Definição: Todo objeto parte de um conjunto é denominado elemento.

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1 1. REVISÃO 1.1. CONJUNTOS DEFINIÇÃO DE CONJUNTO Definição: Conjunto é toda coleção de objetos. Uma coleção de números é um conjunto. Uma coleção de letras é um conjunto. Uma coleção de nomes é um conjunto. Notação: Usualmente (mas não exclusivamente) notamos conjuntos com letras maiúsculas. Os objetos de um conjunto são relacionados entre chaves e separados por vírgulas ou outro separador. O conjunto A, coleção dos números 1, 2 e 3, é notado por A = {1, 2, 3} O conjunto B, coleção das letras a, b, c e d, é notado por B = {a, b, c, d} O conjunto Família, coleção dos nomes Jesus, Maria e José, é notado por Família = {Jesus, Maria, José} Definição: Todo objeto parte de um conjunto é denominado elemento. Nos exemplos anteriores, os objetos 1, 2 e 3 são elementos do conjunto A; os objetos a, b, c e d são elementos do conjunto B e os objetos Jesus, Maria e José são elementos do conjunto Família. Definição: Conjuntos com um número finito de elementos são denominados conjuntos finitos. Conjuntos com um número infinito de elementos são denominados conjuntos infinitos. Notação: Em conjuntos infinitos, usamos reticências para notar a relação infinita de elementos. Um conjunto de números inteiros pares pode ser notado na forma A = {0, 2, 4, 6, 8...} A ordem ou a repetição de elementos em um conjunto é irrelevante. O conjunto {1, 1, 2, 2, 3, 3, 3} é equivalente ao conjunto {1, 2, 3}

2 O conjunto {2, 3, 1} é equivalente ao conjunto {1, 2, 3} O conjunto {d, c, a, d, c, c, b} é equivalente ao conjunto {a, b, c, d} Conjuntos podem ser elementos de outros conjuntos. Os elementos do conjunto A = {1, 2, 3, {1, 2}} são 1, 2, 3 e {1, 2}. Este último elemento, por sua vez, também é um conjunto RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA Definição: Quando um dado objeto b é elemento de um conjunto B, dizemos que b pertence a B. Notação: Empregamos o símbolo, chamado de símbolo de pertinência, para notar a relação de pertinência entre um elemento e um conjunto. Para o contrário da pertinência, empregamos o símbolo. Dado o conjunto A = {1, 2, 3}, então 1 A, 2 A e 3 A. Também podemos dizer que 4 A, já que 4 não é elemento de A. É importante observar que a relação de pertinência expressa pelo símbolo envolve um elemento e um conjunto apenas, nunca dois elementos ou dois conjuntos, a não ser que se trate de um conjunto que atue como elemento. Exercício resolvido: Determine a falsidade ou veracidade das afirmativas abaixo: a) 2 {a, b, c} b) 3 {1, 2, 3, 4} c) 4 {2, 3, 4} d) {4} {2, 3, 4} e) {4} {2,3,{4}} Resolução: a) é falsa, pois 2 não é elemento do conjunto {a, b, c} b) é verdadeira, pois 3 é elemento do conjunto {1, 2, 3, 4} c) é verdadeira, pois 4 é elemento do conjunto {2, 3, 4} d) é falsa, pois o conjunto unitário {4} não é elemento do conjunto {2,3,4}, que tem como elemento apenas o número 4. e) é verdadeira, pois o conjunto unitário {4} é elemento do conjunto {2,3,{4}} CONJUNTOS ESPECIAIS a) Conjunto vazio. É o conjunto sem elementos. É notado pelo símbolo.

3 Conjuntos vazios devem ser explicitados com o par de chaves sem elementos. = {} Se A é um conjunto vazio, então A = {}. b) Conjunto unitário. É o conjunto com um único elemento. A = {1} B= {a} C = {João} c) Conjuntos numéricos. São conjuntos constituídos de números. Conjunto dos números naturais (inteiros não negativos) ou N = {0, 1, 2, 3, 4...} Conjunto dos números inteiros ou Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} Conjunto dos números racionais ou Q (números racionais são aqueles que podem ser expressos na forma de uma razão de inteiros, como 1/3, 7/11 etc. Dízimas períodicas como 0, também são racionais) Conjunto dos números reais ou R (conjunto dos números racionais e irracionais) Conjunto dos números complexos ou C d) Conjunto Universo. Denotado por U, é o conjunto que contém todos os elementos de interesse para um determinado problema. e) Conjunto complementar de um conjunto A em relação a U. É o conjunto de todos os elementos do conjunto universo U que não pertencem a A DEFINIÇÃO DE CONJUNTO POR PROPRIEDADES Um conjunto pode ser definido por uma propriedade P que seus elementos devem possuir. Nesse caso, notamos o conjunto conforme A = { x P(x) } Lemos essa expressão da seguinte forma: A é o conjunto dos elementos x tal que a propriedade P é satisfeita para todos os elementos. O símbolo significa tal que. O conjunto dos números pares dado acima, A = {0, 2, 4, 6, 8...}, pode ser definido por propriedades conforme

