APOSTILA 2015 MATEMÁTICA PROFESSOR: DENYS YOSHIDA MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

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1 APOSTILA 015 MATEMÁTICA PROFESSOR: DENYS YOSHIDA MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

2 Sumário 1.Conjuntos Representação de conjuntos Operações com conjuntos Propriedades da intersecção...7. Conjuntos numéricos Conjunto dos números naturais Conjunto dos números inteiros Conjunto dos números racionais Conjunto dos números irracionais Conjunto dos números reais Intervalos numéricos Notações de um intervalo Tipos de intervalos União e intersecção de intervalos Relações Binárias entre conjuntos Representação em um diagrama Representação no plano cartesiano Funções Definição Domínio, imagem e contra domínio Funções do 1º grau Definição...30 MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 015

3 6. Representação gráfica Raiz de uma função Estudo do sinal Inequações do 1º grau Sistemas de inequações do 1º grau Inequação produto Inequação quociente Função do º grau Gráfico O vértice da parábola Estudo da variação do sinal Inequação do º grau Funções eponenciais Equações eponenciais Inequações eponenciais Gráfico da função eponencial Crescimento e decrescimento Logaritmos Definição Condições de eistência Sistemas de logaritmos Propriedades dos logaritmos Mudança de base Equações logarítmicas...61 MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

4 9.7 Funções logarítmicas Crescimento e decrescimento...66 Eercícios de vestibulares...69 Referências bibliográficas...98 MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

5 1. Conjuntos Denominamos Conjunto a uma reunião de elementos. É uma definição bem primitiva, e podemos relacionar essa ideia em diversas situações. O conjunto universo e o conjunto vazio são tipos especiais de conjuntos. O conjunto vazio não possui elementos e é representado por ou Ø. Já o conjunto universo possui todos os elementos, de acordo com o que estamos trabalhando e geralmente é representado pela letra maiúscula U. 1.1 Representação de conjuntos Sua representação depende basicamente dos dados que se tem e da motivação do uso dos mesmos, veja abaio uma demonstração: Eemplo: O conjunto dos números ímpares maiores que zero e menores que onze. Vejamos a representação através de seus elementos. A = {1, 3, 5, 7, 9} Representação pela propriedade de seus elementos. A = { é ímpar e 0 < < 11}, o símbolo da barra ( ) significa tal que. tal que é ímpar e maior que zero e menor que 11. Representação por diagrama Assim como podemos somar, subtrair, multiplicar, dividir, potenciar entre outras operações numéricas podemos também operar conjuntos. Essas operações recebem nomes diferentes, como: União de conjuntos, Intersecção de conjuntos, Diferença de conjunto, Conjunto complementar. Todas essas operações são representadas por símbolos diferentes. Veja a representação de cada uma delas: MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

6 1. Operações com conjuntos União de conjuntos Dados dois conjuntos A = {1,, 3, 4} e B = {4, 5, 6}, chamamos união um terceiro conjunto com todos os elementos de A e B (Sem repetir os elementos comuns) A representação da união de conjuntos é feita pelo símbolo U. Então, A U B = {1,, 3, 4, 5, 6}. Representando a união por meio de diagramas: Sejam A e B os conjuntos abaio A B Então: AUB Intersecção de conjuntos Quando queremos a intersecção de dois conjuntos é o mesmo que dizer que queremos os elementos que eles têm em comum. Dados dois conjuntos A = {1,, 3, 4, 5, 6} e B = {5, 6, 7}, a intersecção é representada pelo símbolo, então A B = {5, 6}, pois 5 e 6 são os elementos que pertencem aos dois conjuntos. Representando a intersecção por meio de diagramas: Sejam A e B os conjuntos abaio A B MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

7 Então: A B Se dois conjuntos não têm nenhum elemento comum, a intersecção deles será um conjunto vazio. 1.3 Propriedades da intersecção 1) A intersecção de um conjunto por ele mesmo é o próprio conjunto: A A = A ) A propriedade comutatividade na intersecção de dois conjuntos é: A B = B A. 3) A propriedade associativa na intersecção de conjuntos é: A (B C) = (A B) C Eercícios sobre conjuntos 1- Analise os conjuntos abaio e diga quais são vazios: a) M / 0 b) N / 0. 0 c) O y / 0. y 4 d) d P d / 0 e) e Q e / 0 - Escreva os conjuntos indicados a seguir nomeando seus elementos: a) A é o conjunto dos números inteiros maiores que e menores que 7. b) B é o conjunto dos números inteiros positivos menores que 6. c) C é o conjunto dos números inteiros maiores que 5 e menores que 7. d) D é o conjunto dos números inteiros maiores que 8 e menores que. 3- Representar, usando um diagrama de Venn, o conjunto A dos números naturais primos menores do que 30. MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

8 4- Sendo A = {0,1,,3,4}, escreva todos os subconjuntos de A que têm elementos. 5- Dados os conjuntos 1,, 3 A, B 3,4, 5 e C 1,5, 6, efetue as operações: a) A B b) B C c) A C d) A B C e) A B f) A C g) B C h) A B C i) A B C 6- Considere os conjuntos: A={divisores naturais de 30}, B={múltiplos de 6} e C={múltiplos de 3}, calcule: a) A B b) B C c) A C d) A B C e) A B f) A C g) B C h) A B C i) A B C 7- Numa cidade, foi feito um levantamento para saber quantas crianças haviam recebido as vacinas Sabin e Tríplice. Os resultados obtidos estão na tabela a seguir. Determine o número de crianças: a) Abrangidas pela pesquisa b) Que receberam apenas a Sabin c) Que receberam apenas uma vacina MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

9 Vacina Número de crianças Sabin 548 Tríplice 4346 Sabin e Tríplice 81 Nenhuma (FATEC-SP) O conjunto A tem 0 elementos, A B tem 1 elementos e A B tem 60 elementos. O número de elementos do conjunto B é: a) 8 b) 36 c) 40 d) 48 e) 5 9- Em uma pesquisa realizada com 11 moradores de uma cidade, obteve-se que 57 pessoas usavam o sabonete Perfumado, 38 usavam o creme dental Dentinho e usavam o sabonete Perfumado e o creme dental Dentinho. Quantas pessoas não usavam qualquer desses dois produtos? MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

