MATEMÁTICA PRINCÍPIOS

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1 MTEMÁTI PRINÍPIOS PÍTULO NÚMEROS oneões Podemos imaginar um campo de futebol no qual desejamos ir de uma trave à outra. Pode-se seguir este raciocínio: Na caminhada, em determinado momento, estaremos na metade do campo; depois, chegaremos até a metade do que falta para chegar à outra trave; em seguida, estaremos na metade do que ainda falta etc. Dessa forma, nunca chegaremos até a outra trave. Segundo esse raciocínio, não é possível ir de um ponto para um ponto, distinto de. O paradoo surge ao se supor intuitivamente que a soma de infinitos intervalos de espaço é infinita. No entanto, os infinitos intervalos descritos formam uma sequência cuja soma converge para um valor finito. No caso do paradoo de quiles, além de se estabelecer a tartaruga como referencial, é um erro separar a dupla espaçotempo. Não se deve separar o espaço do tempo. onsiderando que velocidade é uma razão entre espaço e tempo, temos: s v 0 (subtraímos 0, pois ela t começou 0 m à frente). s 0v. t Para sabermos se quiles alcança a tartaruga, precisamos encontrar o ponto em que s = s. Isolando o espaço nas duas equações e igualando-as, temos: vt + 0 = 0vt vt 0, quiles encontra a tartaruga, após ela andar, aproimadamente,, m. Eercícios complementares. {; ; } = {; ; } = {; } = {; ; y} y = ou y = Podemos ter + y = ou + y =.. = {; }, pois {; } (todo conjunto é subconjunto dele mesmo) ou = {; ; }, pois {; } {; ; ; } ou = {; ; }, pois {; } {; ; ; } ou = {; ; ; }, pois {; } {; ; ; } = {; } ou = {; ; } ou {; ; } ou = {; ; ; }. omo =, devemos ter = 8, pois este é o único elemento de que não foi eplicitado em. inda deveremos ter: y = ou y = Para y =, temos: 8 y = y = ssim: y Para y =, temos: 8 y = y = ssim, y (Não convém, pois: ) = 8 e y =. onstruímos a seguinte tabela em função das informações do enunciado. Os dados destacados(*) foram etraídos do enunciado ou por suposição inicial. Homens Mulheres Total Menores % (*) % % Maiores 0% % 8% (*) Total 7% (*) 8% (*) 00% (*) Menores de idade: % Mulheres menores de idade: % Percentual: 0% Entre os menores de idade, o percentual de mulheres é de 0%.. c I. (F) O símbolo não é usado para relacionar dois conjuntos. II. (V) III. (V) IV. (F) intersecção entre dois conjuntos deve ser um conjunto, e não é representação de conjunto. 0. c Distância numérica do intervalo: 8 = unidades omo o intervalo foi dividido em partes iguais: : =, unidades De até X eistem unidades de,. ssim, temos:, =,7 Daí: +,7 = 7,7. d Sendo =, , temos: 0 7, , ssim, teremos:, ,...

