Faculdades Pitágoras de Uberlândia. Matemática Básica 1

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1 Faculdades Pitágoras de Uberlândia Sistemas de Informação Disciplina: Matemática Básica 1 Prof. Walteno Martins Parreira Júnior waltenomartins@yahoo.com 2010 Professor Walteno Martins Parreira Júnior Página 0

2 Sumário 1 APRESENTAÇÃO Metodologia da Disciplina Visão geral da Disciplina Objetivos da Disciplina Encontro das equipes de aprendizagem: O que se avalia? Avaliação dos Alunos CONJUNTOS NUMÉRICOS Representação e Linguagem dos Conjuntos Naturais, Inteiros, Racionais e Reais Noções de Conjunto Representação de conjuntos Diagramas de Venn Operações e Propriedades Igualdade de Conjuntos Conjunto Unitário Conjunto Vazio Relação de inclusão Subconjunto Operações com Conjuntos: Interseção Operações com Conjuntos: União Operações com Conjuntos: Diferença entre dois conjuntos Operações com Conjuntos: Complementar de um conjunto Conjuntos Numéricos Conjunto dos Números Naturais Conjunto dos Números Inteiros Conjunto dos Números Racionais Conjunto dos Números Irracionais Conjunto dos Números Reais Intervalos Exercícios... 9 Professor Walteno Martins Parreira Júnior Página 1

3 1 APRESENTAÇÃO 1.1 Metodologia da Disciplina Aula expositiva: informação, conhecimento, aprendizagem de conceitos e princípios. Encontros das equipes de aprendizagem: desenvolvimento de habilidades e competências, não só da disciplina em questão, mas também habilidade de trabalhar em grupos e equipes. Ênfase em projetos e pesquisas dos alunos, fazendo a relação entre a teoria e o mundo real. Atividades Avaliativas (individuais e coletivas) 1.2 Visão geral da Disciplina Estudar a Matemática implica conhecer tanto seu sistema quanto sua linguagem. A Matemática adota o método dedutivo para desenvolver suas teorias, portanto os sistemas matemáticos são também chamados sistemas lógico-dedutivos. Um sistema lógico é um conjunto de axiomas e regras de inferência que visam representar formalmente o raciocínio válido. Diferentes sistemas de lógica formal foram construídos ao longo do tempo quer no âmbito estrito da Lógica Teórica, quer em aplicações práticas na Engenharia, na Ciência da Computação nos Sistemas de Informação e em Inteligência artificial, etc. A linguagem matemática é útil às Ciências principalmente porque analisa e descreve como as grandezas variam em fenômenos que obedecem a critérios determinados. 1.3 Objetivos da Disciplina Matemática Básica I procura ensinar os alunos a serem críticos em relação aos resultados matematicamente encontrados, não de uma forma intuitiva ou gratuita, mas de forma racional e logicamente argumentada. Aprender a criticar um resultado matematicamente encontrado é aprender a distinguir e aplicar adequadamente argumentos matemáticos, e é também aprender a avaliar a invalidade de argumentos matematicamente apresentados. Desenvolver a capacidade de raciocínio lógico e dedutivo. Estabelecer adequadamente métodos, conceitos e modelos matemáticos ligados à solução de problemas. Usar adequadamente linguagem e conceitos matemáticos ligados à solução de problemas específicos. Desenvolver a habilidade algébrica e a capacidade de relacionar conceitos abstratos da álgebra e da geometria à solução de problemas; analisar e criticar os resultados obtidos. 1.4 Encontro das equipes de aprendizagem: Nenhum aluno pode participar dos encontros das equipes de aprendizagem sem fazer parte de uma equipe. O aluno deve ler o material indicado no Guia do Aluno anteriormente. Não é possível desenvolver satisfatoriamente uma atividade sem um mínimo de conhecimento do conteúdo ministrado nas aulas expositivas. O aluno deve trazer o material indicado para a sala de aula. A participação será avaliada a cada encontro das equipes. A nota de participação não é nota de presença. 1.5 O que se avalia? Professor Walteno Martins Parreira Júnior Página 2

