Assunto: Conjuntos Numéricos Professor: Daniel Ferretto

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1 Todas as questões encontram-se comentadas na videoaula do canal maismatemática, disponível para visualização gratuita no seguinte link: NÍVEL BÁSICO 1. (G1 - ifal) Assinale a alternativa verdadeira. a) {1,, 4, 6, 7} = [1, 7]. b) Se C = ] 1, 3], então, más. c) Se D = [, 6], então, mas. d) A intersecção de dois intervalos numéricos é sempre um intervalo numérico. e) A união de dois intervalos numéricos pode ser um conjunto vazio.. (G1 - UTFPR) Indique qual dos conjuntos abaixo é constituído somente de números racionais. a) b) c) d) e) 3. (Ufmg) Considere a função Então, é CORRETO afirmar que o maior elemento do conjunto é: a) b) f (1). c) f (3,14). d) 4. (Uff) Segundo o matemático Leopold Kronecker ( ), Deus fez os números inteiros, o resto é trabalho do homem. Os conjuntos numéricos são, como afirma o matemático, uma das grandes invenções humanas. Assim, em relação aos elementos desses conjuntos, é correto afirmar que: a) o produto de dois números irracionais é sempre um número irracional. b) a soma de dois números irracionais é sempre um número irracional. c) entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número irracional. d) entre dois números racionais distintos existe pelo menos um número racional. e) a diferença entre dois números inteiros negativos é sempre um número inteiro negativo. 5. (Ufjf) Define-se o comprimento de cada um dos intervalos [a, b], ]a, b[, ]a, b] e [a, b[ como sendo a diferença (b - a). Dados os intervalos M = [3, 10], N = ]6, 14[, e P = [5, 1[, o comprimento do intervalo resultante de é igual a: a) 1. b) 3. c) 5. Página 1 de 8

2 d) 7. e) 9. NÍVEL INTERMEDIÁRIO 6. (Fgv) Considere as frações 1/n e 1/p, com n e p sendo números irracionais. Sobre o resultado da soma 1/n + 1/p afirma-se que pode ser: I. inteiro não nulo; II. racional não inteiro; III. irracional; IV. zero; V. imaginário puro. É correto apenas o que está contido em a) I e II. b) II e IV. c) I, II e III. d) I, II, III e IV. e) II, III, IV e V. 7. (Ufsj) Sejam r 1 e r números racionais quaisquer e s 1 e s números irracionais quaisquer, é INCORRETO afirmar que: a) o produto será sempre um número racional. b) o produto será sempre um número irracional. c) o produto será sempre um número irracional. d) para a razão será sempre um número racional. 8. (Epcar (Afa)) Considere os seguintes conjuntos numéricos e considere também os seguintes conjuntos: Das alternativas abaixo, a que apresenta elementos que pertencem aos conjuntos A, B e D, nesta ordem, é a) 3; 0,5 e 5 b) c) ; 5 e d) 9. (Uepg) Assinale o que for correto. 01) O número real representado por 0,5... é um número racional. 0) O quadrado de qualquer número irracional é um número racional. 04) Se m e n são números irracionais então m.n pode ser racional. 08) O número real pode ser escrito sob a forma, onde a e b são inteiros e. 16) Toda raiz de uma equação algébrica do º grau é um número real. 10. (Uel) Considere os seguintes conjuntos: Página de 8

3 I. II. III. O conjunto tem: a) Dois elementos. b) Três elementos. c) Quatro elementos. d) Oito elementos. e) Quatorze elementos. NÍVEL AVANÇADO 11. (Fuvest) As propriedades aritméticas e as relativas à noção de ordem desempenham um importante papel no estudo dos números reais. Nesse contexto, qual das afirmações abaixo é correta? a) Quaisquer que sejam os números reais positivos a e b, é verdadeiro que. b) Quaisquer que sejam os números reais a e b tais que é verdadeiro que. c) Qualquer que seja o número real a, é verdadeiro que. d) Quaisquer que sejam os números reais a e b não nulos tais que a < b é verdadeiro que. e) Qualquer que seja o número real a, com é verdadeiro que 1. (Ufpe) Analise a veracidade das afirmações seguintes, sobre propriedades aritméticas dos números: ( ) Se n é um número natural, então, o número é um natural par. ( ) Se a e b são números reais, e então, ( ) O produto de dois números irracionais é sempre irracional. ( ) Se n é um número natural, então, é um natural primo. ( ) A soma de um número racional com um irracional é sempre um número irracional. 13. (Ita) Sejam r 1, r e r 3 números reais tais que e são racionais. Das afirmações: I. Se r 1 é racional ou r é racional, então r 3 é racional; II. Se r 3 é racional, então é racional; III. Se r 3 é racional, então r 1 e r são racionais, é (são) sempre verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas I e II. e) I, II e III. GABARITO: 1. B. B 3. C 4. D 5. C 6. D 7. B 8. D 9. V F V F F 10. B 11. E Página 3 de 8