10 . Conjuntos numéricos A partir da notação de conjunto, chamamos Conjuntos Numéricos, os conjuntos cujos elementos são números que possuem algumas características em comum. Estudaremos nesse volume os conjuntos de números: naturais, inteiros, racionais, irracionais e finalmente os números reais..1 Conjunto dos Números Naturais A partir da necessidade de contagem de objetos surgiu o conjunto de números naturais, que é basicamente o conjunto numérico mais intuitivo, assim como qualquer criança sente a necessidade de contar objetos, as civilizações antigas sentiram a mesma necessidade, e surgiu a noção intuitiva de números naturais. São elementos do conjunto dos naturais todos os números inteiros positivos incluindo o zero. Representado pela letra maiúscula e seus elementos entre chaves, separados por vírgulas: N = {0,1,,3,4,5,6,7,8,9,10, } O primeiro elemento desse conjunto é o zero, e o conjunto é ilimitado superiormente, ou seja, não eiste um último número, o conjunto é infinito. A partir da reta numerada podemos representar geometricamente os conjuntos numéricos, para representação dos números naturais na reta numérica, escolhemos um ponto de origem (equivalente ao número zero), fiamos medida unitária e a orientação, geralmente da esquerda para a direita, e marcamos os números sobre a reta: Alguns subconjuntos importantes são pertencentes aos números reais: Conjunto dos números naturais não nulos: N*= {0,1,,3,4,5,6,7,8,9,10, } Utilizamos o * (asterisco) à direita do nome do conjunto para ecluir de determinado conjunto o número zero Conjunto dos números primos: P= {, 3,5, 7, 11, 13,...} Conjunto dos números pares: Np= {, 4, 6, 8, 10, 1,...} Conjunto dos números ímpares: MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

11 Ni= {, 3,5, 7, 11, 13,...} Propriedades: Os números naturais apresentam a propriedade do fechamento apenas para a adição e a multiplicação, ou seja se adicionarmos ou multiplicarmos dois ou mais, quaisquer números naturais entre si, o resultado será um número natural, por eemplo:, que é número natural; que é número natural; que é número natural; que é número natural; Podemos descrever simbolicamente essa propriedade: e Com a subtração o caso é diferente, a subtração entre números naturais pode ou não ser um número natural, por eemplo:, que é número natural; Não eiste no conjunto dos números naturais, tal número Então podemos dizer que N não é fechado para a subtração, por esse motivo houve a necessidade da ampliação desse conjunto, surgindo assim o conjunto dos números inteiros.. Conjunto dos Números Inteiros Com a limitação do conjunto dos números naturais para a subtração, como vimos essa não é fechada no conjunto, houve a necessidade de ampliar esse conjunto, surgindo assim o conjunto dos números inteiros. São elementos do conjunto dos números, todos os números naturais e seus respectivos opostos (números negativos), representado pela letra Z, o conjunto dos números inteiros é: Z= {...,-5, -4, -3, -, -1, 0,1,,3,4,5, } O conjunto é ilimitado inferiormente e ilimitado superiormente, ou seja, não eiste um primeiro ou um último número inteiro. Podemos representar também esse conjunto a partir de uma reta numérica: MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

12 -3 Alguns subconjuntos importantes são pertencentes aos números inteiros: Conjunto dos números inteiros não nulos: Z*= {...,-5, -4, -3, -, -1,1,,3,4,5, } Conjunto dos números inteiros não negativos: = {0, 1,,3,4,5, } Conjunto dos inteiros positivos: = {1,,3,4,5, } Conjunto dos números inteiros não positivos: = {...,-5, -4, -3, -, -1,0} Conjunto dos inteiros Negativos: = {...,-5, -4, -3, -, -1} Propriedades: Os números inteiros tem como subconjunto os números naturais, note por eemplo, que o subconjunto = {0, 1,,3,4,5, } é idêntico ao conjunto N, então podemos escrever que N Z, ou o conjunto N está contido no conjunto Z Da mesma maneira que os números naturais, o conjunto dos números inteiros são fechados para a adição e para a multiplicação, porém, podemos incluir também o fechamento para a subtração, que é número inteiro; que é número inteiro. Podemos sintetizar esse conjunto simbolicamente: e finalmente No tocante à divisão, podemos definir que a divisão entre dois números naturais, pode ou não ser um número natural, por eemplo:, que é número inteiro; que é número inteiro; MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

13 , de forma que não eiste no conjunto de números inteiros um valor que satisfaça a equação; Então, podemos concluir que Z não é fechado para a divisão, mas como podemos classificar o resultado dessas divisões, senão números inteiros? Assim, foram classificados os números racionais..3 Conjunto dos Números Racionais Representado pela letra Q, os elementos do conjunto dos números racionais são todos aqueles números que podem ser epressos na forma de uma fração na qual o numerador e o denominador são números inteiros, simbolicamente temos: Ou de maneira genérica: Q = A partir da definição de números racionais, podemos definir que um número pertencente ao conjunto dos números inteiros é racional, observe a demonstração: Seja qualquer número, e temos por definição que Q, então, substituindo temos Q, como, podemos afirmar que qualquer elemento de Z, é também elemento de Q, essa propriedade é válida, pois Z é subconjunto de Q. Eistem também alguns números de Q, que são representados em maneira de um número decimal eato ou também de uma dízima periódica, nas próimas linhas verificaremos que em ambos os casos podemos escrever esses números como uma fração : Transformando números decimais finitos em frações Uma das representações dos elementos do conjunto dos números Racionais, são os números decimais sendo finitos ou periódicos, temos como, por eemplo, de um número decimal finito 1,3, esse número possui seu equivalente fracionário, ou seja, pode ser escrito como fração. Para transformar os números decimais em frações, podemos mover a vírgula e dividir por uma potencia de 10 satisfatória, por eemplo, ainda utilizando o número, observe que após da vírgula temos duas casas decimais. MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