4 Avaliação de conteúdos. Produtos: estruturas internas que revelam o grau de proficiência do aluno para elaborar os conteúdos, relacioná-los com conhecimentos anteriores e aplicá-los a situações concretas, conhecidas ou novas. Estratégias cognitivas e metacognitivas: capacidade do aluno em monitorar e regular o próprio processo de aprender a aprender. 1.6 Avaliação dos Alunos Conhecimentos adquiridos. Habilidades e competências específicas da disciplina, principalmente, a competência argumentativa. Atitudes: abertura às idéias e aos argumentos dos outros, mostrando disponibilidade para rever suas próprias opiniões; cooperação com os outros, mostrando que a crítica só é eficaz através do diálogo justo e honesto, no seio de uma comunidade. Participação efetiva nas aulas e atividades coletivas (não é apenas presença). Professor Walteno Martins Parreira Júnior Página 3

5 2 CONJUNTOS NUMÉRICOS O tratamento matemático de fenômenos científicos associa grandezas que expressam na maioria das vezes quantidades; tais grandezas são frequentemente representadas por números e, portanto, a Teoria dos Conjuntos auxilia na solução dos problemas dessa natureza. 2.1 Representação e Linguagem dos Conjuntos Naturais, Inteiros, Racionais e Reais Noções de Conjunto A noção de conjunto é a mais simples e fundamental da matemática, pois a partir dela podem se expressar todos os conceitos matemáticos. Um conjunto é uma coleção qualquer de objetos. Por exemplo: Conjunto dos países do mercosul: Argentina,, Brasil, Paraguai e Uruguai; Conjunto de regiões brasileiras: Centro-oeste, Norte, Nordeste, Sudeste e Sul; Conjunto de números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,... Conjunto de números quadrados: 1, 4, 9, 16, 25, 36,... Um conjunto é formado por elementos. Um objeto o qualquer pode ou não ser elemento de um determinado conjunto A. Quando for, diz-se que o pertence a A e escreve-se o A e em caso contrário, dize-se que o não pertence a A e escreve-se o A. Assim, considerando que: M : Conjunto dos países do mercosul; P: Conjunto de regiões brasileiras; Q: Conjunto de números primos. R: Conjunto de números quadrados. Tem-se que: O Brasil M e Chile M. (lê-se: Brasil pertence a M e Chile não pertence a M) O Nordeste P e Bolívia P. 2 Q e 9 Q. 16 R e 8 R. Portanto, um conjunto é qualquer coleção de objetos. Os objetos que compõem a coleção são chamados elementos. Os elementos pertencem à sua respectiva coleção. Convenciona-se representar conjuntos por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas Representação de conjuntos. Tomando como exemplo o conjunto B dos números ímpares menores que 10 e maiores que 0. Colocando os números entre chaves: B = { 1, 3, 5, 7, 9} essa é uma representação pela designação de seus elementos. Existe outro tipo de representação, que é pela propriedade de seus elementos. O elemento do conjunto é chamado de x que possui uma propriedade P, o conjunto será indicado por x tal que x possua a propriedade P { x x possui a propriedade P}, essa barra vertical significa tal que. Pegando o mesmo conjunto B = { 1, 3, 5, 7, 9}, o conjunto dos números ímpares menores que 10 e maiores que 0. Usando esse tipo de representação fica: B = { x x é ímpar e 0 < x < 10 } Que é representado por: Professor Walteno Martins Parreira Júnior Página 4

6 Os elementos que pertencem ao conjunto B (na área verde) estão dentro do diagrama, os de fora são ímpares, mas não pertencem ao conjunto B. Essa é uma representação em forma de Diagrama. Diagramas de Venn É usual representar os conjuntos por curvas fechadas, sem auto-interseção, contendo no seu interior pontos que representam os seus elementos. Elementos que não pertencem ao conjunto são representados por pontos no exterior da curva. Por exemplo, na figura abaixo representa-se um conjunto A = {x, y, z,u,w}. A figura indica que a A, b A e c A. 2.2 Operações e Propriedades Considerando a propriedade p, logo, p: x é um número natural ímpar. Assim, essa propriedade pode ser representada pelo conjunto I = {1, 3, 5, 7, 9, 11,...}. Logo, não faz diferença dizer que x possui a propriedade p ou que x I. Considerando agora a condição c, logo, c: x é um número inteiro que satisfaz a condição x 2 4 = 0. Esta condição pode ser expressa pelo conjunto A = {-2, 2}. Neste caso, também não faz diferença dizer que x satisfaz a condição c ou que x A. Concluindo, é mais simples trabalhar com conjuntos, definindo operações entre eles do que com propriedades e condições Igualdade de Conjuntos Dois conjuntos são iguais quando tiverem os mesmos elementos. Equivalentemente, dois conjuntos A e B serão considerados iguais quando todo elemento de A for elemento de B e todo elemento de B também for elemento de A. Para simplificar que um conjunto A é igual a um conjunto B, usa-se a notação A = B. Não importa se há repetição de elementos e nem a ordem em que os elementos são listados Conjunto Unitário Um conjunto que contenha um único elemento é chamado unitário. Por exemplo: Professor Walteno Martins Parreira Júnior Página 5