2 . a P = {; 7; 8; ; 0; ; ; 0} = { ; 8; 0; ; ; ; 8; 0} = {; 8; ; } = {0; ; 0} = {0; ; 8; 0} ( ) = {0; 0} n[( ) ] = Tarefa proposta.. ada um dos conjuntos está definido por meio de uma propriedade, e seus elementos devem ser eplicitados. a) Sabemos que 0 = 0 e =. ssim, = {0; } e é um conjunto finito. b) Nesse caso, a diferença em relação ao item anterior é a condição de o número ser diferente de zero. Então, = {} e é um conjunto unitário. c) Nenhum número pode ser igual ao seu sucessor. Portanto, = { }, ou seja, é um conjunto vazio. d) Eistem infinitos números, logo D é um conjunto infinito.. a) Os números formados por dígitos (algarismos) e que contêm e são: e. ssim: = {; } 8 0 b) Em, =. Logo, = {}. c) Os múltiplos não negativos de podem ser obtidos por meio da multiplicação de por todos os números naturais. ssim: = {0; ; ; ; } d) O zero é múltiplo de qualquer número, mas não é divisível por ele mesmo. ssim, os divisores de zero são todos os reais não nulos.. onsiderando que, y e z são números entre 0 e, deveremos ter: z =, pois =. unidade e acrescentamos na coluna das dezenas. ssim, só poderá dar, por causa do algarismo na soma resultante. Logo, =. centenas. ssim, y + =. Logo, y = 8. + y + z = 7. e Se a e b são consecutivos e positivos, então um deles é par e o outro é ímpar. soma de um número par com um ímpar é ímpar e o produto é par. ssim: a) (F) soma é ímpar. b) (F) O produto ab é par, portanto seu sucessor é ímpar. c) (F) a + b é ímpar, que, somado com (que é par), resulta em número ímpar. d) (F ) Nada podemos afirmar, pois não sabemos que é par, a ou b. e) (V) a + b é ímpar, portanto seu sucessor é par.. c omo e y são números positivos e consecutivos, podemos concluir que um deles é par e o outro é ímpar. a) (F) Se for ímpar, será par. Se y for par, y será par. soma de par com par é par. b) (F) Ver anterior. c) (V) O produto y é par, portanto seu sucessor é ímpar. d) (F) O dobro de y é par, que, somado com um número par, resulta em par. e) (F) + y é ímpar, portanto seu sucessor é par. 7. c João percorreu 8 quilômetros, indo diretamente de Y para Z. Pedro foi de Y para Z, mas com escala em X. ssim, percorreu: quilômetros para ir até X e mais quilômetros de X para Z. Pedro percorreu quilômetros a mais que João. 8. Vamos identificar cada uma das embalagens como um conjunto: {morango; uva} Esses 8 conjuntos correspondem a 8 tipos diferentes de embalagens. Segundo modo: Procuramos o número de elementos do conjunto de partes de. Nesse caso, n[p()] = = 8. oncluímos que a empresa precisou fazer 8 tipos de embalagens.. D = {; ; ; ; ; 8; ; } e M = {; ; ; ; ; 8; ; ; 7; } D M = {; ; ; } O número de subconjuntos de F é dado por n(f). n[p(f )] = n(f) = = 0. c Para resolvermos esse tipo de problema, devemos procurar alguma lei de formação, conveniente, na disposição dos números. Uma lei de formação pode ser a seguinte: ( = ; = ; = ; ), e esse número é a ordem da linha elevada ao quadrado. ssim, o último número da a linha será =. cima de, não eiste número da linha anterior. O número que precede é e acima dele está o número =. nterior a, está o e, acima dele, estará 0.

3 . onsiderando que n() = n, temos que o número de subconjuntos de é dado por n. crescentando elementos ao conjunto, teremos que o número de subconjuntos passará a ser n +. ssim, podemos escrever: n + = n + 8 omo n + = n = n, temos: n = n + 8 n = 8 n = 8 n = 7 n = 7. b e y são números positivos. 0 < y < (pela representação geométrica) Multiplicando por : 0 < y < Logo, y está entre 0 e.. d Representação dos dados, utilizando o diagrama de Venn:. c Vamos traduzir em diagramas as informações da tabela, completando as intersecções e os conjuntos com a quantidade respectiva de elementos. Febre 0 Náuseas = 0 Dor no corpo 7. F V V V F om base nas informações do enunciado, vamos completar o diagrama de Venn, começando pelas intersecções. D ssim, vemos que a quantidade de predadores que não têm preferência por ou por é.. a) = {0; ; ; ; ; } b) = {; } c) ( ) = {0} d) ( ) = = = {0; ; } e) ( ) = {; ; ; ; }. b No diagrama a seguir, temos: S E I. (F) ompanhias que publicam em eatamente dois jornais: + + = II. (V) ompanhias que publicam em pelo menos dois dos jornais: = 8 III. (V) ompanhias que publicam em um único jornal: + + = IV. (V) ompanhias que publicam em pelo menos um dos três jornais: + 8 = V. (F) ompanhias que publicam apenas no jornal D: 8. c Nas figuras, temos: F H O número de alunos que gostam apenas de uma das três áreas é: =

4 Daí:. b otas olsas 0 7. a) z Francês Inglês y + = = + y = y = 8 + z = 0 z = 7 O total de alunos da sala é: + y + z + = 0 b) Oito alunos falam os dois idiomas. 0. d Se o número for racional, ele será real. Se o número for natural, ele será inteiro, racional e real. Se o número for inteiro, ele será racional e real. Se o número for positivo, ele será real. Entretanto, o número pode ser real sem ser natural, sem ser inteiro, sem ser racional e sem ser positivo.. c Enem Nenhuma política: lunos que responderam à pesquisa: = 8 lunos que não opinaram: 0 8 = b) (V) lunos que aprovam apenas uma política: = c) (F ) lunos que aprovam mais de uma política: = d) (F ) lunos que aprovam as três políticas: (dado no enunciado) e) (F) lunos que aprovam cotas: = lunos que aprovam somente o Enem:. = {; ; ; ; ; 8; ; ; 7} = {; 8; ; ; 0; ; 8} a) = {; ; ; 8; ; ; ; ; 8; 0; ; ; 7; 8} b) = {; } c) = {; ; ; ; 8; ; 7} d) = {; 8; ; 0; 8}. b = {0; ; ; ; ; ; } = = {0; ; ; ; 8} Se, então: = = {0; ; ; ; 8} 7. d a) (F) asta um contraeemplo para tornar a afirmação falsa.. e, ou seja, é um subconjunto de. : : : : om essa representação geométrica dos conjuntos, concluímos que: = [; ) (; ] e =. e X Y = {M; ; R; I} n(x Y ) = Veja: e 8 são números irracionais. No entanto, o produto 8 8 é racional. b) (F) Veja o contraeemplo: é irracional e, que é racional. também. No entanto, c) (F) Os números, 0,,,... são números irracionais entre e. d) (V) Demonstração: onsidere a e b dois números racionais positivos tais que a < b. Pode-se escrever: a < b, somando b aos dois membros e, depois, dividindo-os por, temos: a < b a + b < b a b < b