14 Então vamos mover a vírgula de forma que não fique nenhuma casa decimal,, nesse caso devemos movê-la por duas casas decimais e dividir por 10 :, ou ainda simplificando:. Observação: o valor da potência de 10 deverá ser igual ao número de casas decimais após a vírgula. Transformando dízimas periódicas em frações Nem sempre uma fração entre dois números inteiros tem como resultado um número decimal eato, um eemplo é a fração a essa maneira de escrever chamamos dízima periódica, sendo essa uma representação numérica, tanto decimal quanto fracionária, onde eiste uma sequência finita de algarismos que se repetem indefinidamente, como por eemplo 0, , assim como nos números racionais finitos, as dízimas periódicas também podem ser dadas por meio de fração, por eemplo a dízima que utilizamos acima é dada pela fração 1/9. Podemos classificar as dizimas periódicas em simples e compostas, conforme abaio: Dízimas periódicas simples: Quando o período aparece logo após à virgula. Eemplos: 0, Período: 1 0, Período: 1 Dízimas periódicas compostas: Quando eiste uma parte não repetitiva entre a vírgula e a parte periódica. Eemplos: 0, Período: 3, Parte não periódica: 8 0, Período: 7, Parte não periódica: 0, Período: 1, Parte não periódica: 98 Geratriz de uma dízima periódica É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica. Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica. Procedimentos para determinação da geratriz de uma dízima: Dízima simples MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

15 A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador o período e para denominador tantos noves quantos forem os algarismos do período. Eemplos: 1. Determine a fração geratriz das dízimas periódicas abaio a) No eemplo dado a parte periódica é composta pelo número, que deverá estar no numerador da dízima periódica, sendo que o seu denominador será dado pelo número 9, aparecendo apenas uma vez, pois o período é 1, então: b) No eemplo acima a parte periódica é composta pelo número 3, que deverá estar no numerador da dízima periódica, sendo que o seu denominador será dado pelo número 99, ou seja, o algarismo 9 duas vezes, pois o período é, então: Dízima Composta: A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma, sendo a parte não periódica seguida da parte periódica uma vez, menos a parte não periódica e b é a mesma quantidade de noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica..4 Conjunto dos números irracionais Para definirmos números irracionais, vamos relembrar dos números racionais, temos que um número racional é todo número escrito da forma a/b, com a e b Z, assim podemos definir um número irracional como sendo justamente o contrário, ou seja, não é possível escrever um MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

16 número irracional da forma a/b, com a e b Z a esse conjunto representamos pela letra I. um eemplo de números irracionais são as dízimas não periódicas, Como por eemplo: 1, , , entre outros Podemos separar os números irracionais em dois grupos os algébricos e os transcendentes, os números irracionais algébricos são as raízes não eatas de um número, como por eemplo, 5, 11, 113 e qualquer outra raiz ineata. Já os números irracionais transcendentes complementam aqueles irracionais algébricos, sendo os eemplos mais famosos de números irracionais transcendentes, o número (pi), o número de Euler e, cujos valores aproimados com duas decimais são respectivamente 3,14 e,7. O número representa a razão do comprimento de qualquer circunferência dividido pelo diâmetro da mesma circunferência e o número e é a base do sistema de logaritmos neperianos. Para identificar os números irracionais, podemos adotar alguns critérios, vamos começar definindo o que são números irracionais, são números racionais: Todas as dízimas não periódicas são números irracionais. Todas as raízes ineatas são números irracionais. A soma de um número racional com um número irracional é sempre um número irracional. Não são números irracionais: Todas as dízimas periódicas são números racionais. Todos os números inteiros são racionais. Todas as frações ordinárias são números racionais. Casos especiais Nesses casos devemos sempre nos atentar a cada caso, pois o resultado entre essas operações pode ou não ser um número racional: A diferença de dois números irracionais: Eemplo: - = 0 e 0 é um número racional. Porém, também temos que diferença entre dois irracionais pode ser irracional, como: -. O quociente de dois números irracionais: MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

17 Eemplo: : = = e é um número racional. Porém temos também: : = que é irracional. O produto de dois números irracionais pode ser um número racional. Eemplo:. = =4 e 4 é um número racional, porém podemos ter também π que é um número irracional..5 Conjunto dos números reais A união do conjunto dos números irracionais com o conjunto dos números racionais resulta num conjunto denominado conjunto R dos números reais. Sendo assim, todo número Natural, Inteiro, Racional ou Irracional é considerado um número real. Propriedades da adição em R Associativa: ( + y) + z = + (y + z) Comutativa: + y = y + Elemento neutro: + 0 = 0 + = Simétrico Aditivo ou aposto: + (-) = (-) + = 0 Propriedades de multiplicação em R Associativa: (. y). z =. (y. z) Comutativa:. y = y. Elemento neutro:. 1 = 1. = Simétrico multiplicativo ou inverso:. -1 = -1. = 1. Propriedade distributiva da multiplicação em relação á adição. (y + z) = y + z. Os números reais são importantes, pois a partir dele estudamos funções, que são um dos assuntos mais importantes da matemática elementar. OBS: Nem todo número é um número real. Alguns números que não são considerados números reais: 4, 4 1, 8, 6 10, entre outros. MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

18 Eercícios sobre conjuntos numéricos 10- Preencha a tabela substituindo os espaços em branco por SIM ou Não: Número 8 7 -,05 1, , , Natural? Inteiro? Racional? Irracional? Real? 11- Sendo a e b 1, determine o valor numérico das epressões: a) y a. a. b b b) y ( a b) a b 1- Assinale as afirmações verdadeiras: a) 4 7 b) 0 N c) 0,56789 Q d) 7 R e) 3, Q f) 8 R 13- (Fuvest-SP) Calcule: a) MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