7 Conjunto Vazio A = { x x é par e 4 < x < 8 } ou A = {6} Um conjunto sem elementos é chamado conjunto vazio, que é representado por ou por { }. Por exemplo: Dado o conjunto C = { y y é natural e 2 < y < 3 } é um conjunto que não possui nenhum elemento Relação de inclusão Subconjunto Dados dois conjuntos A e B, diz que A está contido em B ou que A é subconjunto de B, somente se, todo elemento do conjunto A também for elemento de B. Isso será representado da seguinte forma: A B. Por Exemplo: Observe que todo elemento pertencente ao conjunto A pertence também ao conjunto B. Por isso, A está contido em B.Simbolicamente: A B A está contido em B.E também B A B contém A Operações com Conjuntos: Interseção Exemplo de interseção de conjuntos: Os elementos que fazem parte do conjunto interseção são os elementos comuns aos conjuntos relacionados. Exemplo 1: Dados dois conjuntos A = {5,6,9,8} e B = {0,1,2,3,4,5}, se pedir a interseção deles tem-se que: A B = {5}, diz-se que A inter B é igual a 5. Professor Walteno Martins Parreira Júnior Página 6

8 Exemplo 2: Dados os conjuntos B = {-3, -4, -5, -6} e C = {-7, -8, -9}, se pedir a interseção deles tem-se: B C = { } ou B C =, então B e C são conjuntos distintos. Exemplo 3: Dados os conjuntos D = {1,2,3,4,5} e E = {3,4,5}. A interseção dos conjuntos ficaria assim: E D = {3,4,5} ou E D = E, pode ser concluído também que E D Operações com Conjuntos: União Exemplo 1: Conjunto união são todos os elementos dos conjuntos relacionados. Dados os conjuntos A = { x x é inteiro e -1 < x < 2} e B = {1,2,3,4} a união desses dois conjuntos é :A U B = {0,1,2,3,4} Exemplo 2: Dados os conjuntos A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4,5} a união desses conjuntos é: A U B = {1,2,3,4,5}, nesse caso pode-se dizer que A U B = B Operações com Conjuntos: Diferença entre dois conjuntos Dados dois conjuntos A e B chama-se conjunto diferença ou diferença entre A e B, o conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B. O conjunto diferença é representado por A B. Exemplo 1: Dado: A = {1,2,3,4,5} e B = {3,4,5,6,7}, a diferença dos conjuntos é: A B = {1,2} Exemplo 2: Dado: A = {1,2,3,4,5} e B = {8,9,10}, a diferença dos conjuntos é: A B = {1,2,3,4,5} Exemplo 3: Dado: A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4,5}, a diferença dos conjuntos é: A B = Professor Walteno Martins Parreira Júnior Página 7

