PROF. LUIZ CARLOS MOREIRA SANTOS

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1 1 - CONCEITO PROF. LUIZ CARLOS MOREIRA SANTOS CONJUNTOS Conjunto proporciona a idéia de coleção, admitindo-se coleção de apenas um elemento (conjunto unitário) e coleção sem nenhum elemento (conjunto vazio). São primitivas, aceitas sem definição, as noções de: conjunto - elemento - pertinência Seja um elemento x e um conjunto A Se x pertence ao conjunto A x A Se x não pertence ao conjunto A x A Os símbolos e relacionam elemento com conjunto. 2 - REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO Um conjunto pode ser representado: Por Extensão Enumeram-se seus elementos, escrevendo-os entre chaves e separando-os por vírgulas. Por exemplo, o conjunto dos dias da semana: A = {segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado, domingo} Podemos utilizar a representação por extensão, mesmo que o conjunto seja infinito ou finito, mas com um número elevado de elementos. Exemplos: a) conjunto dos números ímpares; A = {1, 3, 5,...} conjunto infinito. b) conjunto dos números pares estritamente positivos, menores que 200. B = {2, 4, 6,..., 198} conjunto finito Por Compreensão O conjunto será representado por meio de uma propriedade que caracteriza os seus elementos. Exemplos: a) A = {x x é um número inteiro e x > 8} b) B = {x x é vogal} A propriedade que caracteriza o conjunto permite determinar se um dado elemento pertence ou não ao conjunto. 1

2 3 - DIAGRAMA DE VENN PROF. LUIZ CARLOS MOREIRA SANTOS Uma figura utilizada para representar um conjunto é chamada de diagrama de Venn. Por exemplo, o conjunto A = {1, 2, 3, 4} pode ser representado por: Os elementos de A são representados por pontos internos a esta figura. Tem-se, por exemplo, que: 2 A e 7 A 4 - IGUALDADE DE CONJUNTOS Sejam os conjuntos A e B. O conjunto A é igual ao conjunto B se eles possuem os mesmos elementos e em qualquer ordem. Indica-se por A = B Ex.: A = {x x é vogal da palavra MATEMÁTICA} B = {x x é vogal da palavra ARITMÉTICA} Tem-se que A = B, porque possuem os mesmos elementos. 5 - CONJUNTO UNITÁRIO E CONJUNTO VAZIO Embora a noção intuitiva de conjunto esteja associada à idéia de pluralidade (coleção de objetos), admite-se que existem conjuntos com apenas um elemento, chamados conjuntos unitários, e o conjunto sem qualquer elemento, chamado conjunto vazio. Exemplos: I - A = {x x é um número ímpar positivo e x<2} A = {1} II - B = {x x é um número primo positivo e x<2} B = { } ou B = É contraditória a propriedade que define o conjunto vazio. Outro exemplo: Conjunto dos números pares cuja soma seja um número ímpar. 2

3 6 - PRINCIPAIS SÍMBOLOS LÓGICOS 7 - SUBCONJUNTOS Dizemos que um conjunto A é subconjunto de B, ou que A está contido em B, ou que A é parte de B se, e somente se, todo elemento de A é também elemento de B. Em símbolos: A B A está contido em B, ou B A B contém A Exemplo: A = {0, 2, 4} e B {0, 1, 2, 3, 4, 5} A B Considerando os conjuntos A e B, se existir pelo menos um elemento de A que não pertença a B, então A não está contido em B. Em símbolos: A B A não é subconjunto de B, ou A B A não está contido em B B A Β não é subconjunto de A B A B não contém A. Os símbolos,, e relacionam conjuntos. Propriedade da Inclusão I - Todo conjunto é subconjunto dele mesmo, isto é: A A, ( A) II - O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, isto é: A, ( A) III - A B e B A A = B (, A e B). 3