19 b) 0,.0,3 3,,0 14- Dados n 3 e ou falsa: m 3 efetue as operações e classifique cada afirmação em verdadeira a) n m é racional. b) n. m é irracional. c) d) m é irracional. 3 m é irracional. 15- Escreva dois números racionais que estejam entre 0 e Escreva dois números racionais que estão entre: a) 0 e 5 3 b) 1 e 4 9 c) 3 1 e Transforme os seguintes números decimais em frações: a) 0,8 b) 1,5 c) 0,65 d) 5,36 e) 0,047 f) 0, Determine a fração geratriz das seguintes dizimas periódicas: a) 0, b) 0,33... c) 0, MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

20 d) 0, e) 0, f) 0, Classifique as afirmações abaio em verdadeira ou falsa: a) Todo número racional tem uma representação decimal finita. b) Se a representação decimal infinita de um número é periódica, então esse número é racional. c) Os números que possuem representação decimal periódica são irracionais. d) O produto de dois números irracionais é sempre um número irracional. 0- Dê cinco eemplos de números que não são reais. MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

21 3. Intervalos numéricos Chamamos intervalo a um conjunto que contém cada número real entre dois etremos indicados, e possivelmente os próprios etremos. 3.1 Notações de um intervalo Geralmente se simboliza um intervalo numérico por meio de colchetes [" e "] para indicar que um dos etremos do intervalo é parte deste intervalo e os parênteses ( e ) ou, também, os colchetes invertidos ] e [" para indicar o contrário. Então, considere que a e b são números reais, com a b, o intervalo I = (a,b] = ]a,b] representa o conjunto dos ε R, tal que a < b. Note que a não faz parte do intervalo. Representação de um intervalo na reta real Também podemos representar intervalo na reta real utilizando-se de uma pequena bolinha vazia para indicar que um dos pontos etremos não pertence ao intervalo e de uma bolinha cheia para indicar que o ponto etremo pertence. 3. Tipos de Intervalos Dados a e b números reais, com a b, pertencente ao intervalo e c o seu comprimento, podemos definir seu intervalo como a diferença entre o etremo superior e o etremo inferior, assim c = b a. Podemos classificar os intervalos como: a) Intervalo Fechado de comprimento finito: [a,b] = { ε R a b} b) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de comprimento finito: [a,b[ = [a,b) = { ε R a < b} c) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de comprimento finito (a,b] = ]a,b] = { ε R a < b} d) Intervalo aberto de comprimento finito: ]a,b[ = (a,b) = { ε R a < < b} e) Intervalo aberto à direita de comprimento infinito: ]-,b[ = (-,b) = { ε R < b} MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

22 f) Intervalo fechado à direita de comprimento infinito: ]-,b] = (-,b] = { ε R b} g) Intervalo fechado à esquerda de comprimento infinito: [a,+ ) = [a,+ [ = { ε R a } h) Intervalo aberto à esquerda de comprimento infinito: ]a,+ [ = (a,+ ) = { ε R > a} i) Intervalo aberto de comprimento infinito: ]-,+ [ = (-,+ ) = R j) Intervalo fechado de comprimento nulo: Como o comprimento é nulo e o intervalo fechado, então a = b e esse intervalo corresponde ao conjunto unitário {a}, isto é, a um ponto da reta real. 3.3 União e Intersecção de Intervalos Como intervalos são conjuntos também podemos realizar as operações de união e intersecção. Podemos representá-los através de sua representação gráfica, acredita-se que e a maneira mais fácil de visualizar essas operações. Para tanto utilizaremos um eemplo numérico: Sejam A = [-1,6] = e B = [3, 9) dois intervalos e vamos determinar A U B e A B. A U B Lembrando das definições de união de conjuntos, incluir em um terceiro diagrama todos os números de ambos os intervalos, ecluindo se as repetições, para tanto, iremos comparar duas retas em um sistema único: Para realizar essa operação, basta fazer paralelamente as retas reais com os dados dos intervalos, respeitando sua posição de cada valor, e uma terceira reta, também paralela a essas duas, sobre a terceira reta iremos sobrepor o resultado das duas demais, assim, toda a área em negrito faz parte da união das retas. A 1 6 B A U B 3 9 MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 015

23 Assim sendo: A U B = [1,9) A B Para a intersecção entre intervalos, o procedimento é parecido, porém ao invés de replicarmos na terceira reta todos os valores, iremos apenas marcar os valores que são comuns às duas retas: A 1 6 B 3 9 A B Assim sendo: A B = [3, 6] Eercícios sobre intervalos numéricos 1- Represente na reta real os seguintes intervalos: a) 4,0 b) 0,5 c) 3,7 d) 1, e) 0,5 f) 8, g), 6 h) 10, - Escreva os intervalos na forma de subconjuntos de R: a) M 0,5 b) N 3, MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

24 c) P 1,4 d) Q 1,6 e) K 7, f) O,4 g) R, h) S, 5 3- Escreva os subconjuntos de R na notação de intervalos: a) { R / 1} b) { R / 6} c) { R / 3} d) { R / 1 4} e) { R / 4} f) { R / 0 5} g) { R / 1} h) { R / 5} 4- Escreva, usando as duas formas, os intervalos: a) aberto de etremos -3 e 7. b) fechado de etremos 1 e 4. c) aberto à esquerda de etremos 1 e 3. d) aberto à direita de etremos -4 e Sendo A o conjunto dos números reais maiores que ou igual a 3 e menores que 8, escreva esse conjunto nas duas formas possíveis e represente-o na reta real. 6- Dados os intervalos A,4, B 3,5 e C 1,3, efetue as operações indicadas: a) A B b) B C c) A C MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

25 d) A C e) B C f) A B C g) A B C h) A B C 7- Considerando os intervalos: M 0,11, N 3,8 e K,7 operações:, efetue as seguintes a) M N b) M N c) M K d) M K e) N K f) M N K g) M N K h) M N K 8- Dados A 4,3, B 5,5 e E,1 a) A B b) A E c) B E d) A E e) A B E f) A B E, determine: MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