9 Operações com Conjuntos: Complementar de um conjunto Matemática Básica 1 Dado um conjunto A de um certo universo U, chama-se complementar de A em relação a U o conjunto formado pelos elementos de U que não pertencem a A. Indica-se C A U. Exemplo 1: Dados os conjuntos A = {1,2,3,4,5,6} e B = {5,6}, a diferença dos conjuntos é: A B = {1,2,3,4}. Como B A podemos escrever em forma de complementar: A B = C A B= {1,2,3,4}. 2.3 Conjuntos Numéricos Conjunto dos Números Naturais São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representado pela letra maiúscula N. Caso queira representar o conjunto dos números naturais não-nulos (excluindo o zero), deve-se colocar um * ao lado do N: N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...} N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,...} Conjunto dos Números Inteiros São todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos opostos (negativos). São representados pela letra Z: Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...} O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles são: Inteiros não negativos - São todos os números inteiros que não são negativos. Logo percebemos que este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais. É representado por Z+: Z+ = {0,1,2,3,4,5,6,...} Inteiros não positivos - São todos os números inteiros que não são positivos. É representado por Z-: Z- = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0} Inteiros não negativos e não-nulos - É o conjunto Z+ excluindo o zero. Representa-se esse subconjunto por Z*+: Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...} Z*+ = N* Inteiros não positivos e não nulos - São todos os números do conjunto Z- excluindo o zero. Representa-se por Z*-. Z*- = {... -4, -3, -2, -1} Conjunto dos Números Racionais Os números racionais é um conjunto que engloba os números inteiros (Z), números decimais finitos (por exemplo, 743,8432) e os números decimais infinitos periódicos (que repete uma sequência de algarismos da parte decimal infinitamente), como "12, ", são também conhecidas como dízimas periódicas. Os racionais são representados pela letra Q Conjunto dos Números Irracionais Professor Walteno Martins Parreira Júnior Página 8

10 É formado pelos números decimais infinitos não-periódicos. Um bom exemplo de número irracional é o número PI (resultado da divisão do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro), que vale 3, Atualmente, supercomputadores já conseguiram calcular bilhões de casas decimais para o PI. Também são irracionais todas as raízes não exatas, como a raiz quadrada de 2 (1, ) Conjunto dos Números Reais É formado por todos os conjuntos citados anteriormente (união do conjunto dos racionais com os irracionais). Representado pela letra R. 2.4 Intervalos Dados dois números reais a e b, com a < b, definimos: Intervalo aberto de extremidades a e b como sendo o conjunto ]a,b[= {x R a < x < b} Intervalo fechado de extremidades a e b como sendo o conjunto [a,b] = {x R a <= x <= b} Intervalo fechado à esquerda de extremidades a e b como sendo o conjunto: [a,b[= {x R a <= x < b} Intervalo fechado à direita de extremidades a e b como sendo o conjunto ]a,b] = {x R a < x <= b} Também definimos intervalos infinitos: ],b[= {x R x < b}, também representado por (,b) ],b] = {x R x <= b}, também representado por (,b] ]a,+ [= {x R x > a}, também representado por (a,+ ) [a,+ [= {x R x >= a}, também representado por[a,+ ) ],+ [= R, também representado por (,+ ) 2.5 Exercícios Numa universidade são lidos apenas dois jornais, X e Y. 80% dos alunos da mesma lêem o jornal X e 60%, o jornal Y. Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, assinale a alternativa que corresponde ao percentual de alunos que lêem ambos: a)80% b)14% c)40% d)60% e)48% Se um conjunto A possui 1024 subconjuntos, então o cardinal de A é igual a: a) 5 b) 6 c) 7 d) Após um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y. Sabe-se que das 10 pessoas presentes, 5 comeram a sobremesa X, 7 comeram a sobremesa Y e 3 comeram as duas. Quantas não comeram nenhuma das sobremesas? a) 1 b) 2 c) 3 d) Depois de n dias de férias, um estudante observa que: Professor Walteno Martins Parreira Júnior Página 9 e)10 e) 0

11 choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde; quando chove de manhã não chove à tarde; houve 5 tardes sem chuva; houve 6 manhãs sem chuva. Pode-se afirmar então que n é igual a: a)7 b)8 c)9 d) pessoas discutem a preferência por dois produtos A e B, entre outros e conclui-se que o número de pessoas que gostavam de B era: O quádruplo do número de pessoas que gostavam de A e B; O dobro do número de pessoas que gostavam de A; A metade do número de pessoas que não gostavam de A nem de B. e)11 Nestas condições, o número de pessoas que não gostavam dos dois produtos é igual a: a)48 b)35 c)36 d) Sendo o conjunto A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {2, 4, 6, 8} e C = {1, 2, 3, 4, 5}, determine: a) A C = b) A C = c) A (B C) = d) A B = e) C A = f) (A B) C = e)37 g) A C = Numa pesquisa realizada, verificou-se que das pessoas entrevistadas, 100 liam o jornal A, 150 o jornal B e 20 liam os dois jornais. Quantas pessoas foram consultadas? Professor Walteno Martins Parreira Júnior Página 1