4 A = {x x = 2k, k N} Lemos essa expressão da seguinte forma: A é conjunto dos elementos x tal que todo x tem a forma x = 2k, em que k pertence ao conjunto dos números naturais. Isto é, k é um número inteiro não negativo e pode assumir os valores 0, 1, 2, 3 e assim por diante, e isso significa que a propriedade x = 2k nos indica que os elementos x assumem os valores 0, 2, 4, 6, e assim por diante. O conjunto {0,2,4,6,8...} é a forma explícita do conjunto definido. Exercício resolvido: Defina por propriedade o conjunto de números inteiros ímpares maiores que 4 e explicite a relação de elementos. Resolução: Se nomearmos o elemento de A, podemo definí-lo como A = {x x = 2k + 1, k N e x > 3}. Sua forma explícita é A = {5, 7, 9, 11...}. Obs.: Note a propriedade x = 2k + 1, com k N; como k assume os valores 0, 1, 2 etc, então x = 2k + 1 assume os valores 1, 3, 5, 7, 9, 11 etc. Para excluir os valores 1 e 3, que são menores de 4 e não pertencem ao conjunto, incluímos também a propriedade x > SUBCONJUNTOS, CONTINÊNCIA E IGUALDADE DE CONJUNTOS Definição: Se todo elemento de um conjunto A pertence a um conjunto B, então A é denominado subconjunto de B. A definição de subconjunto denota uma relação de continência entre conjuntos. Se A é subconjunto de B, podemos dizer de forma equivalente que A está contido em B, B contém A, ou ainda B é parte de A. Notação: Se A é subconjunto de B (ou A está contido em B, ou B contém A ), então notamos A B. Caso contrário, notamos A B. O símbolo é chamado de símbolo de continência. Se A = {1, 2} e B = {1, 2, 3}, então A B, pois os elementos 1 e 2 de A pertencem a B. Por outro lado, temos B A, pois nem todos os elementos de

5 B pertencem a A (há, neste caso, uma exceção, o elemento 3). É importante observar que a relação de continência expressa pelo símbolo envolve dois conjuntos apenas, nunca um elemento e um conjunto ou dois elementos. Definição: Se A é subconjunto de B e B é subconjunto de A, então dizemos que A e B são conjuntos iguais, isto é, se A B e B A, então A = B Exercício resolvido: Determine se os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {3, 2, 2, 1, 1, 1} são iguais. Resolução: Devemos determinar primeiramente se A e B são um subconjunto do outro. Vemos que todos os elementos de A (que são 1, 2 e 3) pertecem a B, logo A é subconjunto de (ou está contido em) B. Por outro lado, vemos que todos os elementos de B (que são 1, 2 e 3, ignorando ordem e repetição) pertencem a A, logo B é subconjunto de (ou está contido em) A. Como A B e B A, então A = B. Observações importantes: a) Todo conjunto é subconjunto dele mesmo (A A). b) O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto ( A). c) Se A B mas A B, dizemos que A é subconjunto próprio de B (este é o caso em que B tem elementos que A não tem). Definição: Conjunto potência de A ou conjunto das partes de A, notado por P(A), é o conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto A (isto é, os subconjuntos de A são elementos de P(A)). Se A possui n elementos, então P(A) possui 2 n elementos, pois esse é o número de subconjuntos de A. Se A = {1,2,3}, então P(A) = {, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}. Note que há n = 3 elementos em A e 2 n = 2 3 = 8 elementos em P(A) DIAGRAMAS DE EULER-VENN Conjuntos podem ser representados graficamente por diagramas de Euler-Venn, que são regiões planas delimitadas por curvas fechadas. Eventualmente os elementos podem ser explicitados no interior do diagrama.