4 8 - CONJUNTO UNIVERSO PROF. LUIZ CARLOS MOREIRA SANTOS A Teoria dos Conjuntos estabelece que um conjunto que contém todos os conjuntos estudados, chama-se conjunto universo. Assim: Quando estudamos a geometria plana, o conjunto universo é formado de todos os pontos do plano. Quando estudamos a população humana, o conjunto universo é constituído de todos os habitantes da Terra. Conjunto universo é o conjunto ao qual pertencem os elementos envolvidos em um determinado estudo. 9 - CONJUNTO DAS PARTES O conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado conjunto das partes de A, sendo indicado por P(A). Exemplo: Dado A = {1, 2, 3}, teremos: P(A) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}. Em relação ao conjunto das partes, é preciso sempre bastante atenção quanto ao emprego dos símbolos e. Portanto, você deve observar que, no exemplo dado,, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, são elementos do conjunto P(A); assim: P(A) e P(A) {1, 2} P(A) e {{1, 2}} P(A) Importante: Se o conjunto A tem n elementos, então o conjunto P(A) tem 2 n elementos. Se o número de elementos de A é igual a 3 o número de elementos de P(A) é igual a 2 3 = OPERAÇÕES COM CONJUNTOS Definições: Reunião ou União : Interseção : Diferença : Complementação : C Para melhor compreender as operações entre conjuntos, tomemos os seguintes: A = {1, 2, 3} B = {2, 3, 4} C = {2, 3} 4

5 Reunião ou União: Une todos os elementos dos conjuntos em operação. Ex: A B = {1, 2, 3, 4} Interseção: Toma somente os elementos comuns aos conjuntos. Ex: A Β = {2, 3} Diferença: São os elementos que pertencem apenas ao primeiro conjunto. Ex: A B = {1} Obs: Como podemos observar, C A. Então, se fizermos a operação de diferença A C, estaremos encontrando o Complementar de C em A (C C A = A EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01) Numa escola de 630 alunos, 350 deles estudam Matemática, 210 estudam Física e 90 deles estudam as duas matérias (Matemática e Física). Pergunta-se: a) quantos alunos estudam apenas Matemática? (Estudam Matemática mas não estudam Física.) b) quantos alunos estudam apenas Física? (Estudam Física mas não estudam Matemática.) c) quantos alunos estudam Matemática ou Física? d) quantos alunos não estudam nenhuma das duas matérias? Resolução: São dados: n(u) = número total de alunos = 630 n(m) = número de alunos que estudam Matemática = 350 n(f) = número de alunos que estudam Física = 210 n(m F) = número de alunos que estudam Matemática e Física = 90 5

6 Vamos fazer um diagrama: a) Se 350 alunos estudam Matemática e 90 deles estudam Matemática e Física, então o número de alunos que estudam apenas Matemática é: = 260. b) Se 210 alunos estudam Física e 90 deles estudam Matemática e Física, então o número de alunos que estudam apenas Física é: = 120. c) Se 260 alunos estudam apenas Matemática, 120 estudam apenas Física e 90 estudam Matemática e Física, então o número de alunos que estudam Matemática ou Física é: = 470. d) Se a escola tem 630 alunos e 470 estudam Matemática ou Física, então o número de alunos que não estudam nenhuma das duas matérias é: = ) Se A = {x x é letra da palavra ramo} B = {x x é letra da palavra enfeite} C = {x x é letra da palavra atemorizado} Obtenha os conjuntos: I) A B = { } II) B C = {e, i, t} III) A C = {r, a, m, o} IV) A B C = 03) Sendo A e B conjuntos quaisquer, identifique as sentenças, verdadeiras com V e as falsas com F. I) A A = A (V) II) A = (V) III) (A B) A B = B (F) IV) (A B) A B = A (V) 04) Se A é o conjunto dos múltiplos de 3 compreendidos entre 1 e 10, B é o conjunto dos números ímpares, compreendidos entre 2 e 10 e C é o conjunto dos números inteiros compreendidos entre 1 e 10, obtenha os conjuntos: I) (A B) (B A) II) (A B) (A B) III) B C IV) C A C 6

7 Resolução: A = {3, 6, 9} B = {3, 5, 7, 9} C = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} I) A B = {6} B A = {5, 7} (A B) (B A) = {5, 6, 7} II) A B = {3, 5, 6, 7,9} A B = {3, 9} (A B) (A B) = {5, 6, 7} III) B C = { } IV) C A C = C A = {2, 4, 5, 7, 8} EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01) Numa pesquisa sobre a preferência em relação a dois jornais, foram consultadas 470 pessoas e o resultado foi o seguinte: 250 delas lêem o jornal A, 180 lêem o jornal B e 60 lêem os jornais A e B. Pergunta-se: a) quantas pessoas lêem apenas o jornal A? b) quantas pessoas lêem apenas o jornal B? c) quantas pessoas lêem jornais? d) quantas pessoas não lêem jornais? Resp) a) 190 b) 120 c) 370 d) ) Uma cidade que tem habitantes possui dois clubes de futebol, A e B. Numa pesquisa feita com todos os habitantes, constatou-se que pessoas não apreciam nenhum dos clubes, pessoas apreciam os dois clubes e pessoas apreciam o clube A. Pergunta-se: a) quantas pessoas apreciam apenas o clube A? b) quantas pessoas apreciam o clube B? c) quantas pessoas apreciam apenas o clube B? Resp) a) b) c) ) Numa cidade são consumidos três produtos A, B e C. Feito um levantamento do mercado sobre o consumo desses produtos, obteve-se o seguinte resultado disposto na tabela abaixo: PRODUTOS N.º DE CONSUMIDORES A 150 B 200 C 250 A e B 70 A e C 90 B e C 80 A, B e C 60 Nenhum dos três 180 7

