MATEMÁTICA 1 ARITMÉTICA Professor Matheus Secco

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2 MATEMÁTICA 1 ARITMÉTICA Professor Matheus Secco MÓDULO 3 Números Racionais e Operações com Frações

3 1.INTRODUÇÃO Quando dividimos um objeto em partes iguais, uma dessas partes ou a reunião de várias delas formam uma fração desse objeto. p Assim, uma fração (número racional) é um número da forma, onde p é o chamado q numerador e q é o chamado denominador. Veja que q representa o total de partes em que o objeto foi dividido e p o número de partes consideradas. O conjunto de todas as frações é o chamado conjunto dos números racionais (Q). OBSERVAÇÃO: Em uma fração, o denominador é SEMPRE diferente de zero! Exemplo: Se pedirmos uma pizza que vem cortada em 8 pedaços e eu comer destes 5 pedaços, terei comido da pizza. 8

4 2. CLASSIFICAÇÕES DAS FRAÇÕES 2.1. FRAÇÃO PRÓPRIA: É aquela em que o numerador é menor que o denominador. Exemplo: ,, FRAÇÃO IMPRÓPRIA: É aquela em que o numerador é maior que o denominador. Exemplo: ,,

5 2.3. FRAÇÃO APARENTE: É aquela em que o numerador é múltiplo do denominador. Na verdade, tal fração é um número inteiro. Exemplo: ,, FRAÇÃO IRREDUTÍVEL: É aquela em que o numerador e o denominador não possuem nenhum fator em comum, são ditos números primos entre si. Exemplo: ,,

6 2.5. FRAÇÃO DECIMAL: É aquela em que o denominador é uma potência de 10 (10, 100, 1000,...) Exemplo: 3 7, FRAÇÃO ORDINÁRIA: É aquela em que o denominador não é uma potência de 10, ou seja, uma fração que não é decimal. Exemplo: 3 7, 5 20

7 2.7. FRAÇÕES EQUIVALENTES: São frações que possuem o mesmo valor. 2 4 e 4 8 Exemplo: são frações equivalentes, pois ambas correspondem a. 1 2 Duas frações a b e c d são equivalentes quando ad = bc. OBSERVAÇÃO: A classe de equivalência de uma fração é o conjunto de todas as frações equivalentes a ela.

8 3. NÚMERO MISTO Um número misto é uma representação alternativa para uma fração imprópria Por exemplo, pode ser representado neste formato ou ainda como 4 (4 inteiros e 1 terço) REDUÇÃO DE FRAÇÕES A UM DENOMINADOR COMUM O passo a passo é: (i) Colocar as frações na sua forma irredutível (ii) Calcular o mínimo múltiplo comum (mmc) dos denominadores (iii) Dividir o mmc obtido por cada um dos denominadores (iv) Multiplicar os quocientes obtidos pelos dois termos da fração correspondente

9 Exemplo: Reduzir as frações 5 18, 7 33 ao mesmo denominador: Passo (i): 5 6, 7 11 Passo (ii): m.m.c (7, 11) = 77 Passo (iii): 77:7 = 11 ; 77:11 = 7 Passo (iv): e

10 5. COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES 5.1. FRAÇÕES COM O MESMO DENOMINADOR: A maior fração é aquela que possui o maior numerador Exemplo:, pois as frações possuem o denominador comum 11 e FRAÇÕES COM O MESMO NUMERADOR: A maior fração é aquela que possui o menor denominador Exemplo:, pois as frações possuem o numerador comum 5 e 7 < 12.

11 5.3. FRAÇÕES COM NUMERADORES E DENOMINADORES DIFERENTES: Reduz-se as frações ao mesmo denominador ou ao mesmo numerador (o que for mais conveniente) e procede-se como no caso 1 ou como no caso 2. Exemplo: 1) Comparar. Reduzindo ao mesmo denominador, temos. Como o numerador da primeira é maior que o da segunda e ambas tem o mesmo denominador, temos que. 5 6 e e 77 77

12 5 4 e ) Comparar. Nesse caso, como os denominadores são grandes, vale mais a pena reduzir as duas frações ao mesmo numerador Temos que e que. Como 1035 > 844 e as frações possuem o mesmo numerador, temos que a primeira fração é a maior. Assim,.

