CONJUNTOS. PROBABILIDADES Professora Rosana Relva Números Inteiros e Racionais. Uma breve história. Alguns conceitos primitivos CONJUNTOS ELEMENTOS

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1 PROBABILIDADES Professora Rosana Relva Números Inteiros e Racionais rrelva@globo.com 1 Uma breve história e administrar os seus bens de forma a não ser enganado. O homem sempre teve a necessidade de se organizar 2 Preliminares Intuitivamente, aceitamos por conjuntos uma coleção ou classe de objetos bem definidos, e os objetos que formam o conjunto são chamados elementos do conjunto. Alguns conceitos primitivos Conjunto: representa uma coleção de objetos. O conjunto de todos os brasileiros. O conjunto de todos os números naturais. O conjunto de todos os números reais tal que x²-4=0. Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C,..., Z. 4 ELEMENTOS É um componente ou objeto do Conjunto. José da Silva é um elemento do conjunto dos brasileiros. REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO Podemos representar um conjunto enumerando os seus elementos entre chaves e separados por vírgula. 1. Sendo V o conjunto das vogais, representaremos: V = { a, e, i, o, u}

2 REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO 2. Sendo I o conjunto dos números ímpares menores que 50. I = { 1,, 5, 7,..., 49}. Sendo P o conjunto dos números pares maiores que zero: P = { 2, 4, 6, 8,...} REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO Outra maneira de representarmos um conjunto consiste em enunciarmos uma propriedade características do conjunto, isto é, uma propriedade comum aos seus elementos e somente a eles. 7 8 REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO D = { X I X é o dia da semana } A barra vertical ( I ) Significa tal que. Lê-se: D é o conjunto dos elementos x, tais que x é dia da semana. 9 IGUALDADE DE Dizemos que um conjunto A é igual a um conjunto B e escrevemos: A = B Se A = { a, e, i, o, u} e B = {i, a, o, e, u} então A = B, pois todo elemento de A pertence a B e vice-versa. Observe que um conjunto não se modifica quando trocamos a ordem dos seus elementos. 10 Representação de um conjunto CONJUNTO VAZIO A A ou 11 Representação de um conjunto CONJUNTO VAZIO NÃO REPRESENTA O CONJUNTO VAZIO A

3 CONJUNTO VAZIO 1. Sendo A o conjunto dos dias da semana que iniciam pela letra r, então B = Ø. CONJUNTO UNITÁRIO O conjunto que possui apenas um elemento chamase conjunto unitário CONJUNTO UNITÁRIO REPRESENTAÇÃO POR CHAVES CONJUNTO UNITÁRIO REPRESENTAÇÃO POR DIAGRAMA A 2 A CONJUNTO UNITÁRIO 1. Sendo R o conjunto das consoantes da palavra ERA, R é um conjunto unitário: R = {r}. SUBCONJUTOS Dizemos que um conjunto A é subconjunto B quando todo elemento de A é também elemento de B. A relação A é subconjunto de B é representado por:

4 SUBCONJUTOS A B (A está contido em B) Ou ainda B A (B contêm A) SUBCONJUTOS Sendo A = { 1,2} e B = {1,2,,4}, então A B, pois todo elemento de A é também elemento de B União de Conjuntos Dados dois conjuntos A e B, chama-se união de A e B se indica A B (A união B) o conjunto cujos elementos pertencem a A ou B. 1. A = { 1, 2,, 4 } B = {, 4, 5, 6 } AB 1, 2,, 4,5,6 21 União de Conjuntos V = { vogais do nosso alfabeto } C = { consoantes dos nosso alfabeto } AB a, b,c,d,e,...,z 22 União de Conjuntos INTERSECÇÃO DE A B A B A B Dados dois conjuntos A e B, chama-se intersecção de A e B e se indica A B (A inter B) o conjunto cujos elementos são comuns a A e B, isto é que pertencem a A e também a B

5 1. A = {1, 2,, 4} B = {, 4, 5, 6} A B, 4 A = {,,,, } V = { vogais do nosso alfabeto } C = { consoantes do nosso alfabeto } B = {,,, } A B 25, V C 26 O DIFERENÇA DE DIFERENÇA DE Operações entre Conjuntos Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre os conjuntos A e B nessa ordem e se indica A B o conjunto cujos elementos pertencem a A, mas não pertencem a B. 27 É o conjunto dos elementos que pertencem a A e não pertence a B. 28 DIFERENÇA DE EXEMPLOS A = {1,2,,} B = {,7,8,9} A A B = {1,2} B DIFERENÇA DE EXEMPLOS M = {, 5, 6} P = {, 5, 6, 7} O M P =

