Existem conjuntos em todas as coisas e todas as coisas são conjuntos de outras coisas.

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1 MÓDULO 3 CONJUNTOS Saber identificar os conjuntos numéricos em diferentes situações é uma habilidade essencial na vida de qualquer pessoa, seja ela um matemático ou não! Podemos dizer que qualquer coisa pode ser resumida em números, desde a quantidade de alunos de uma sala até a quantidade de fios de cabelos da sua cabeça. Existem conjuntos em todas as coisas e todas as coisas são conjuntos de outras coisas. Capítulos do módulo: 1. Teoria dos conjuntos e Operações com conjuntos; 2. Conjuntos numéricos; 3. Notação matemática.

2 CAPÍTULO 1 Teoria dos conjuntos e Operações com conjuntos Os conjuntos são, basicamente, a organização de elementos de uma determinada especie, por exemplo, no conjunto dos números naturais positivos temos: 0, 1, 2, 3, 4, 5 e assim sucessivamente! Teoria? Teoria dos conjuntos é o ramo da matemática que estuda conjuntos, que são coleções de elementos. Embora qualquer tipo de elemento possa ser reunido em um conjunto, a teoria dos conjuntos é aplicada na maioria das vezes a elementos que são relevantes para a matemática. A linguagem da teoria dos conjuntos pode ser usada nas definições de quase todos os elementos matemáticos.

3 1.2 - Alguns conceitos! Teoria dos conjuntos começa com uma fundamental relação binária entre um objeto o e um conjunto A. Se o é um membro (ou elemento ) de A, nós escrevemos o A. Uma vez que conjuntos são objetos, a relação de pertinência também pode relacionar conjuntos. Uma relação binária derivada entre dois conjuntos é a relação subconjunto, também chamada ' está contido '. Se todos os elementos do conjunto A também são elementos do conjunto B, então A é um subconjunto de B, denotado por A B. Por exemplo, {1,2} é um subconjunto de {1,2,3}, mas {1,4} não é. A partir desta definição, é óbvio que um conjunto é um subconjunto de si mesmo; nos casos em que se deseja evitar isso, o termo subconjunto próprio é definido para excluir esta possibilidade. Assim como a aritmética caracteriza operações binárias sobre números, teoria dos conjuntos caracteriza operações binárias sobre conjuntos. O (A): União dos conjuntos A e B, denotada por A B, é o conjunto de todos os objetos que são membros de A, ou

4 B, ou ambos. A união de {1, 2, 3} e {2, 3, 4} é o conjunto {1, 2, 3, 4}. Interseção dos conjuntos A e B, denotada por A B, é o conjunto de todos os objetos que são membros de ambos A e B. A interseção de {1, 2, 3} e {2, 3, 4} é o conjunto {2, 3}. Diferença de conjuntos de U e A, denotada por U \ A é o conjunto de todos os membros de U que não são membros de A. A diferença de conjuntos {1,2,3} \ {2,3,4} é {1}, enquanto a diferença de conjuntos {2,3,4} \ {1,2,3} é {4}. Quando A é um subconjunto de U, a diferença de conjuntos U \ A é também chamada de complemento de A em U. Neste caso, se a escolha de U é clara a partir do contexto, a notação A c é algumas vezes usada no lugar de U \ A, particularmente se U é um conjunto universo como no estudo de diagramas de Venn. Diferença simétrica dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os objetos que são membros de exatamente um de A e B (elementos que estão em um dos conjuntos, mas não em ambos). Por exemplo, para os conjuntos {1,2,3} e {2,3,4}, o conjunto diferença simétrica é {1,4}. É o conjunto diferença da união e da interseção,, (A B) \ (A B). Conjunto das partes de um conjunto A é o conjunto cujos membros são todos os possíveis subconjuntos de A. Por exemplo, o conjunto das partes de {1, 2} é { {}, {1}, {2}, {1,2} }.

5 CAPÍTULO 2 Conjuntos numéricos Como falamos anteriormente, um conjunto é a organização de elementos de uma determinada espécie. Mas que espécie seria essa? Em matemática, falamos que os números são divididos em naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais Números naturais Os números naturais são todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representado pela letra maiúscula N. Caso queira representar o conjunto dos números naturais não nulos (excluindo o zero), deve se colocar um * ao lado do N: N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...} N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,...} Números inteiros Os números inteiros são todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos opostos (negativos). São representados pela letra Z: Z = {... 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,...} O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles são:

6 Inteiros não negativos São todos os números inteiros que não são negativos. Logo percebemos que este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais. É representado por Z+: Z+ = {0,1,2,3,4,5,6,...} Inteiros não positivos São todos os números inteiros que não são positivos. É representado por Z : Z = {..., 5, 4, 3, 2, 1, 0} Inteiros não negativos e não nulos É o conjunto Z+ excluindo o zero. Representa se esse subconjunto por Z*+: Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...} Z*+ = N* Inteiros não positivos e não nulos São todos os números do conjunto Z excluindo o zero. Representa se por Z*. Z* = {... 4, 3, 2, 1} Números racionais Os números racionais englobam os números inteiros (Z), números decimais finitos (por exemplo, 743,8432) e os números decimais infinitos periódicos (que repete uma sequência de algarismos da parte decimal infinitamente), como "12, ", são também conhecidas como dízimas periódicas.

7 Os racionais são representados pela letra Q Números irracionais Os números irracionais são formados pelos números decimais infinitos não periódicos. Um bom exemplo de número irracional é o número PI (resultado da divisão do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro), que vale 3, Também são irracionais todas as raízes não exatas, como a raiz quadrada de 2 (1, ) Números reais Esse conjunto é formado por todos os conjuntos citados anteriormente (união do conjunto dos racionais com os irracionais). Representado pela letra R.

8 CAPÍTULO 3 Notação matemática A lógica matemática só é possível através da linguagem matemática. Essa língua é formada por números, letras e, principalmente, símbolos! Mas que símbolos são esses? Existem diversos simbolos usados na matemática, mas como nosso foco é conjuntos, vamos lhe apresentar alguns simbolos usados nas orientações e operações(união, intersecção, etc) dos conjuntos. Logo, podemos dizer que, se um conjunto A tem os elementos 1, 2 e 3, então 3 A (3 pertence ao conjunto A). Um outro exemplo seria o conjunto A = {1, 2} e o conjunto B = {1, 2, 3}, podemos afirmar que A B (A está contido em B, pois todos os elementos de A estão em B, é como se A estivesse dentro do B).