ÁLGEBRA. AULA 1 _ Conjuntos Professor Luciano Nóbrega. Maria Auxiliadora

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1 1 ÁLGEBRA AULA 1 _ Conjuntos Professor Luciano Nóbrega Maria Auxiliadora

2 2 Pode-se dizer que a é, em grande parte, trabalho de um único matemático: Georg Cantor ( ). A noção de conjunto não é suscetível de definição precisa a partir de noções mais simples, ou seja, é uma noção primitiva. A é de fundamental importância para várias áreas da ciência da computação. CONCEITOS PRIMITIVOS 1º) Conjuntos Um conjunto é uma coleção não-ordenada de objetos. USAMOS LETRAS MAIÚSCULAS PARA REPRESNTÁ-LOS. Exemplos: Conjunto de livros na biblioteca (conj. finito); Conjunto dos números naturais (conj. infinito); Conjunto de dinossauros vivos (conj. vazio, {}, Ø).

3 3 CONCEITOS PRIMITIVOS 2º) Elementos Os objetos que constituem um conjunto denominam-se elementos do conjunto. *usamos letras minúsculas. Exemplos: Eu, sou um elemento do conjunto de Matemáticos; 1 é um elemento do conjunto dos Números Naturais. -2 é elemento do conjunto solução da equação x 2 4 = 0. 3º) Pertinência Notação: (pertence) ou (não pertence) Qualquer objeto que seja elemento de um conjunto é dito pertencer aquele conjunto. LEMBRE-SE: A relação de pertinência, ou, é utilizada somente para relacionar elementos com conjuntos.

4 4 CONCEITOS PRIMITIVOS 4º) Continência Notação: (contido) ou (não está contido) Quando um conjunto estiver inserido em outro conjunto, dizemos que o primeiro conjunto está contido no segundo conjunto. LEMBRE-SE: A relação de continência, ou, é utilizada somente para relacionar conjunto com conjunto. Exemplo: Utilize, corretamente, um dos quatro símbolos: a) 4 / 11 N b) N Ir c) N R d) 5 R e) -4,7 Z 5º) Conjunto Universo Notação: U Chama-se Conjunto Universo a todos os entes que são considerados como elementos. Exemplo: em geometria o Universo é o conjunto de todos os pontos.

5 5 CARACTERÍSTICAS DOS CONJUNTOS A ordem em que os elementos são listados e a repetição dos elementos em um conjunto é irrelevante. Sendo assim: {3, 2, 1} = {1, 2, 3} e {1, 1, 1, 3, 2, 2} = {1, 2, 3} MANEIRAS DE DESCREVER UM CONJUNTO De maneira explícita. Ex: A = {água, terra, fogo, ar} Indicando um padrão: Ex: P = {2, 4, 6, 8,...} Através de uma propriedade que os elementos do conjunto tenham em comum. Ex: L = {x x é um inteiro e 3 < x < 7} Através de um Diagrama de Venn. Com a notação de intervalos. Ex: [3, 7] ; ] 9, 0 [ fechado aberto

6 6 CONJUNTOS ESPECIAIS Os conjuntos numéricos N: conjunto dos números naturais: {0, 1, 2, 3,...} Z: conjunto dos números inteiros: {..., -2, -1, 0, 1, 2,...} Q: conjunto dos números racionais: {x x = a / b ; a, b Z, b 0} I: conjunto dos números irracionais: {x x Q} R: conjunto dos nos reais: {x x (Q I)} OPERAÇÕES COM CONJUNTOS Para facilitar o entendimento, sejam os conjuntos: A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5, 6}. UNIÃO: Se A e B são conjuntos, a união de A e B, denotada por A B, é o conjunto que contém aqueles elementos que estão em A, ou em B, ou em ambos. Ex: A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} INTERSEÇÃO: Se A e B são conjuntos, a interseção de A e B, denotada por A B, é o conjunto que contém aqueles elementos que estão em A e em B ao mesmo tempo.ex: A B = {3, 4}

7 7 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS Para facilitar o entendimento, sejam os conjuntos: A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5, 6}. DIFERENÇA: Se A e B são conjuntos, a diferença de A e B, denotada por A B, é o conjunto que contém aqueles elementos que estão em A mas não estão em B. Ex: A B = {1, 2} ; B A = {5, 6} COMPLEMENTO: Se U é o conjunto Universo, U A é chamado de complemento de A e é denotado por Ā. Ex: Ā = U A = {5, 6} PRODUTO CARTESIANO: O produto cartesiano de dois conjuntos é o conjunto de todos os pares ordenados dos elementos do primeiro conjunto que pode-se formar com os elementos do segundo conjunto. Ex: A x B = {(1,3);(1,4);(1,5);(1,6); (2,3);(2,4);(2,5);(2,6); (3,3);(3,4);(3,5);(3,6); (4,3);(4,4);(4,5);(4,6)}

8 8 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS Igualdade de Conjuntos: Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence também a B e, reciprocamente, todo elemento de B pertencer à A. Subconjuntos: Quando todos os elementos de um conjunto A pertencem a um outro conjunto B, diz-se, então, que A é um subconjunto de B, ou seja A B. Observações: Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio; O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. Ex: Seja o conjunto A = {1, 2, 3, 4}, então todos os subconjuntos de A são: P(A) = ( {1}; {2}; {3}; {4};{1, 2}; {1, 3}; {1, 4}; {2, 3}; {2, 4}; {3, 4}; {1, 2, 3}; {1, 2, 4}; {1, 3, 4}; {2, 3, 4}; A; Ø}) OBS 1: O número de elementos de P(A) é dado por 2 n, onde n é o número de elementos de A. OBS 2: N Z Q R