8 Pergunta-se: a) quantas pessoas consomem apenas o produto A? b) quantas pessoas consomem o produto A ou o produto B ou o produto C? c) quantas pessoas consomem o produto A ou produto B? d) quantas pessoas consomem apenas o produto C? e) quantas pessoas foram consultadas? Resp) a) 50 b) 420 c) 280 d) 140 e) ) Num grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei; 20 jogam vôlei e xadrez; 22 jogam xadrez e tênis; 18 jogam vôlei e tênis; 11 jogam as três modalidades. O número de pessoas que jogam xadrez é igual ao número de pessoas que jogam tênis. Pergunta-se: a) quantos jogam tênis e não jogam vôlei? b) quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei? c) quantos jogam vôlei e não jogam xadrez? Resp) a) 36 b) 59 c) 20 05) Numa pesquisa realizada, verificou-se que, das pessoas consultadas, 100 liam o jornal A, 150 liam o jornal B, 20 liam os dois jornais (A e B) e 110 não liam nenhum dos jornais. Quantas pessoas foram consultadas? a) 230 b) 250 c) 320 d) 340 Resp) D 06) Numa pesquisa de mercado, verificou-se que pessoas usam os produtos A ou B. O produto B é usado por 800 pessoas, e 320 pessoas usam os dois produtos ao mesmo tempo. Quantas pessoas usam o produto A? a) 1200 b) 1340 c) 1520 d) 1800 Resp) C TESTES 01) Se A = {a, b, c, d}, pode-se afirmar que: a) a A b) A A =φ c) {a, c} A d) {a, c} A 8

9 02) Um conjunto A contém os cinco primeiros números naturais, os cinco primeiros números pares e os cinco primeiros números ímpares. Então, o número de elementos do conjunto A é: a) 10 b) 11 c) 12 d) 15 03) Se A B = {1, 2, 3, 4, 5}, A B = {1, 3} e A = {1, 3, 5}, então: a) B = b) B = {1, 3, 4, 5} c) B = {2, 4} d) B = {1, 2, 3, 4} 04) Dados A = {1, 3, 4, 7, 8}, B = {2, 4, 6, 8} e C = {2, 3, 5, 7, 8}, o conjunto (A C) B tem: a) 5 elementos b) 6 elementos c) 4 elementos d) não tem elementos 05) Se um conjunto A tem 2 elementos e um conjunto B tem 6 elementos, então, o conjunto A B tem, no mínimo: a) 2 elementos b) 4 elementos c) 6 elementos d) 8 elementos 06) Considere as proposições: I) {1, 2} {1, 2, 3} II) {1, 2, 3} {1, 3, 2} III) {1, 2} {1, 3, 4} IV) {2} {{2}, 1} Então o número de proposições verdadeiras é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 07) A sentença verdadeira é: a) Se A B, então A B = B b) Se P (A B), então P A e P B c) Se P A e P B, então P (A B) d) Se A B = A, então A B 08) Seja A um conjunto com 8 elementos. O número total de subconjuntos de A é: a) 6 b) 8 c) 128 d) 256 9

10 09) Seja o conjunto A = { {1}, 2, {1, 2} }. Pode-se afirmar que: a) 1 A b) {1} A c) {1} A d) {1, 2} A e) 2 A 10) A região hachurada, no gráfico abaixo, representa: PROF. LUIZ CARLOS MOREIRA SANTOS a) (A B) (A C) b) (A B) (A C) c) (A B) (B C) d) (A B) (B C) (A C) O texto seguinte tem como referência os testes 16, 17 e 18. Em uma pesquisa de opinião pública efetuada na Av. Santos Dumont entre pessoas que se encontravam nas filas ou nas proximidades dos pontos iniciais das linhas de ônibus A e B, que se destinavam ao bairro Céu Azul, constatou-se que: 55% usavam a linha A. 40% usavam a linha B. 15% usavam as linhas A e B. Assinale a alternativa correta. 11) A porcentagem dos entrevistados que usavam a linha A ou a linha B era de: a) 15% b) 20% c) 80% d) 95% 12) A porcentagem dos entrevistados que não usavam nenhuma das linhas era de: a) 15% b) 20% c) 45% d) 80% 10