26 4. Relações Binárias entre conjuntos Denominamos relação ou relação binária entre dois conjuntos A e B é qualquer subconjunto de A B, ao qual chamamos produto cartesiano A por B. Eemplo: Sejam os conjuntos A e B: Obtemos o produto cartesiano de A por B A = {1,,3} B = {4,5,6} Podemos obter A B tomando alguns subconjuntos deste conjunto de pares ordenados, teremos algumas relações de A em B: R 1 = {(1,4)} R = {(1,4),(,6)} R 3 = {(1,5),(,6),(3,4)} R 1, R e R 3 são relações de A em B, pois seus elementos são pares ordenados (, y), com pertencente a A e y pertencente a B. 4.1 Representação em um Diagrama Outra maneira de representarmos uma relação binária é através de um diagrama de flechas, por eemplo, a relação R3 vista acima é representada abaio pelo diagrama de flechas: A B Em R 3 = {(1,5),(,6),(3,4)}, há três setas partindo do conjunto A, chamado de conjunto de partida e chegando no conjunto B, chamado de conjunto de chegada. MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

27 4. Representação no Plano Cartesiano Outra maneira de representarmos uma relação binária é por meio do plano cartesiano, para isso basta localizarmos o ponto referente ao par ordenado dado no plano cartesiano Oy. Ainda utilizando como eemplo o R 3 iremos identificar seus pontos e marca-los no plano cartesiano, aqui a primeira coordenada deverá ser identificada no eio horizontal, também chamado de abcissas ou eio, e o segundo elemento do par ordenado deverá ser identificado e marcado no eio vertical, também chamado de eio das ordenadas ou eio y, uma vez identificados todos os pontos, temos a representação do R3, conforme imagem ao lado. 5. Funções 5.1 Definição Sejam A e B dois conjuntos não vazios, é denominada função de A em B, representada por f: A B; y = f(), a toda e qualquer relação binária que associa a cada elemento de A, um único elemento de B. De acordo com a relação entre os conjuntos podemos obter inúmeras leis de formação, e classificar as funções quanto a seu tipo de estudos. Dentre os estudos das funções temos: função do 1º grau, função do º grau, função eponencial, função modular, função trigonométrica, função logarítmica, função polinomial. Podemos representar as funções geometricamente, através do plano cartesiano, associando às funções pares ordenados (,y), que determinam conjuntos de valores pertencentes à função. 5. Domínio, imagem e contra domínio Considere um conjunto A, ao qual chamamos de conjunto de saída e um conjunto B, denominado conjunto de chegada. Ao conjunto A (conjunto de chegada) denominamos de Domínio. O domínio de uma função também é chamado de campo de definição ou campo de eistência da função, e é representado pela letra D. Ao conjunto B (conjunto de chegada) denominamos contradomínio. Nem todos os elementos do contradomínio são necessariamente relacionados com algum elemento do domínio, então, aos elementos do contradomínio que são associados com os elementos do domínio, denominamos imagem. MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

28 Eemplo. Considerando o Domínio A ={1,, 3, 4} e Contradomínio B = {1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, identifique o conjunto imagem para a função relacionada pela lei de formação f() = y = (ou seja, cada elemento do conjunto A deve se associar ao dobro de seu valor em B ). Podemos resolver essa questão a partir da lei de formação da função, demonstrando a partir do diagrama, mas antes utilizaremos a lei de formação da função para identificar os elementos do conjunto imagem: f(1) = (1) = f(1) = () = 4 f(1) = (3) = 6 f(1) = (4) = 8 Assim sendo, o conjunto imagem dessa função será Im = {, 4, 6, 8} Representando o sistema acima por meio do diagrama, teremos: Eercícios sobre função 9- Sendo A { 1,0, } e B {1,3,4 }, obtenha AXB e BXA. 30- Dados os conjuntos A {3,5,6 } e B {1,4 } seguintes casos:, determine o produto cartesiano nos MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

29 a) AXB b) BXA 31- Represente no plano cartesiano os produtos cartesianos obtidos no eercício anterior. 3- Considere a função f ( ) 3 1. Calcule: a) f (0) b) f () c) f ( ) d) f (0,5) e) n tal que f ( n) 1 MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

30 6. Funções do 1º grau Considere a situação abaio: Felipe vai a um rodízio de pizzas, no qual paga o valor fio de R$15,00 para consumação, sendo que a cada refrigerante que ele toma paga R$ 4,00. Ao final do dia Felipe tomou 5 refrigerantes, qual será o valor da conta do restaurante? Bem, podemos perceber que o valor de R$15,00 deverá ser pago independente da quantidade de refrigerantes tomados, ou seja, é um valor fio, agora, a cada refrigerante tomado, Felipe paga R$ 4,00, como ele tomou 5 refrigerantes, ele deverá pagar R$ 4,00 5= R$ 0,00 mais o valor de R$15,00, ou seja, R$ 15,00 + 0,00 = R$ 35,00 Agora, caso Felipe tomasse apenas 3 refrigerantes, pagaria quanto? Os R$ 0,00 continuariam fios, o que mudaria era o valor pago nos refrigerantes, ou seja, R$ 4,00 5= R$ 1,00, então o valor total da conta seria R$ 15,00 + R$ 1,00 = R$ 7,00. Enfim, para cada número de refrigerantes tomados, temos um valor diferente ao final da conta, por isso dizemos que o preço é uma função de, e podemos epressar essa função através da lei matemática: Que é um caso particular de função polinomial de 1º grau. 6.1 Definição Definimos função do 1º grau ou função Afim, qualquer função f de IR em IR definida por uma lei matemática da forma f() = a + b, onde a e b são números reais dados e a 0. Na função f() = a + b, o número a é chamado de coeficiente angular da variável e o número b é chamado termo constante ou coeficiente linear. Eemplos de função do primeiro grau:, com, com, com, com 6. Representação Gráfica: MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