6 O conjunto P = {16,18,20,22,24} pode ser representado pelo diagrama abaixo: (fonte da imagem: OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS As operações entre conjuntos são binárias, isto é, envolvem dois conjuntos e têm como resultado um terceiro conjunto UNIÃO DE CONJUNTOS A união dos conjuntos A e B, notada por A B (lê-se A união B ), é o conjunto dos elementos que pertencem a A ou que pertencem a B, isto é, A B = {x x A ou x B} A união de conjuntos pode ser representada graficamente pela parte hachurada nos diagramas de Venn-Euler abaixo: (fonte da imagem: Se A = {1, 2, 3} e B = {a, b, c}, então A B = {1, 2, 3, a, b, c}. Se A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4}, então A B = {1, 2, 3, 4}. Neste caso em particular, contabilizamos os elementos 2 e 3 apenas uma vez, pois a repetição de elementos é irrelevante em conjuntos INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS

7 A intersecção de conjuntos A e B, notada por A B (lê-se A intersecção B ), é o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a A e a B, isto é, A B = {x x A e x B} A intersecção de conjuntos pode ser representada graficamente pela parte hachurada nos diagramas de Venn-Euler abaixo: (fonte da imagem: ) Se A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4}, então A B = {2, 3}, pois os elementos 2 e 3 são os únicos presentes em ambos os conjuntos. Se A = {1, 2, 3} e B = {4, 5, 6}, então A B =, isto é, a intersecção de A e B é um conjunto vazio pois não há elementos em comum em A e B DIFERENÇA DE CONJUNTOS A diferença entre o conjunto A e o conjunto B, notada por A B (lê-se A diferença B ), é o conjunto dos elementos que pertencem a A mas não pertencem a B, isto é, A B = {x x A e x B} A diferença A B em geral não é igual à diferença B A. A intersecção de conjuntos pode ser representada graficamente pela parte hachurada nos diagramas de Venn- Euler abaixo: (fone da imagem: )

8 Se A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4}, então A B = {1}, pois o elemento 1 é o único que pertence a A e não pertence a B. Além disso, B A = {4}, pois o elemento 4 é o único que pertence a B e não pertence a A. Exercício resolvido: Sejam os conjuntos A = {1,2}, B = {2,3,4} e C = {4,5,6}. Determine: a) A B b) A B c) A C d) B C e) A (B C) f) A (C B) Resolução: a) A B = {1,2,3,4}; basta reunir todos os elementos de A e B, ignorando repetições. b) A B = {2}, pois o elemento 2 é o único pertencente a ambos os conjuntos. c) A C =, pois não há elementos em comum a ambos os conjuntos. d) B C = {2,3}, pois 2 e 3 pertencem a B mas não a C. e) note que B C = {4}, logo A (B C) = A {4} = {1,2,4}. f) note que C B = {5,6}, pois 5 e 6 pertencem a C mas não a B; logo A (C B) = A {5,6} =. Imagens: acesso em agosto de 2010

9 1.2. ELEMENTOS DE ÁLGEBRA EXPANSÃO DE PRODUTOS Em álgebra, é frequente termos de expandir produtos cujos fatores são expressões algébricas (polinômios, por exemplo). Para isso, aplicamos a propriedade distributiva da álgebra. Para recordar, a propriedade se verifica na multiplicação de um fator por uma soma ou subtração de termos. Sendo a, b e c números reais, variáveis ou expressões algébricas, a propriedade distributiva da álgebra nos diz que a(b + c) = ab + ac a(b c) = ab ac (a + b)c = ac + bc (a b)c = ac bc Em outras palavras, a multiplicação de um fator é distribuída pelos termos da soma ou da subtração do outro fator. a) (2 + x)y = 2y + xy b) (z 5)w = zw 5w c) (9 + 3)7 = = = 84 d) (4y 3)t = 4yt 3t Lembramos que na distribuição do produto pelos termos é preciso efetuar corretamente as regras de sinais. Exercício resolvido: Expanda as formas abaixo empregando a propriedade distributiva da álgebra: a) (x 2)y b) (x + 3y)(5 z) c) (x + 3y 4)(x 8) d) (a + b)(a c)(b + c) Resolução: a) (x 2)y = xy 2y b) Para expandir este produto, aplicamos a distribuição da multiplicação de um dos fatores para os termos do outro fator, e depois expandimos os termos obtidos:

10 (x + 3y)(5 z) = = x(5 z) + 3y(5 z) = = 5x xz +15y 3z Note que 3y.5 = 3.5y = 15y. c) Semelhante ao caso anterior: (x + 3y 4)(x 8) = = x(x 8) + 3y(x 8) 4(x 8) = = x 2 8x + 3yx 24 4x + 32 = = x 2 12x + 3yx + 8 Note que 3( 8) = 24, ( 4)( 8) = 32, 8x 4x = 12x e = 8 d) Para efetuar esta multiplicação com três fatores é conveniente fazer por partes, obtendo primeiramente a multiplicação de dois fatores por exemplo, os dois primeiros e em seguida substituir o resultado na expressão original para multiplicar com o fator restante: (a + b)(a c) = a(a c) + b(a c) = a 2 ac + ba bc Assim, temos (a + b)(a c)(b + c) = = (a 2 ac + ba bc)(b + c) = = a 2 (b + c) ac(b + c) + ba(b + c) bc(b + c) = = a 2 b + a 2 c abc ac 2 + ab 2 + abc b 2 c bc 2 = = a 2 b + a 2 c ac 2 + ab 2 b 2 c bc 2 Note que o termos abc e +abc se cancelam PRODUTOS NOTÁVEIS Produtos notáveis são produtos comuns e frequentemente empregados na álgebra. A memorização de suas formas expandidas, tais quais fórmulas matemáticas, é conveniente para o seu cálculo, já que isso exige menos esforço do que empregar diretamente a propriedade distributiva da álgebra. Sendo x e y números reais, variáveis ou expressões algébricas, os principais produtos notáveis são: a) Produto da soma pela diferença: (x + y)(x y) = x 2 y 2

