota, ruimgaroto, ruimgarota} L1* = {, bom, ruim, bombom, ruimruim,... } Revisão Exercícios 1) Provar as Leis de Morgan. 1. ( ) = 2. ( ) = 2) Examine as seguintes descrições formais dos conjuntos e escreva uma breve descrição informal em português para cada conjunto abaixo. 1. {1, 3, 5,7,...} 2. {..., -4, -2, 0, 2, 4,...} 3. {n n = 2m para algum m em N} 3) Dê a descrição formal dos conjuntos abaixo: 1. o conjunto contento os números 1, 10, o conjunto contento todos os inteiros maiores que 5 3. o conjunto contento todos os naturais menores que 5 4. o conjunto contento a palavra aba 5. o conjunto contento a palavra vazia 6. o conjunto vazio 4) Dado ={x,y,z} e ={x,y} 1. é subconjunto de? 2. é subconjunto de? 3. O que é? 4. O que é? 5. O que é x? 6. O que é - Conceitos ásicos 1) Escreva 3 palavras para cada um dos alfabetos abaixo: a. = {GU,, L } b. = {0, 1,..., 9, a, b,..., z } c. = {Maria, João, José} d. = {:, =, 0, 1,..., 9} 2) Dado = {a, b} escreva

8 a. todas as possíveis palavras de comprimento 1 b. todas as possíveis palavras de comprimento 2 c. todas as possíveis palavras de comprimento 3 d. uma palavra qualquer de comprimento 15 3) Dado = {do, re, mi, fa, sol, la, si} determine os comprimentos das palavras abaixo: a. re = b. sidoremi = c. misimisimisi = d. rerererererere = 4) Dado = { do, re, mi, fa, sol, la, si} e a palavra doremifa sobre determine: a. todos os sufixos b. todos os prefixos c. todas as subpalavras que não são sufixos e nem prefixos 5) Considere os alfabetos abaixo: a. = {V, F} b. = {a, b, c} c. = {Maria, João, Casa, oneca} Escreva todas as palavras possíveis para 1. Palavras com comprimento 4 para o alfabeto a. 2. Palavras com comprimento 2 para o alfabeto b. 3. Palavras com comprimento 2 para o alfabeto c. 6) Dadas as palavras x = VVF, y= abbc, z = VF, escreva os resultados das concatenações abaixo: a. xxy b. xyz c. xzy d. z 2 y e. zεy 3 f. εyx g. x 2 y 2 h. xy 3 x 7) Dado = {V, F}, determine os conjuntos abaixo: a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 8) Dado = {a, b, c}, determine os conjuntos 1 e 2