31 A representação gráfica de uma função do 1º grau é uma reta oblíqua em relação aos eios coordenados. A reta poderá ser crescente, decrescente ou paralela ao eio, de acordo com a lei de formação de cada função. Reta crescente: na reta crescente, o valor da função é diretamente proporcional ao valor da variável ou seja, a medida que os valores de aumentam, o valor da função também aumenta, uma função de 1º grau tem seu gráfico crescente, tem sempre o coeficiente. Reta decrescente: na reta decrescente, o valor da função é inversamente proporcional ao valor da variável ou seja, a medida que os valores de aumentam, o valor da função diminui, uma função de 1º grau tem seu gráfico crescente, tem sempre o coeficiente. Intersecção com os eios coordenados: A intersecção de com o eio acontece quando então genericamente, teremos: Então, temos que, o gráfico de intercepta o eio no eato valor do coeficiente linear, ou seja, no valor de b. 6.3 Raiz de uma função As raízes de uma função são os valores para os quais o gráfico dessa função intercepta com o eio das abcissas, para que isso ocorra, o valor do eio das ordenadas deve ser zero, ou seja, para identificar as raízes da função, temos que ter. Uma função do primeiro grau admite uma única raiz e determiná-la é simplesmente resolver uma equação do primeiro grau, considerando que ou seja: MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

32 e Eemplo: Achar a raiz da função y Estudo do sinal Estudar o sinal de qualquer função é determinar para que valores de a função tem sinal positivo ou negativo. No caso da equação de primeiro grau, devemos levar em consideração o valor da raiz (como vimos anteriormente) Função Crescente y > 0 a + b > 0 > y < 0 a + b < 0 < Ou seja, o valor de é positivo se for maior que a raiz, e o valor de y é negativo se for mentor que a raiz. Função decrescente y > 0 a + b > 0 < MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

33 y < 0 a + b < 0 > Ou seja, y é positivo para valores de menores que a raiz; y é negativo para valores de maiores que a raiz. Eemplos: Determine os sinais da função. Primeiro passo é determinar a raiz da função, ou seja,, Então, temos uma função crescente (termo >0) e com raiz = -3, logo: Solução: 6.5 Inequações do 1º grau São chamadas inequações quaisquer sentenças matemáticas descritas por meio de desigualdades, as inequações do 1º grau são muito utilizadas para resolução de problemas MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

34 sobre estudo de sinais das equações do 1º grau, abaio iremos resolver algumas atividades que podemos aplicar ao nosso estudo. Eemplos: Resolva as inequações: O mordo de resolução é bem semelhante à uma equação do primeiro grau, aqui também começaremos nosso procedimento pelos parênteses: Então isolamos os termos que tem a incógnita, mantendo-o no 1º membro e desenvolvemos: 6.6 Sistemas de inequações do 1º grau A resolução de um sistema de inequações pode ser feita a partir do estudo dos sinais de uma função para cada inequação, separadamente, seguido da determinação da intersecção dos conjuntos verdade dessas inequações. Eemplo: Resolva o seguinte sistema: Calculando agora o conjunto solução temos: Logo S, 1 MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

35 6.7 Inequação Produto Considerando f() e g() funções de variável, do 1º grau, chamamos de inequação produto uma desigualdade do tipo: f ( ). g( ) 0 f ( ). g( ) 0 f ( ). g( ) 0 f ( ). g( ) 0 A resolução de uma inequação produto pode ser feita com o estudo do sinal das funções, separadamente, seguido da determinação dos sinais do produto de f() por g() e posteriormente identificando os valores de que satisfazem a inequação produto. Eemplo: Resolva a inequação: ( 3 6).(5 7) 0 Primeiro fazemos o estudo do sinal de cada função: Fazemos o jogo de sinal com o estudo de sinal em cada coluna formada por uma função: MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

36 Logo 7 S { R / ou } Inequação Quociente Considerando f() e g() funções de variável, do 1º grau, chamamos de inequação produto uma desigualdade do tipo: f ( ) g( ) 0 f ( ) g( ) 0 f ( ) g( ) 0 f ( ) g( ) 0 Na resolução de uma inequação quociente o denominador deve ser diferente de zero e a regra de sinais é a mesma tanto para produto como para divisão no conjunto dos números reais. 1 1 Eemplo: Resolva a seguinte inequação: 0. Primeiro fazemos o estudo do sinal de cada função: MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

37 Fazemos o jogo de sinal com o estudo de sinal em cada coluna formada por uma função: Logo S R / 1 0,5} Eercícios sobre função do 1º grau 33- O perímetro P de um quadrado é função linear da medida l de seu lado. Qual a sentença que define essa função? 34- Para produzir certo produto, uma empresa tem um custo fio de R$ 100,00. Além disso, cada unidade produzida desse produto custa R$ 5,00. a) Represente o custo C, de unidades desse produto, como uma função de. b) Quantas unidades do produto serão fabricadas em determinado mês, se o custo for de R$ 18900,00? 35- Em certa cidade se paga pelo serviço de tái, em dia útil das 6h às 0h, o valor de R$ 3,0 pela bandeirada mais R$ 1,0 por quilômetro rodado. MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

38 a) Escreva a lei da função que epressa o preço P a pagar em função do quilômetro rodado. b) Calcule quantos quilômetros o tái percorreu se foram pagos R$ 13,0 pelo serviço. 36- Represente no plano cartesiano as seguintes funções do 1º grau: a) y 3 b) y 3 c) y d) y 37- Classifique as funções do eercício anterior em crescente, decrescente ou constante. Justifique suas respostas. 38- Determine o zero das seguintes funções: a) y 6 b) f ( ) 3 1 c) y d) e) f ( ) 3 y Sendo f ( ) 5, determine: a) f ( 4) b) o zero da função 40- Estude o sinal das seguintes funções: a) f ( ) 4 0 MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