11 Isto é, o produto da soma pela de diferença de dois números ou expressões equivale à diferença de seus quadrados. Essa identidade, assim como em qualquer produto notável, pode ser facilmente verificada expandindo o produto diretamente por meio da propriedade distributiva: (x + y)(x y) = = x(x y) + y(x y) = = x 2 xy + yx y = = x 2 y 2 a) (2 3)(2 + 3) = (2) 2 (3) 2 = 4 9 = 5 b) (x + 4)(x 4) = (x) 2 (4) 2 = x 2 16 c) (7 y)(7 + y) = (7) 2 (y) 2 = 49 y 2 d) (3x + 5y)(3x 5y) = (3x) 2 (5y) 2 = 3 2 x y 2 = 9x 2 25y 2 b) Quadrado de uma soma: (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 a) (5 + 2) 2 = = (5) 2 + 2(5)(2) + (2) 2 = = = = 49 De fato, (5 + 2) 2 = 7 2 = 49 b) (x + 1) 2 = = (x) 2 + 2(x)(1) + (1) 2 = = x 2 + 2x + 1 c) (3y + 4z) 2 = = (3y) 2 + 2(3y)(4z) + (4z) 2 = = 3 2 y yz z 2 = = 9y yz + 16z 2 c) Quadrado de uma diferença: (x y) 2 = x 2 2xy + y 2 a) (5 2) 2 = = (5) 2 2(5)(2) + (2) 2 =

12 = = = 9 De fato, (5 2) 2 = 3 2 = 9 b) (x 1) 2 = = (x) 2 2(x)(1) + (1) 2 = = x 2 2x + 1 Atenção: na aplicação das fórmulas, não devemos carregar o sinal negativo do termo 1 para dentro dos parênteses. Isto é, não devemos escrever (x) 2 2(x)( 1) + ( 1) 2, mas (x) 2 2(x)(1) + (1) 2, como está acima. A regra de sinal já está contemplada na fórmula. c) (3y 4z) 2 = = (3y) 2 2(3y)(4z) + (4z) 2 = = 3 2 y 2 24yz z 2 = = 9y 2 24yz + 16z 2 d) Cubo de uma soma: (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 (x + 1) 3 = = (x) 3 + 3(x) 2 (1) + 3(x)(1) 2 + (1) 3 = = x 3 + 3x 2 + 3x + 1 e) Cubo de uma diferença: (x y) 3 = x 3 3x 2 y + 3xy 2 y 3 (2x 3) 3 = = (2x) 3 3(2x) 2 (3) + 3(2x)(3) 2 (3) 3 = = 2 3 x x x = = 8 x x x.9 27 = = 8 x 3 72x x 27 f) Outros produtos notáveis: (x + y)(x 2 xy + y 2 ) = x 3 + y 3 (este resulta numa soma de cubos) (x y)(x 2 + xy + y 2 ) = x 3 y 3 (este resulta numa difrença de cubos) 4xy = (x + y) 2 (x y) 2 Há uma infinidade de outros produtos de interesse.