5 b > a, somando a aos dois membros e, depois, dividindo-os por, temos: b > a a + b > a a b > a Portanto, podemos concluir que a < a b < b, o que indica que entre a e b eiste, pelo menos, o número racional a b e) (F) asta um contraeemplo. Os números ( ) e ( ) são inteiros negativos. No entanto, a subtração ( ) ( ) = + + =, que é um número inteiro positivo. 8. e Dados do enunciado: hackers no terceiro trimestre de 00:.00 umento percentual no ano de 00 (ano da notícia): 77%.00,77 =.8 phishing no terceiro trimestre de 00: 0 umento percentual no ano de 00 (ano da notícia): 0% 0,0 =.00 trojans no terceiro trimestre de 00: 00 Diminuição percentual no ano de 00 (ano da notícia): % = 00 0, = 8 phishing e de trojans no terceiro trimestre de 00: 0 Fazendo a representação desses dados por diagrama, temos: Phishing 0 Trojans n(phishing) + n(trojans) n(phishing trojans) + = = =.8 =.8.7 = 08. b Vamos considerar os quatro conjuntos seguintes: : é o conjunto formado pelas pessoas com a substância no sangue. : é o conjunto formado pelas pessoas com a substância no sangue. : é o conjunto formado pelas pessoas com a substância no sangue. : é o conjunto das pessoas com a doença. om base no enunciado, podemos concluir que:. 0. b α δ β Se, então. ssim, se a substância não estiver presente no sangue da pessoa, então ela certamente não estará com a doença. 0, =. a) Podemos encontrar o número de elementos fazendo a seguinte conta: n() = (0 ) + = b) Da mesma forma que no item anterior, temos: n() = (0 ) + = 8 c) n( ) = 0 = 8 d) n(d) = 0 = 8 e) n(e ) = (0 ) = 8 f) n(f ) = (b a) + g) n(g) = b a. a). b) [; +[ [; +[ ] ; [ ou { < } ] ; [ ] ; [ [; + [ ou { } : : : : = { < } = ]; ] = { < } = ] ; ]. d Pelos dados do enunciado, temos que y > 0, pois < y <. y estiver bem próimo de, multiplicando < < por y, teremos mantidas as desigualdades < y <. y estiver bem próimo de, multiplicando < < por y, teremos as desigualdades 8 < y <. Em qualquer situação, o produto y pertencerá ao intervalo ] 8; [.

6 < <, os inversos terão relações inverti- das, ou seja:. Multiplicando tudo por : omo ] 8; [ 8;, a resposta correta é a alternativa d.. a De acordo com as informações do enunciado, temos: cardíacos, cardíacos = Observe o diagrama: PÍTULO PRIMEIRS OPERÇÕES oneões (c.q.d.) Sedentários ardíacos Eercícios complementares. F F F F V I. (F) a b = a b a = (ab) a II. (F) a b = a a b = (ab) a III. (F) a a a a = = 00 = 0 Portanto, 0 entrevistados eram sedentários.. c onsidere a figura: I II III s regiões I, II e III são definidas por: ) ] D D ) D] ssim, temos: ) = {; ; ; ; } ( ) = {; } [( ) ] D = {} D = {} ) = {; ; ; ; } ( ) D = {; ; } [( ) D] = {; } = 0 70 D IV. (F) Seria verdadeiro se tivéssemos uma multiplicação de mesma base. V. (V) (a + b ) a a b b = a b a a a. a a) 8 8 = ( ) 8 = b) 7 = ( ) 7 = 8 c) d) = ( ) = 0 e) 8 0 = ( ) 0 = 0 de maior valor é = 8 8, pois possui a maior base e o maior epoente.. e petabyte equivale a 0 gigabytes petabytes equivalem a 0 gigabytes gigabytes Número de DVDs necessários para armazenar petabytes pode ser calculado por: 0 0 petabytes 8 DVD Sabemos que: 8 < 8 < 8 < 8 < 0. a 7. Sejam n o dividendo, d o divisor, q o quociente e r o resto. d = q e n = d q + r, com 0 < r < d e r = Logo: d = q = ssim: n = + n =