39 b) y 3 c) f ( ) 9 d) y 4 10 e) 3 y Seja f ( ) ( k 1) 3k. Determine k, de modo que a função seja crescente. 4- Estude os sinais da função em cada caso: a) f ( ) 3.( ) 5 7 b) f ( ) ( 1).( ) Dê o conjunto solução das inequações: a) 6 8 b) 18 0 c) d) e) 4 7 f) Resolva a inequação 3.( 1) ( ). 45- Resolva os seguintes sistemas de inequações do 1º grau: a) b) 1 7 0,5 0 MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

40 c) d) Resolva: Calcule a soma dos números inteiros que satisfazem Resolva as inequações produto: a) ( 1).( ) 0 b) ( 4 ).( 1) 0 c) ( 3 3).( 5) 0 d) ( 1).( 5 10) 0 e) ( 3) Resolva a inequação ( ).( 3).( ) Resolva as seguintes inequações quociente: 1 a) 0 3 b) 0 1 c) d) 0 MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

41 7. Função do º Grau Definimos função do º grau ou função quadrática, qualquer função f de IR em IR definida por uma lei matemática da forma f() = a² + b+c, onde a, b e c são números reais dados e a 0. Eemplos de funções quadráticas: ; ; ; 7.1 Gráfico A representação geométrica de uma função do º grau é dada por uma parábola, que tem sua concavidade voltada para cima ou para baio. Construção da Par Raízes de uma função do º grau Uma função do º grau pode interceptar o eio em até dois pontos, então assim como a unção de 1º grau, devemos ter e desenvolver os valores das raízes reais a partir do cálculo do discriminante, representado pela letra grega. Cálculo das raízes de uma função do segundo grau: O número de raízes de uma função do º grau depende diretamente do valor do discriminante > 0, a equação possui duas raízes reais e diferentes. A parábola intercepta o eio em dois pontos distintos. MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

42 = 0, a equação possui apenas uma raiz real. A parábola intercepta o eio em um único ponto. < 0, a equação não possui raízes reais. A parábola não intercepta o eio. 7. O vértice da parábola Chamamos vértice V de uma parábola os pontos de maior valor em uma parábola com concavidade voltada para baio, ou o ponto de menor valor de uma parábola com concavidade voltada para cima. O ponto V pode tem as coordenadas. Construção da Parábola: Para construirmos uma parábola, utilizaremos as informações obtidas nos passos anteriores, como suas raízes, concavidade e o ponto do vértice, essa forma de construir gráficos é denominada construção através dos pontos notáveis. Veja o eemplo abaio: Construa o gráfico da função Concavidade: a=1>0, concavidade voltada para cima. Raízes: As raízes da função são: = -1 e = MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

43 Agora vamos calcular o valor do vértice: Agora, tendo todos esses pontos notáveis, basta marcá-los no gráfico e a partir deles desenhar a parábola. 7.3 Estudo da Variação do Sinal Assim como na função do 1º grau, para realizarmos o estudo da variação do sinal de uma função quadrática precisamos conhecer as suas raízes e também se a parábola tem a sua concavidade voltada para cima ou para baio. Como vimos no início de nossos estudos sobre funções do º grau, a concavidade da parábola ser voltada para cima ou para baio está associada ao coeficiente a. Para realizar o estudo do sinal dessa função temos seis possibilidades: Função com Duas Raízes Reais e Concavidade Voltada para Cima Funções com duas raízes reais: como vimos acima, se então vamos estudar o sinal se a > 0 e a < 0: Para a > 0: Para a < 0: Funções com uma raiz real: sabemos também que, se y > 0 ( < real, então vamos estudar 1 ou > o sinal se ) a > 0 e a < 0: y < 0 1 < < y > 0 1 < < y < 0 ( < 1 ou > ) MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

44 Para a > 0: Para a < 0: Funções com nenhuma raiz real: sabemos também que, se reais, então vamos estudar o sinal se a > 0 e a < 0: não possui raízes Para a > 0: Para a < 0: 7.4 Inequação do segundo grau As inequações do º grau são resolvidas de forma similar à equação do º grau. Porém aqui o resultado não são valores, mas sim intervalos para os quais a função assume valores maiores, menores ou iguais a zero, assim sendo, vejamos um eemplo para fiação. Eemplo 1. Resolva a inequação MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

45 Resolução: Podemos resolver uma inequação do segundo grau, semelhantemente à uma equação do mesmo tipo, então, vamos resolver inicialmente a equação:, pelo método resolutivo: e Para visualizarmos o sinal da inequação, podemos esboçar parcialmente o gráfico, anotando suas raízes e verificando, conforme seu comportamento, para que intervalo a função assume valores maiores ou menores que zero. Fica fácil observar que, os valores de subentendidos entre as raízes tem sua imagem menor que zero, então:, assim sendo: Solução: Eercícios sobre função do º grau 51- Sendo f ( ) 3 7 3, calcule: a) f (0) MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

46 b) f (1) c) f (4) d) f ( ) 5- Dadas as funções reais ( ) f 16 e g ( ) 4 1, calcule: a) f (0) b) g (0) c) f (1) d) g ( 1) 1 e) f ( 1) g 53- Um atleta arremessa um dardo em um campo plano de tal forma que a altura h que o dardo alcança em cada instante é epressa pela função h( t) t 8t, em que h é a medida em metros e t em segundos. Após quanto tempo o dardo atingirá o solo? 54- Determine k de modo que o gráfico da função dada por f ( ) 5 k 1 passe pelo ponto (-1,). 55- Determine o máimo ou o mínimo das seguintes funções quadráticas: a) y b) y 6 1 c) y d) y 4 3 e) y 1 10 MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

47 f) y ( 5) 56- Construa o gráfico das funções: a) b) f ( ) f ( ) c) f ( ) 4 d) y e) f ( ) Dada a função y 7 1, determine: a) O vértice V. b) As raízes. c) O corte no eio y. d) O esboço do gráfico. 58- Determine para quais valores de p as funções têm como gráfico uma parábola com concavidade voltada para cima: a) f ( ) ( p 3) 5 6 b) f ( ) (4p 3) 6 c) f ( ) (6p ) Um corpo é lançado do solo e a lei que epressa esse movimento é dada por: h( s) s 80s 8 (h e s em cm). Determine a altura máima atingida e o alcance horizontal. 60- (VUNESP) Suponha que um grilo, ao saltar do solo, tenha sua posição no espaço descrita em função do tempo (em segundos) pela epressão: atingida em metros. h( t) 3t 3t, onde h é a altura MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