13 FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS A fatoração de um polinômio consiste em colocar um polinômio na forma de um produto de dois ou mais fatores. Um polinômio em x é qualquer expressão da forma a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 em que a são constantes reais. Se n é o maior expoente em x, dizemos que o polinômio possui grau n. Nem todo polinômio pode ser fatorado. Um polinômio que não pode ser fatorado é chamado polinômio irredutível ou polinômio primo. Podemos fatorar polinômios com a ajuda de produtos notáveis. Este é o caso dos polinômios que correspondem à forma expandida de produtos notáveis. a) fatoração da diferença de dois quadrados: 36x 2 4 = (6x) 2 (2) 2 = (6x + 2)(6x 2) Note que a diferença de dois quadrados corresponde ao produto notável de uma soma por uma diferença. b) fatoração de trinômios quadrados perfeitos 4x 2 + 2x + 1 = (2x) 2 + 2(x)(1) + (1) 2 = (2x + 1) 2 9x 2 12x + 4 = (3x) 2 2(3x)(2) + (2) 2 = (3x 2) 2 Nota: trinômios são polinômios com três termos. c) fatoração de soma e diferença de cubos 27x = (3x) = (3x + 2)((3x) 2 (3x)(2) + (2) 2 ) = (3x + 2)(9x 6x + 4) x 3 64 = x = (x 4)(x 2 + 4x ) = (x 4)(x 2 + 4x + 16) Outros polinômios podem ser fatorados por colocação de fatores em comum em evidência. x 3 y + xy 3 = (xy)x 2 + (xy)y 2 = (xy)(x 2 + y 2 ) 8x 3 + 4x 2 12x = (4x)2x 2 + (4x)x (4x)3 = (4x)(2x 2 + x 3) Imagens: acesso em agosto de 2010

14 1.3. TRIGONOMETRIA MEDIDAS DE ÂNGULOS O grau é uma medida de ângulo. Um grau, notado por 1 o, equivale a 1/180 de um ângulo raso ou 1/360 de um ângulo correspondente a uma volta completa em torno de um eixo. Outra medida de ângulo é o radiano. Um radiano, denotado por 1 rad, equivalente ao ângulo central quando o comprimento de arco equivale ao raio da circunferência em questão (veja figura abaixo). (fonte da imagem: Há uma equivalência entre grau e radiano: π radianos equivalem a 180 graus (π é uma constante numérica equivalente a 3, ). Exercício resolvido: a) Qual o valor de 90 o em radianos? b) Qual o valor de π/6 radianos em graus? Resolução: a) Seja x o valor procurado. Como π rad = 180 o, então temos 180 = x 90 Segue que x = 90(π/180) = π/2 radianos. Logo, 90 o = π/2 rad. b) Seja x o valor procurado. Como π rad = 180 o, então temos 180 = /6 x Segue que x = 180/6 = 30 graus. Logo, π/6 rad = 30 o.

15 COMPRIMENTO DE ARCO Em uma circunferência de raio r, o comprimento s do arco subentendido por um ângulo θ em radianos é s = Rθ Se o ângulo é dado em graus, s é dado por s = π r θ / 180 Exercício resolvido: Qual é o valor do perímetro de uma fatia de pizza com ângulo central de 45 o se o raio da pizza for de 30cm? Resolução: O perímetro da fatia é dado por P = 2R + s. O valor de s é dado por s = π r θ / 180 = π (30cm) 45 o / 180 = 7,5 π 23,5 cm Assim, o perímetro é P 2(30cm) + 23,5 cm = 83,5 cm TRIÂNGULOS RETÂNGULOS E O TEOREMA DE PITÁGORAS Um triângulo retângulo é um triângulo em que um dos ângulos internos é reto, isto é, possui 90 graus. Os lados menores de um triângulo retângulo são chamados catetos, e o lado menor é chamado hipotenusa (ver figura logo abaixo). A relação entre catetos e hipotenusa é dada pelo Teorema de Pitágoras: o quadrado do valor da hipotenusa equivale à soma dos quadrados dos valores dos catetos. Isto é, se a é o valor da hipotenusa e b e c são os valores dos catetos de um triângulo retângulo, então a 2 = b 2 + c 2 (Teorema de Pitágoras) Nota: a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180 graus. Exercício resolvido: Se um cateto de um triângulo retângulo tem comprimento 7 e a hipotenusa tem comprimento 11, qual é o valor do outro cateto? Resolução: Se x é o cateto desconhecido, temos, pelo Teorema de Pitágoras: 11 2 = x 2

16 Segue que x 2 = = = 72 Logo, x = 72 = 6 2 8, MEDIDAS TRIGONOMÉTRICAS As principais medidas trigonométricas associadas um ângulo são definidas a partir do triângulo retângulo, como na figura abaixo. (fonte da imagem: ) Exercício resolvido: Um triângulo retângulo com hipotenusa de comprimento 8 possui um ângulo interno de 30 o. Sabendo que sen 30 o = ½, determine: a) o valor dos catetos dos triângulos b) o valor de cos 30 o e tg 30 o.