6 DIFERENÇA DE EXEMPLOS A B A B A B CONJUNTO COMPLETAR Particularmente, quando B é um subconjunto de A, a diferença A B chama-se conjunto complementar de B em relação a A: C B A A B 1 2 OPERAÇÕES COM LEITORES DE REVISTAS Veja = 1800 Época = 600 OPERAÇÕES CONJUNTO COM COMPLETAR RESOLUÇÃO Faremos dois diagramas VEJA ÉPOCA Ambas = 400 Calcule o número total de pessoas consultadas? Começaremos preenchendo pela Intersecção 4 OPERAÇÕES COM VEJA ÉPOCA AGORA É SÓ COMPLETAR (FCC)Num universo de 800 pessoas, é sabido que 200 delas gostam de samba, 00 de rock e 10 de samba e rock. Quantas não gostam nem de samba e nem de rock? a) 800 b) 70 c) 670 d) 560 e)

7 SAMBA ROCK SAMBA =70 ROCK 00+10=170 SAMBA ROCK E SOMA = 70 = 800 DIFERANÇA UFRJ -Dos 80 alunos de uma turma, 15 foram reprovados em Matemática, 11 em Física e 10 em Química. Oito alunos foram reprovados simultaneamente em Matemática e Física, seis em Matemática e Química e 4 em Física e Química. Sabendo que alunos foram reprovados nas três disciplinas, determine quantos alunos não foram reprovados em nenhuma dessas disciplinas. a) 50 b) 52 c) 59 d) 61 e) 70 MATEMÁTICA FÍSICA MFQ = 9 40 MATE MÁTICA FÍSICA MATE MÁTICA FÍSICA MFQ = MFQ =

8 MATE MÁTICA FÍSICA MATE MÁTICA FÍSICA MFQ = MFQ = 4 44 MATE MÁTICA FÍSICA MATE MÁTICA FÍSICA MFQ = MFQ = REPROVADOS = 21 DE ALUNOS = 80 DIFERENÇA = 59 C FUNCAB - Numa escola os alunos do 5º ano podem estudar um ou mais dos seguintes idiomas: Inglês, Espanhol e Alemão. Sabe-se que nesse ano, 100 alunos estudam Inglês. 100 alunos estudam Espanhol. 45 alunos estudam Alemão. 60 alunos estudam Inglês e Espanhol. 20 alunos estudam Inglês e Alemão

9 20 alunos estudam Espanhol e Alemão. 15 alunos estudam Inglês, Espanhol e Alemão. Todos os alunos estudam pelo menos um dos três idiomas. O número total de alunos do 5º ano dessa escola, que estudam um e somente um desses três idiomas,nesse ano, é igual a: A) 70 B) 85 C) 90 D) 95 E) 100 INGLÊS ALEMÃO 5 5 I = 100 ESPANHOL E = 100 A = IE = 60 IA = 20 EA = 20 IEA = INGLÊS ESPANHOL ALEMÃO C SOMENTE UM IDIOMA Ufrj - Numa sala de aula com 60 alunos, 11 jogam xadrez, 1 são homens e mulheres jogam xadrez conclui-se, portanto, que: a) 1 são mulheres b) 29 são homens e jogam xadrez c) 26 mulheres não jogam xadrez d) 2 homens jogam xadrez e) 26 são mulheres XADREZ NÃO alunos 11 jogam xadrez 1 são homens mulheres jogam xadrez XADREZ 8 11 NÃO a) 1 são mulheres

10 XADREZ 8 11 NÃO XADREZ 8 11 NÃO b) 29 são homens e jogam xadrez c) 26 mulheres não jogam xadrez CESPE - Numa turma de alunos, existem 5 rapazes (que usam calça jeans ou não), 18 pessoas que usam calça jeans, 15 moças que não usam calça jeans e 7 rapazes que usam calça jeans. Julgue os itens: 1) 11 moças usam jeans 2) 17 rapazes não usam jeans ) Total de moças é 26 4) O número de estudantes que são rapazes ou usam calça jeans é rapazes 18 pessoas que usam calça jeans 15 moças que não usam calça jeans 7 rapazes que usam calça jeans ) 11 moças usam jeans 2) 17 rapazes não usam jeans ) Total de moças é ) O número de estudantes que são rapazes ou usam calça jeans é

11 O pessimista vê dificuldade em cada oportunidade; o otimista vê oportunidade em cada dificuldade