4 1. V F F F V 13. E Página 4 de 8

5 Gabarito: Resposta da questão 1: [B] [A] Falsa, pois {1,, 4, 6, 7} possui 5 elementos e [1, 7] possui infinitos elementos. [C] Falsa, pois 3,6. [D] Falsa, pode ser vazia. [E] Falsa, ela sempre terá elementos. Resposta da questão : [B] 1 A resposta correta é a [B], pois todos os elementos do conjunto 5, 0,, 9 podem ser 10 0 escritos como fração: 5, 0, 1, 3 e 6 9. Resposta da questão 3: [C] f , 31 f(1) 1, f(3,14) 3,14 f Logo o maior elemento do conjunto é f(3,14) Resposta da questão 4: [D] a) Falsa,. ( racional ) b) Falsa, 0( racional ) c) Falsa, são infinitos d) Verdadeira e) Falsa, -3 (-5) = Resposta da questão 5: [C] Como MP [5, 10] e P N [5, 6], segue que (M P) (P N) [5,10]. Assim, o comprimento desse intervalo é Resposta da questão 6: [D] Resposta da questão 7: [B] A alternativa [B] é a incorreta, pois o produto de dois irracionais pode ser racional. Exemplo: 8 4 Resposta da questão 8: Página 5 de 8

6 [D] A alternativa [A] não pode ser, pois 3 A. A alternativa [B] não pode ser, pois 10 B. A alternativa [C] não pode ser, pois 5 B. Portanto, a alternativa correta é a [D], pois 3 A, 3 B e,31 D. Resposta da questão 9: = 05 (01) Verdadeiro,. 0,5... = 47/90 (0) Falso, pois é irracional. (04) Verdadeiro (08) Falso, ele é irracional. (16) Não, pode ser complexa Resposta da questão 10: [B] Resposta da questão 11: [E] [A] Incorreta. Tomando a 9 e b 4, segue que [B] Incorreta. Para a 1 e b 1, obtemos a b 1 ( 1) Porém, a b. [C] Incorreta. Qualquer que seja o número real a, temos que exemplo, ( 1) a a. Observe que, por [D] Incorreta. Sejam a 1 e b 1. Temos que 1 1 e [E] Como 0 a 1, segue que 0 a a 0 a a 0 a a 0 a a. Portanto, 0 a a a 0 a a. Resposta da questão 1: V F F F V. Se n for par, então n(n 1)(n 1) é par. Se n for ímpar, então n 1 é par e, portanto, n(n 1)(n 1) é par. Desse modo, n(n 1)(n 1) é um natural par para todo natural n. Página 6 de 8

7 Se a 0 e b 1, então a b 0 ( 1) 1 0. Porém, O produto dos irracionais a 3 1 e b 3 1 é dado por ab ( 3 1)( 3 1) ( 3) a b 0 ( 1) 1 0. Portanto, como é racional, segue que o produto de dois irracionais nem sempre é irracional. Para n 11, vem Portanto, n n (11 ) 1113 n n 11 é um número composto para n 11. Sejam a um racional e b um irracional. Sabendo que a soma de dois racionais é um racional, e supondo que a b é racional, temos que (a b) a b é racional. Mas, por hipótese, b é irracional, nos levando, assim, a uma contradição. Portanto, a soma de um racional com um irracional é sempre um irracional. Resposta da questão 13: [E] Afirmação I (Verdadeira) r1 Q e r1 r Q, concluímos r Q, sabendo também que r 1 r r 3 Q concluímos que r 3 Q. r Q e r1 r Q, concluímos que r 1 Q, sabendo também que r 1 r r 3 Q concluímos que r 3 Q. Afirmação II (Verdadeira) r3 Q e r1 r r3 Q, concluímos que r 1 r Q. Afirmação III (Verdadeira) r3 Q e r1 r r3 Q, concluímos que r 1 r Q, sabendo que r 1 r Q temos r1 Q, ou seja, r 1 Q e r Q. Página 7 de 8

8 Resumo das questões selecionadas nesta atividade Data de elaboração: 08/05/014 às 16:15 Nome do arquivo: Conjuntos Num?ricos Legenda: Q/Prova = número da questão na prova Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro Q/prova Q/DB Grau/Dif. Matéria Fonte Tipo Média... Matemática... G1 - ifal/01... Múltipla escolha Baixa... Matemática... G1 - utfpr/01... Múltipla escolha Baixa... Matemática... Ufmg/ Múltipla escolha Baixa... Matemática... Uff/ Múltipla escolha Baixa... Matemática... Ufjf/01... Múltipla escolha Não definida.. Matemática... Fgv/ Múltipla escolha Média... Matemática... Ufsj/ Múltipla escolha Média... Matemática... Epcar (Afa)/ Múltipla escolha Baixa... Matemática... Uepg/ Somatória Não definida.. Matemática... Uel/ Múltipla escolha Elevada... Matemática... Fuvest/ Múltipla escolha Elevada... Matemática... Ufpe/01... Verdadeiro/Falso Elevada... Matemática... Ita/01... Múltipla escolha Página 8 de 8