13 6. OPERAÇÕES COM FRAÇÕES 6.1. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO: Para efetuar essas operações, devemos reduzir as frações a um denominador comum. Feito isso, basta somar ou subtrair os numeradores. Exemplo: MULTIPLICAÇÃO: Basta multiplicar os numeradores e os denominadores. Exemplo: 2 5 (2 5) (3 7) 21

14 6.3. DIVISÃO: Basta multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda. Exemplo: : NÚMEROS DECIMAIS É aquele número que possui uma parte inteira e uma parte decimal (escrita após a vírgula ou ponto, que são os sinais demarcadores da parte inteira e decimal). Um número decimal pode ter representação finita, representação infinita periódica ou representação infinita não periódica. Nos dois primeiros casos, estaremos lidando com números racionais, enquanto no último caso temos um número irracional.

15 O melhor jeito de lidar com números decimais é escrevendo-os na forma de fração, seguindo o seguinte método: Quando a representação for finita, é fácil converter o número para fração, por exemplo, 123 0, Quando a representação for infinita periódica, teremos um pouco mais de trabalho, como veremos a seguir. Todo número racional é um número decimal com representação finita ou infinita periódica!

16 8. DÍZIMAS PERIÓDICAS São os números decimais cujos algarismos após a vírgula seguem um padrão de repetição a partir de algum momento. Exemplo: 0, e 0, Em uma dízima periódica, o conjunto de algarismos que se repete infinitamente é chamado de período da dízima CLASSIFICAÇÃO DAS DÍZIMAS: i) Dízimas Periódicas Simples: aquelas onde o período se apresenta imediatamente após a vírgula. Exemplos: 7 8 0, ,7; 2, ,6 9 3

17 ii) Dízimas Periódicas Compostas: aquelas onde entre o período e a vírgula, existe uma parte não periódica. Exemplo: 14 0, ,93 15 igual a 9 e período igual a 3. é uma dízima composta com parte não-periódica OBSERVAÇÃO: A barra em cima do número após a vírgula indica que aquele é o período da dízima. A seguir, veremos como transformar uma dízima em sua fração equivalente (chamada de fração geratriz):

18 8.2. CÁLCULO DA FRAÇÃO GERATRIZ: i) Dízimas Periódicas : O numerador é a parte inteira seguida da parte periódica subtraída da parte inteira. Enquanto isso, o denominador é um número formado por tantos noves quantos forem os algarismos do período. Exemplos: , ,

19 ii) Dízimas Periódicas Compostas: O numerador é a parte inteira seguida da parte não periódica e periódica, subtraindo-se a parte inteira seguida da não periódica. Enquanto isso, o denominador é um número formado por tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica. Exemplos: 27, ,

20 Uma outra maneira de se encontrar a fração geratriz é a seguinte, que mostraremos através de dois exemplos. Seja x = 15, A ideia é multiplicar x por 100, obtendo 100x = 1528, Veja agora que os dois números obtidos coincidem após a vírgula. Subtraindo-os, obtemos x x 99 Seja agora y = 4, Multiplicaremos inicialmente y por 100 para eliminar a parte não periódica, obtendo assim 100y = 476, Agora, multipliquemos este último número por 100 e assim 10000y = 47621, Subtraindo os dois números obtidos, temos que y y

21 9. MÉTODO PARA DETERMINAR SE UMA FRAÇÃO É DÍZIMA OU DECIMAL EXATO Considerando a fatoração em números primos do denominador de uma fração irredutível, temos: Apenas fatores 2 e 5 Apenas fatores diferentes de 2 e 5 Fatores diferentes de 2 e 5 com fatores 2 ou 5 A fração é um decimal exato A fração é uma dízima periódica simples A fração é uma dízima periódica composta , , ,045 OBSERVAÇÃO: É possível dizer quantos algarismos haverá após a vírgula se o denominador da fração irredutível apresentar apenas fatores 2 e 5.

22 Com efeito, se a fração é da forma α β 2 5 após a vírgula será o maior número dentre,. m, então o número de algarismos 7 7 No exemplo da tabela, temos ,175 Como 3 > 1, teremos que o número de algarismos após a vírgula é 3, o que de fato é verificado após a divisão. Por outro lado, é um problema bastante difícil prever o número de algarismos do período de uma dízima simples a partir da fatoração em primos do denominador.

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