9 9 NÚMERO DE ELEMENTOS DA REUNIÃO DE CONJUNTOS Consideremos o conjunto A como o conjunto dos números ímpares entre 0 e 10, e o conjunto B dos números primos entre 0 e 10. Então, se n(a) representa a quantidade de elementos do conjunto A, temos: A = {1, 3, 5, 7, 9} n(a) = 5 B = {2, 3, 5, 7} n(a) = 4 Vejamos o que acontece quando estudamos a interseção e a união dos conjuntos: A B = {1, 2, 3, 5, 7, 9} n(a B) = 6 A B = {3, 5, 7} n(a B) = 3 Observe que n(a B) n(a) + n(b). Na verdade, temos: n(a B) = n(a) + n(b) n(a B) 6 =

10 10 NÚMERO DE ELEMENTOS DA REUNIÃO DE CONJUNTOS É possível provar que n(a B) = n(a) + n(b) n(a B), vejamos: 2º) Algebricamente: n(a B) = [n(a) n(a B)] + n(a B) + [n(b) n(a B)] n(a B) = n(a) n(a B) + n(a B) + n(b) n(a B) n(a B) = n(a) + n(b) n(a B) 1º) Geometricamente: A B A + B A U B

11 n(a B C) = n(a) + n(b) + n(c) 11 n(a B) n(a C) n(b C) + n(a B C) Resumo n(a B) = n(a) + n(b) n(a B) O número de elementos de P(A) é dado por 2 n, onde n é o número de elementos de A. n (A) Generalizando: 2 n(p(p(p(...(p(a)...)))) 2 2 LEMBRE-SE: A relação de pertinência, ou, é utilizada somente para relacionar elementos com conjuntos. LEMBRE-SE: A relação de continência, ou, é utilizada somente para relacionar conjunto com conjunto. PROPRIEDADES: P 1 : A = P 2 : A B = B A P 3 : (A B) C = A (B C) P 4 : A A = A P 5 : A = A P 6 : A B = B A P 7 : (A B) C = A (B C) 2

12 OBS: Como foi dito na nossa preleção, minhas aulas terão vários exercícios resolvidos e outros tantos à resolver. Nesta aula, não tivemos nenhum exercício resolvido pelo fato de vocês já estarem de posse de uma lista com uns 50 exercícios. 12 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 1 (lista_questão 1) Seja o conjunto A = {1, 2, 3, {3}, {4}, {2, 5}}. Classifique as afirmações em verdadeiras (V) ou falsas (F). a) 2 A h) A b) {2} A i) {3} A c) 3 A j) {4} A d) {3} A k) {{4}} A e) A l) {2, 5} A f) {5} A m) {{2, 5}} A g) {2, 5} A n) {1, 2, 3} A

13 13 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 2 (lista_questão 4) (Cesgranrio RJ) O número de conjuntos X que satisfazem {1, 2} {1, 2, 3, 4} é: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 3 (lista_questão 7) Sejam A = {x /x é número par compreendido entre 3 e 15}, B = {x /x é um número par menor que 15} e C = {x /x é um número par diferente de 2}. Usando os símbolos ou, relacione entre si os conjuntos: a) A e B b) A e C c) B e C

14 14 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 4 (lista_questão 10) (Unifor CE) Se A = {a, 3, }, então o número de elementos de P(P(A)) possui: a) 8 elementos b) 16 elementos c) 256 elementos d) 512 elementos 5 (lista_questão 16) Numa pesquisa sobre a preferência em relação a dois jornais, foram consultadas 630 pessoas e o resultado foi o seguinte: 350 delas lêem o jornal A, 210 lêem o jornal B e 90 lêem os jornais A e B. Pergunta-se: a) quantas pessoas lêem apenas o jornal A? b) quantas pessoas lêem apenas o jornal B? c) quantas pessoas lêem jornais? d) quantas pessoas não lêem jornais?

15 15 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 6 (lista_questão 19) Numa escola mista existem 42 meninas, 24 crianças ruivas, 13 meninos são ruivos e 9 meninas ruivas. Pergunta-se: a) Quantas crianças existem na escola? b) Quantas crianças são meninas ou são ruivas? 7 (lista_questão 21) O quadro abaixo mostra o resultado de uma pesquisa sobre as revistas que os estudantes do Ensino Médio costumam ler: Revistas Leitores Pergunta-se: A 150 a) Quantos foram os estudantes consultados? B 200 C 250 A e B 70 A e C 90 B e C 80 A, B e C 60 Nenhuma 180 b) Quantos estudantes lêem apenas a revista A? c) Quantos estudantes lêem a revista B e não lêem a C? d) Quantos estudantes não lêem a revista A? e) Quantos estudantes lêem a revista A ou a revista C?

16 16 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 8 (lista_questão 27) (UFRN) Indique a opção sempre verdadeira, quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, de modo que A B. a) A B C b) A C c) B C d) A C B 9 (lista_questão 32) (UFRN) As figuras abaixo representam diagramas de Venn dos conjuntos X, Y e Z. Marque a opção em que a região hachurada representa o conjunto Y Z X. 10 (lista_questão 35) (UFRN) Se A, B e C são conjuntos tais que n[a (B C)] = 15, n[b (A C)] = 20, n[c (A B)] = 35 e n(a B C) = 120. Então n[(a B) (A C) (B C)] é igual a: a) 40 b) 50 c) 60 d) (lista_questão 37) (UFRN) Uma pesquisa de opinião, realizada num bairro de Natal, apresentou o resultado seguinte: 65% dos entrevistados freqüentavam a praia de Ponta Negra, 55% freqüentavam a praia do Meio e 15% não iam a praia. De acordo com essa pesquisa, o percentual dos entrevistados que freqüentavam ambas as praias era de: a) 20% b) 35% c) 40% d) 25%