ANALISE COMBINATORIA Um pouco de probabilidade

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1 ANALISE COMBINATORIA Um pouco de probabilidade Programa Pró-Ciência Fapesp/IME-USP-setembro de 1999 Antônio L. Pereira -IME USP (s. 234A) tel Um carro e dois bodes Você está em um programa de auditório, e o apresentador o convida a escolher uma entre três portas. Atrás de uma delas há um carro novinho em folha e atrás de cada uma das outras há um bode. Você ganhará o que estiver atrás da porta escolhida. Você então escolhe inicialmente, em caráter provisório, uma das três portas. O apresentador do programa, que sabe o que há atrás de cada porta, abre neste momento uma das outras duas portas, sempre revelando um dos dois bodes. Ele então pergunta a você se quer ficar com a porta inicialmente escolhida ou trocar pela outra porta fechada. Qual seria sua estratégia: você trocaria ou não de porta? Este problema causou intensa polêmica quando apareceu em um jornal americano em Muitas respostas incorretas, até algumas de matemáticos foram enviadas ao jornal. A polêmica só terminou com a publicação do artigo Let s Make a Deal: The Player s Dilemma no jornal The American Statistician. Posteriormente, o mesmo problema apareceu na RPM n o 33 no artigo Os dois bodes. Nesse caso, a revista preferiu não repetir a polêmica que também aqui se iniciava. Gostaríamos de apresentar aqui uma pequena introdução a este fascinante ramo da Matemàtica chamado Probabilidade. Esperamos que no final dessas notas estejamos preparados para discutir com proveito o problema dos bodes. 2 Breve nota histórica A Probabilidade pode ser descrita como a teoria Matemática da incerteza. Em um certo sentido, ela é usada cotidianamente por todos nós, por exemplo, para avaliar riscos. (Há nuvens negras no céu. É provável que chova. Melhor carregar um guarda-chuva). Neste sentido noções intuitivas de probabilidade certamente foram usadas desde a Pré-História. Entretanto, considera-se que a teoria matemática da probabilidade teve início no século XVII, com a correspondência entre os matemáticos franceses Blaise Pascal e Pierre Fermat, a propósito de chances de ganho em jogos de azar. Deste início um tanto frívolo, a teoria se desenvolveu tremendamente e alargou seu 1

2 campo de aplicações para diversas áreas da ciência e tecnologia (e também para este cassino moderno: o Mercado Financeiro). No século XX, com o surgimento da Mecânica Quântica a aplicação da Teoria de Probabilidade se estendeu ao âmago de nossa compreensão das leis da Natureza. 3 Que rolem os dados. Espaços Amostrais Para introduzir alguns conceitos básicos, voltemos à origem da teoria de probabilidades: jogos de azar. Um dos mais simples desses jogos é o lançamento de um ou mais dados. Suponhamos, por exemplo, que temos dois deles, um verde e outro amarelo (este será um jogo patriótico). Estamos interessados nos números que aparecem na face superior dos dados quando eles são lançados uma vez. Qualquer resultado possível deste experimento pode ser representado por um par ordenado (a, b), onde 1 a 6 é, digamos, o número que aparece na face superior do dado verde, e 1 b 6 é o mesmo para o dado amarelo. O conjunto Ω de todos os resultados possíveis é denominado o espaço amostral para o experimento. No exemplo, uma representação conveniente para Ω é então: Ω = {(a, b) 1 a, b 6} (observe que temos ao todo 36 resultados possíveis. Usamos a palavra aleatório para experimentos do tipo descrito acima, que satisfazem duas condições básicas. O experimento pode ser repetido sob as mesmas condições Não é possível prever o seu resultado a priori. Usaremos também a palavra evento para qualquer conjunto cujos elementos sejam resultados possíveis para um experimento aleatório, em outras palavras, para um subconjunto do espaço amostral Ω. Por exemplo, no caso do lançamento dos dois dados, o evento Obter um 7, seria: {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)} Um ponto importante aqui é que um espaço amostral é um modelo matemático da situação real (e não ela própria). A razão para se construir este modelo (e outros) é que uma análise matemática só pode ser feita em modelos abstratos e não na realidade como tal. O que não pode ser esquecido é que os resultados obtidos serão então verdades matemáticas para o modelo abstrato. É claro que esperamos que esses resultados também reflitam fatos sobre o mundo real. Isto, entretanto, só pode se verdadeiro até o ponto em que o modelo reflita propriedades da situação real. A escolha do modelo não é um problema matemático mas é, certamente, extremamente importante para as aplicações. 2