17 Resolução: a) Se chamarmos b o cateto oposto ao ângulo de 30 o, pela definição de seno temos que sen 30 o = (cateto oposto a 30 o ) / (hipotenusa) = b / 8 Como sen 30 o = ½, logo b/8 = ½. Segue que b = 8/2 = 4. Se chamarmos c o cateto adjacente a 30 o, pelo Teorema de Pitágoras temos 8 2 = c 2 Logo c 2 = = = 48. Segue que c = 48 = Nota: 48 = 4.12 = 4 12 = 2 12 b) Por definição, temos cos 30 o = (cateto adjacente a 30 o ) / (hipotenusa) = c / 8 = = 12 4 e tg 30 o = (cateto oposto a 30 o ) / (cateto adjacente a 30) = b / c = = 12 6 Nota: = 2 12 = = = 12 6 Imagens: acesso em agosto de 2010

18 2. MATRIZES 2.1. DEFINIÇÃO Matrizes são arranjos bidimensionais de números. Têm aplicações, por exemplo, na resolução de sistemas de equações lineares e no armazenamento de dados. Definição: Uma matriz m x n, com m e n inteiros positivos, é a tabela retangular de m linhas e n colunas, conforme a notação [a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn] em que a ij é a notação de duplo índice para os elementos da matriz, sendo i o índice da linha e j o índice da coluna. A notação compacta [a ij ] pode ser empregada para representar toda a matriz acima. Também chamamos m x n de ordem da matriz. a) matriz de ordem 3 x 2 (isto é, com 3 linhas e 2 colunas) [ 1 3 0, ] b) matriz de ordem 2 x 4 (com 2 linhas e 4 colunas) [ 1/ ] c) matriz de ordem 1 x 3 (1 linha e 3 colunas) [ 1 7 0,5] Matrizes com apenas uma linha são chamadas matrizes linha. d) matriz de ordem 4 x 1 (4 linhas e 1 coluna) [ 10 ] Matrizes com apenas uma coluna são chamadas matrizes coluna.

19 e) matriz de ordem 2 x 2 (2 linhas e 2 colunas) [ ] Matrizes em que o número de linhas é igual ao número de colunas (m = n) são chamadas matrizes quadradas IGUALDADE DE MATRIZES Definição: Duas matrizes são iguais se seus elementos de posição correspondente forem iguais. Isto é, [a ij ] = [b ij ] se e somente se a ij = b ij para todo i e j. Observa-se que matrizes só podem ser iguais se forem da mesma ordem. Exercício resolvido: Considere as matrizes A e B tal que A=[ 1 y 5] B=[ x 7 ser os valores das incógnitas x, y, z e w para que A = B? 3 w]. Quais devem Resolução: Se devemos ter A = B, então impomos [ 1 x y 5] [ = z 7 3 w] Logo, fazendo a correspondência entre elementos de mesma posição, temos que x = 7, y = 3, z = 1 e w = ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES Se A = [a ij ] e B = [b ij ] são matrizes m x n, então A + B = [a ij + b ij ] e A B = [a ij b ij ], ambas também matrizes m x n. Note que matrizes de ordens diferentes não podem ser somadas ou subtraídas. Se A = [ ] e B = 1 8 [ 2 9 ], então A + B = [ ] [ 1 8 A B = [ ] [ ] [ = ] [ = ] [ = ] [ = ] 16 ] e

20 2.4. PRODUTO DE MATRIZ POR ESCALAR Se A = [a ij ] é uma matriz m x n e k é um número real, então ka = [ka ij ], de ordem m x n. Se k = ½ e A = [ ], então ka = 1 2[ ] =[ ] PRODUTO DE MATRIZES Se A = [a ij ] é uma matriz m x r e B = [b ij ] é uma matriz r x n, então AB = [a i1 b 1j + a i2 b 2j a ir b rj ], de ordem m x n. Isto é, o elemento ij da matriz produto AB é a soma de produtos dos elementos da linha i da matriz A com os elementos da coluna j da matriz B. Note que, para o produto AB existir, o número de colunas da matriz A deve ser igual ao número de linhas da matriz B. Neste caso, a matriz AB terá como número de linhas o número de linhas de A e como número de colunas o número de colunas de B. A multiplicação de matrizes nem sempre é comutativa, isto é, de modo geral AB não é igual a BA. Exercício resolvido: Determine o produto das matrizes abaixo: a) A = [ ] [ 1 ] e B = 0 1 b) A = [ ] e B = 1 8 [ 2 9 ] Resolução: a) A é de ordem 2 x 3 e B é de ordem 3 x 1. Como há 3 colunas em A e 3 linhas em B, o produto AB é possível e tem ordem 2 x 1. Assim, AB = [ ] [ 1 ]. 0 [ = ] [ = ] = [ 1 6 ]