11 13) A porcentagem dos entrevistados que usavam apenas a linha A era de: a) 15% b) 20% c) 35% d) 40% 14) Foram consultados 100 alunos do COLTEC, para saber qual seria o tipo preferido de música: rock ou axé. Todos os alunos escolheram,pelo menos, um tipo de música e foram obtidos os seguintes resultados: 70 alunos disseram que preferem rock e 50 alunos optaram por axé. Suponha que, a partir destes dados, fossem retiradas estas conclusões: I 20 alunos gostam de rock e de axé. II 80 alunos gostam de rock ou axé. Poderíamos então afirmar que a) I e II são falsas. b) somente I é falsa. c) somente II é falsa. d) I e II são verdadeiras. 15) Numa escola há n alunos. Sabe-se que 56 alunos lêem o jornal A, 21 lêem os jornais A e B, 106 lêem apenas um dos dois jornais e 66 não lêem o jornal B. O valor de n é: a) 127 b) 137 c) 158 d) ) Num canil, existem três raças de cães: pastor, dálmata e fila. Sabendo-se que 56 são pastores, 126 não são dálmatas e 25% são filas, o número de dálmatas, é: a) 81 b) 134 c) 142 d) ) Um conjunto M é tal que P(M) tem 128 elementos. O número de elementos do conjunto M é: a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 18) Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {3, 4} e C = {1, 2, 4}. O conjunto X, tal que X B = A C e X B =, é: a) b) {1} c) {1, 2} d) {3, 4} 11

12 19) 300 alunos foram entrevistados a respeito de três frutos: mamão, maçã e abacaxi. O resultado foi o seguinte: 160 disseram que gostam de comer mamão; 120 gostam de comer maçã; 90 gostam de comer abacaxi; 30 gostam de comer mamão e maçã; 40 gostam de comer mamão e abacaxi; 50 gostam de comer maçã e abacaxi e 10 gostam de comer os três frutos. Dos alunos entrevistados o número dos que não gostam de comer nenhum dos frutos é a) 80 b) 60 c) 55 d) menor de 50 20) Numa escola de Línguas Estrangeiras, estudam 300 alunos. O número de estudantes matriculados apenas em Espanhol corresponde à metade dos que estudam Inglês, e a quantidade dos que cursam apenas Inglês é igual à dos que estudam Espanhol. O número de alunos que cursa Inglês e Espanhol é a) 40 b) 50 c) 60 d) 80 21) Em uma universidade, 80% dos alunos leem o jornal A, 60% leem o jornal B. Sabendo que todo aluno lê pelo menos um dos jornais, o percentual de alunos que leem ambos os jornais é: a) 40% b) 30% c) 20% d) 10% 22) Em um grupo de 15 pessoas, 7 lêem jornal, 5 lêem revista e 6 não lêem nem jornal nem revista. Quantas pessoas lêem jornal e revista? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 23) Se n(a B) = 15 e considerando que n(a) = 7 e n(a B) = 3, então n(b A) é: a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 12

13 24) Em um grupo de 110 alunos, 23 participaram das Olimpíadas de Matemática e Física, 20 participaram das olimpíadas de Física e Biologia, 15 participaram das três olimpíadas. A quantidade de alunos que participou da olimpíada de Física foi igual ao número de participantes da olimpíada de Biologia. Sabendo-se que 65 alunos participaram das olimpíadas de Física ou Biologia e não participaram da olimpíada de Matemática e que 25 alunos participaram das olimpíadas de Matemática e Biologia, considerando que os 110 alunos participaram de olimpíadas, o número total de alunos que participaram somente da olimpíada de Matemática, somado com o número de alunos que participaram apenas da olimpíada de Biologia foi igual a: a)44 b)43 c)42 d)41 e)40 25) Um recipiente contém litros de uma mistura de combustível, sendo 4% de álcool puro. O número de litros de álcool que se deve acrescentar a esse recipiente para a nova mistura ter 5% de álcool é a) 20 b) 23 c) 24 d) 25 13

14 GABARITO 1) D 2) A 3) D 4) B 5) C 6) D 7) C 8) D 9) B 10) D 11) C 12) B 13) D 14) C 15) C 16) D 17) B 18) C 19) D 20) B 21) A 22) C 23) B 24) D 25) B 14