3 4 Espaços Amostrais finitos e medidas de probabilidade Observe que, até este ponto, não introduzimos a idéia de probabilidade em nossa estrutura matemática, o espaço amostral. Para fazê-lo, consideremos novamente o exemplo dos dois dados, com os seus 36 resultados possíveis. Para cada um desses resultados, associemos um número entre 0 e 1 de tal forma que a soma desses números seja 1. O número associado com cada resultado é então a probabilidade deste resultado, e a coleção de todas essas atribuições de números é uma medida de probabilidade no espaço amostral. Se, agora, A é um evento não vazio, definimos a probabilidade de A como a soma das probabilidades dos elementos de A. Obviamente, existe um número infinito de maneiras de definir uma medida de probabilidade no espaço amostral Ω. Como antes, a maneira correta de fazê-lo não è um problema matemático. De fato, é mais apropriado perguntar se uma dada medida de probabilidade é útil ou não, em vista da situação real que se pretende modelar. No exemplo dos dados, parece natural por exemplo por razões de simetria, atribuir o valor 1 36 para cada um dos 36 resultados possíveis. Uma distribuição deste tipo, que atribui valor igual a qualquer resultado possível do espaço amostral é denominada distribuição uniforme. 5 Solução problema dos bodes Antes de falar na solução do problema, vamos tentar esclarecer melhor que problema exatamente estamos tentando resolver. De fato, esta é a grande fonte de confusão neste caso. O ponto é que, já que você vai escolher se troca ou não a porta, após a abertura de uma das portas restantes pelo apresentador você poderia tirar proveito de qualquer conhecimento que porventura tivesse sobre o comportamento dele. Por exemplo, pode ser que você tenha assistido o programa na televisão muitas vezes e saiba que o apresentador sempre escolhe a porta 3 se isto for possivel. Isto é uma informação adicional que pode ser usado em seu proveito! Se você escolheu a porta 1 e o apresentador abriu a porta 2, então dado que o apresentador sempre escolhe a porta 3 quanto pode conclui-se que o carro está com certeza na porta 3! Interpretado desta forma a solução do problema depende do conceito de probabilidade condicional que não introduzimos aqui. O problema que consideraremos é o de descobrir a estratégia adequada sem levar em conta os critério usado pelo apresentador para escolher a porta a ser aberta. Esta será, portanto, uma estratégia a priori, definida mesmo antes do jogo começar! Para resolver o problema, tudo o que precisamos é construir um espaço amostral com uma medida de probabilidade adequada. Vamos assumir que você troca de porta e calcular a sua probabilidade de ganhar o carro nesse caso. Obviamente, a probabilidade de ganho, caso você não 3

4 troque de porta será a diferença entre 1 e a probabilidade que vamos calcular. Para isto, precisamos explicitar algumas hipótes apenas sugeridas pelo enunciado. Vamos assumir então que temos 3 portas numeradas de 1 a 3 e: a) O carro tem igual probabilidade de estar atrás de qualquer uma das portas. b) Você escolhe uma das portas também com igual probabilidade. Um espaço amostral conveniente para o problema é então o seguinte: (1, 1, 2, P), (1, 1, 3, P), (1, 2, 3, G), (1, 3, 2, G) Ω := (2, 2, 1, P), (2, 2, 3, P), (2, 1, 3, G), (2, 3, 1, G) (3, 3, 1, P), (3, 3, 2, P) (3, 1, 2, G), (3, 2, 1, G) Nas quadras acima, o primeiro número representa a porta onde o carro está, o segundo a porta escolhida por você e o terceiro representa a porta aberta pelo apresentador após sua primeira escolha. As letras G ou P na quarta posição indicam apenas se você ganha o carro ou o perde (e ganha o bode). Elas são a rigor desnecessárias para o problema matemático em si mas são úteis para facilitar a exposição. Qual deve ser a probabilidade de cada um dos resultados acima? Consideremos, por exemplo, o resultado (1, 2, 3, G). Pelas considerações acima a probabilidade de que o primeiro número seja 1 é de 1/3 e a probabilidade de que o segundo seja 2 também é de 1/3. Agora, uma vez que o carro está na porta 1 e você escolheu a porta 2, o apresentador, pelas condições do problema, não tem outra alternativa: ele tem que abrir a porta 3 (do contrário abriria a porta onde está o carro). Concluímos que devemos atribuir a probabilidade 1/3 1/3 = 1/9 a este resultado. O mesmo vale para qualquer uma das quadras assinaladas com um G na quarta posição. O que se pode dizer a respeito das quadras onde o P aparece na última posicão? Tomemos, por exemplo, a quadra (1, 1, 2, P). Como acima, a probabilidade de termos 1 na primeira posição e 1 na segunda posição deve ser 1/9 Qual é a probabilidade de termos 2 na terceira posição? Isto não é claro, a partir dos dados do problema. Pois agora o apresentador pode optar pelas portas 2 ou 3 e não sabemos exatamente como ele faz para escolher. Pode ser, por exemplo, que ele escolha uma das duas possíveis com igual probabilidade. Neste caso, deveríamos atribuir probabilidade 1/18 para cada um dos resultados (1, 1, 2, P) e (1, 1, 3, P). Isto, entretando, não está claro e também não é necessário para resolver o problema em questão. De fato, só o que queremos calcular é sua probabilidade de ganhar, ou seja, queremos calcular a probabilidade do evento: A = (1, 2, 3, G), (1, 3, 2, G) (2, 1, 3, G), (2, 3, 1, G) (3, 1, 2, G), (3, 2, 1, G) Pelas considerações feitas acima, a probabilidade de cada um dos resultados em A deve ser igual a 1/9. Como existem 6 resultados possíveis em A segue que P(A) = 2/3. O evento B = voce perde, sendo complementar a A, terá então probabilidade 1 2/3 = 1/3. 4

5 Como observação final, queremos enfatizar mais uma vez que, para resolver o problema foi necessária traduzir o enunciado original formulado em uma linguagem um tanto ambígua, explicitando algumas hipóteses apenas sugeridas. É claro que estas hipóteses representam uma interpretação do problema, e podem haver outras interpretações plausíveis. No caso deste problema em especial, como já indicamos, podemos também formular um modelo matemático, levando em conta a estratégia adotada pelo apresentador para escolher a porta a ser aberta. Isto conduz a um problema matemático diferente no qual é preciso introduzir o conceito de probabilidade condicional. Para o leitor interessado recomendamos as referências abaixo, nas quais estas notas se baseiam. Referências [1] Isaac, R., The Pleasures of Probability, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, [2] Morgan, J.P, Chaganty N.R., Dahiya R.C e Doviak M.J., Let s Make a Deal: The Player s Dilemma, The American Statistician, November 1991, vol 45, n. 4,