21 b) A é de ordem 2 x 3 e B é de ordem 2 x 2. Como há 3 colunas em A e 2 linhas em B, o produto AB não é possível MATRIZ IDENTIDADE A matriz identidade, denotada por I, é uma matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal (que vai do canto superior esquerdo ao canto inferior direito) tem valor 1 (um) e os demais são nulos. O produto de uma matriz quadrada A qualquer por uma matriz identidade equivale à matriz A. Isto é, IA = AI = A. A matriz identidade 2 x 2 é I = [ ] A matriz identidade 3 x 3 é I = [ ] 2.7. MATRIZ INVERSA A inversa de uma matriz quadrada A, ou matriz inversa de A, denotada por A 1, é aquela tal que A 1 A = A A 1 = I (isto é, o produto de uma matriz por sua inversa equivale à matriz identidade). Note que A 1 tem a mesma ordem de A. Nem todas as matrizes quadradas possuem inversa. Observação: o superscrito 1 denota apenas a inversa de uma matriz; A 1 não significa 1/A, o que seria absurdo, pois a divisão de um número por uma matriz não tem significado. Caso particular: a inversa de uma matriz [ x z 1 xw zy [ w y z x ]. y w], de ordem 2 x 2, é A inversa da matriz [ ] é [ ] 1 1 = [ ] = 1 8 [ ] =[ ]

22 O(a) aluno(a) poderá verificar que [ ].[ ] =[ ].[ ] = [ ], o que demonstra que a matriz obtida é, de fato, a inversa.

23 1 - Sejam os conjuntos A = {1,2,3,4,5} e B = {2,4,5}. Considere as seguintes sentenças: 1) 2 A 2) 4 B 3) B A 4) 1 B 5) A = B Denotando V para verdadeiro e F para falso, como você classificaria as sentenças acima, respectivamente? A) V, V, V, V, F B) V, V, F, V, F C) V, V, F, V, V D) V, F, V, F, V E) V, F, V, F, F 2 - Considere as sentenças abaixo: 1) 1 {1} 2) 1 {{1}, {2}} 3){1} {1, {1}} 4) {1,2, {1}} 5) {1,2, {1}} Denotando V para verdadeiro e F para falso, como você classificaria as sentenças acima, respectivamente? A) F, V, V, V, F B) F, V, F, V, V C) V, V, F, F, F D) V, F, V, F, V E) V, F, V, V, F 3 - As formas explícitas dos conjuntos A = {x x = 2k, k é inteiro, x > 4} e B = {x x 5, x é inteiro par} são, respectivamente: A) {6,8,10,12...} e {5,6,7,8...} B) {6,8,10,12...} e {6,8,10,12...} C) {5,6,7,8...} e {6,8,10,12...} D) {5,6,7,8...} e {5,6,7,8...} E) {5,6,7,8...} e {5,7,9,11...} 4 - Dado o conjunto A = {1,2,x}, qual dos conjuntos abaixo explicita o conjunto das partes de A? A) { {}, {1}, {2}, {x}, {1,2}, {1,x}, {2,x}} B) { {1}, {2}, {x}, {1,2}, {1,x}, {2,x}, {1,2,x} } C) { {}, {1}, {2}, {x}, {1,2}, {1,x}, {2,x}, {1,2,x} } D) { {}, 1, 2, 3, (1,2), (1,x), (2,x), (1,2,x) } E) { (1,2), (1,x), (2,x), (2,1), (x,1), (x,2) } 5 - Considere os conjuntos A = {2,4,6,8,10,12}, B = {3,6,9,12,15} e C = {0,5,10,15,20}. Qual das alternativas expressa, respectivamente, as operações (A B) (B C) e (A B) (C A)? A) {6,12} e { } B) {6,12} e {0,3,5,6,9,10,12,15,20} C) {6,12} e {0, 5, 15, 20} D) {2,4,8,10} e {0, 5, 15, 20} E) {2,4,8,10} e { }

24 ALGEBRA 1 - Quais são, respectiv, as formas expandidas dos produtos (x + 3)(x - 7) e (3x -2)(4x + 1)? A) x 2 + 4x - 21 e 12x x 2 B) x 2-4x - 21 e 12x 2-11x + 2 C) x 2-4x + 21 e 12x 2-11x 2 D) x 2 + 4x + 21 e 12x x - 2 E) x 2 + 4x - 21 e 12x x Qual é a forma expandida do produto (2x - 3y)(3x + 2y)? A) 6x 2 + 4xy - 6y 2 B) 6x 2-9xy + 6y 2 C) 6x 2 + 5xy - 6y 2 D) 6x 2-5xy - 6y 2 E) 6x 2-5xy + 6y 2 3 -Quais são,respec, as formas expandidas dos produtos (x 2 + 5)(x 2-5) e (3x + 7y)(3x - 7y)? A) x 4-25 e 9x 2-49y 2 B) x e 9x y 2 C) x 2-25 e 9x 2-49y 2 D) x e 3x y 2 E) x 2-5 e 3x 2-7y Quais são, respectivamente, as formas expandidas dos produtos (3x + 1) 2 e (x - 3y) 2? A) 9x 2-6x + 1 e x 2-6x + 9 B) 9x 2-6x + 1 e 9x 2-6xy + y 2 C) 9x 2 + 6x + 1 e x 2 + 6x 9 D) 9x 2 + 6x + 1 e 9x 2-6xy + y 2 E) 9x 2 + 6x + 1 e x 2-6xy + 9y Qual é a forma expandida do produto (2x - 1) 3? A) 8x x 2 + 6x + 1 B) - 8x x 2-6x + 1 C) 8x 3-12x 2 + 6x 1 D) 4x 3-6x 2 + 3x 1 E) - 4x 3 + 6x 2-3x Um dos fatores da forma fatorada de 9-16x 2 é : A) 3-4x B) 3x - 4 C) 3x + 4 D) x 3 E) x As formas fatoradas dos trinômios 25x 2-20x + 4 e 4x x + 25 são, respectivamente: A) (2x + 5) 2 e (5x - 2) 2 B) (2x - 5) 2 e (5x + 2) 2 C) (5x + 2) 2 e (2x - 5) 2 D) (5x - 2) 2 e (2x + 5) 2 E) (5x + 2) 2 e (2x - 5) 2 Qual é o fator em comum aos termos do trinômio 3x 3 y - 6x 2 y 2 + 9xy 3? A) - 3xy 2 B) 3xy C) - 3x 2 y D) 3x 2 y 2 E) xy

25 TRIGONOMETRIA 1 - Qual o valor, em graus, de 3/5 radianos? A)36 graus B)3/5 graus C)3/5 graus D)108 graus E)54 graus 2 - Qual o valor, em radianos, de 140 graus? A) 7/9 radianos B) 140 radianos C) 20/9 radianos D) 14/9 radianos E) 126 radianos 3 - Se o perímetro de uma fatia de pizza equivale a cinco vezes o raio da pizza, qual é o valor, em radianos, do ângulo central da fatia? A) 2 radianos B) 3/ radianos C) 3 radianos D) 3 radianos E) 5 radianos 4 - Considere um triângulo retângulo em que um dos catetos tem valor 16 e a hipotenusa tem valor 20. Qual é o valor do outro cateto? A) 2 B) 144 C) aproximadamente 25,6 D) 656 E) Considere um triângulo retângulo para o qual x é um dos ângulos internos. Se o cateto oposto a x tem valor 13 e a hipotenusa tem valor 85, qual é o valor do cosseno de x? A) 13/85 B) 84/85 C) 85/84 D) 13/84 E) 85/13

26 MATRIZES 1 - Considere a matriz. Qual das afirmativas abaixo é falsa? A) A ordem da matriz é 3 x 2. B) A matriz não é uma matriz coluna. C) A matriz não é uma matriz linha. D) A matriz não é quadrada. E) O valor do elemento da segunda linha e terceira coluna não é Se as matrizes e são iguais, quais são os valores das incógnitas? A) A igualdade entre as matrizes não é possível. B) Não é possível determinar o valor das incógnitas. C) x =3, y = 1/2, w = 3 e z = 1/3. D) x = 1, y = 2, w = -1 e z = 3. E) x = 3, y = 2, w = -3 e z = 1/3 3 - Qual é o valor da soma dos elementos da matriz resultante da operação? A) 4 B) 7/3 C) 5 D) 19/3 E) Qual é o valor da soma dos elementos da matriz dada pelo produto? A) -1 B) 5 C) 4 D) -5 E) O produto não é possível. 5 - Uma empresa produz N produtos em M fábricas. A produção dessa empresa num determinado período de tempo é expressa por uma matriz Q de ordem N x M, em que cada elemento é a quantidade produzida do produto i na fábrica j. Os preços de venda dos produtos praticados pela empresa no atacado podem ser expressos por uma matriz linha P de ordem 1 x N, em que cada elemento representa o preço de um produto. Supondo que cada produto produzido foi vendido, como podemos expressar por meio de operações entre as matrizes definidas a receita das vendas por fábrica no referido período de tempo? A) Não há informação suficiente para fornecer uma resposta. B) NMPQ C) NMQP D) PQ E) QP 6 - Sejam as matrizes A, B e C. Se AB = BA = A e AC = CA = B, o que podemos dizer das matrizes?

27 A) A = B = C. B) A é uma matriz identidade, B é uma matriz qualquer e C é a matriz inversa de A. C) A é uma matriz identidade, B é uma matriz qualquer e C é a matriz inversa de B. D) A é uma matriz qualquer, B é uma matriz identidade e C é a matriz inversa de A. E) A é uma matriz qualquer, B é a matriz inversa de A e C é uma matriz identidade.