48 a) Em que instante t o grilo retorna ao solo? b) Qual a altura máima em metros atingida pelo grilo? 61- Em um eperimento com certo tipo de moscas verificou-se que, em determinadas condições, o crescimento do número de moscas é uma função do tempo dada por n ( t) 8t 16t 80. Qual era a população inicial de moscas? Até que instante a população de moscas cresceu? 6- Um empresário determinou que o custo de certo produto de sua empresa é função do número de unidades produzidas desse produto. Essa função é definida por C n n, em que n é o número de unidades produzidas e C é o custo. Qual deve ser o número de unidades produzidas para que o custo seja mínimo? 63- Determine os zeros das funções: a) f ( ) b) f ( ) 6 1 c) f ( ) 5 0 d) f ( ) 3 5 e) f ( ) Considere a função real f ( ) p 5 6. Determine p para que 3 seja zero da função. 65- Faça o estudo do sinal das funções: a) f ( ) 5 3 b) f ( ) c) y d) f ( ) e) f ( ) 6 9 f) y g) y 3 3 MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

49 66- Para que valores de têm-se y > 0? a) y 6 9 b) y c) y Resolva as inequações do º grau: a) b) c) d) 6 0 e) Para quais valores reais de têm-se: a) b) c) ( ).( 3) 0 d) ( 4).( 4) 0 e).( 7) (PUCCAMP-SP) No Conjunto R, qual o conjunto verdade de 15 0? 70- Sendo f ( ) 4 6, é correto afirmar que: a) A função admite dois zeros reais e distintos. b) A função é positiva para maior que c) A função é positiva somente para no intervalo 1,6. d) A função é negativa para qualquer valor real. e) A função é negativa somente para no intervalo 1,6. MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

50 8. Funções Eponenciais Para entendermos os conceitos de funções eponenciais, vamos falar primeiramente de equações eponenciais, seu entendimento é primordial para entender o conceito de funções aplicados a esse campo. 8.1 Equações eponenciais Equações eponenciais são aquelas cujas incógnitas são potencias de um determinado número a, ou seja: a b Para resolvermos uma equação eponencial podemos fatorar o termo independente da equação para igualar as bases, assim podemos dizer que os epoentes são iguais. Assim sendo, teremos que n b a, como a n a a m n ( a 1 e a 0) b, então, consequentemente: Observe a resolução da equação eponencial a seguir. Eemplo 1. Resolva as equações eponenciais abaio: a) 56 Resolução: Fatorando 56, temos que: 56 = 8, logo: b) Resolução: Fatorando 7, temos que: 7 = 3 3, logo: Para se resolver a inequação eponencial procedemos da mesma forma que a equação: igualar as bases, e resolver a inequação com os epoentes, porém é necessário se atentar com o valor da base. 8. Inequações eponenciais MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

51 Inequação para 0 < a < 1 Observe que quando a base está entre 0 e 1, conforme aumentam-se os epoentes, aumentam-se os valores, conforme abaio: 1 3 4,,,... é respectivamente igual a, 4, 8, n Então, ou seja, a a n, mantém-se o sinal da desigualdade. Inequação para a < 1 Observe que quando a base é maior que 1, conforme aumentam-se os epoentes, diminuem-se os valores, conforme abaio: ,,,... 0,5, 0,5, 0,15, 0, Então: é respectivamente igual a n Se a <1, a a n, ou seja inverte-se o sinal da desigualdade. Eemplo 1. Resolva as inequações abaio a) 3 81 Resolução: Como sabemos , então Como a base é maior que 1, devemos manter o sinal da desigualdade, assim sendo: b) Resolução: sinal da desigualdade, assim sendo: Como a base é menor que 1, devemos inverter o Eercícios sobre equações e inequações eponenciais MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

52 71- Resolva as seguintes equações eponenciais: a) 5 56 b) 4 64 c) d) e) 5 5 f) 5 1 g) h) 3 i) j) Resolva 10 0, Determine o conjunto verdade das seguintes equações eponenciais: a) 4 0 b) c) d) e) f) Para que valores de têm-se a igualdade: ? 75- Determine os valores reais de de tal forma que: MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

53 76- Resolva as inequações em R: a) 3 7 b) 16 c) 1 3 d) e) f) 1 g) h) (0,001) i) Para que valores reais de são válidas as desigualdades? a) 8 64 b) c) d) e) Resolva MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

54 8.3 Gráfico da função eponencial Definimos função eponencial, qualquer função f de em da forma * f ( ) a com e 1 a. definida por uma lei matemática Supondo que não eistissem essas restrições, teríamos: Para a = 1, a função f( ) 1 seria equivalente a f( ) 1, que não é uma função eponencial, mas sim uma função constante. Para a = 0, teríamos f( ) 0 0 que admite f (0) 0 que é uma indeterminação matemática. Para a < 0, teríamos que a = -b (ou seja, a é um número negativo) e. admite f ( ) ( b ), a função 1 1 f ( b) b. E como sabemos não eiste raiz quadrada (ou par) de números negativos. Para construção do gráfico de uma função eponencial vamos atribuir alguns valores a, e a partir desse valor, encontrar f(), identificar esses pontos no plano cartesiano e traçar a curva. Eemplo: Para a representação gráfica da função, -1, 0, 1, e. Montando a tabela temos: f( ) vamos atribuir os seguintes valores a : -4, - y = -6 y = -4 = 0,65-3 y = - = 0,5-1 y = -1 = 0,5 0 y = 0 = 1 1 y = 1 = y = = 4 Preenchemos esses valores no plano cartesiano e traçamos o gráfico, assim teremos: MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

55 8.4 Crescimento e Decrescimento Podemos classificar a função eponencial quanto ao crescimento e decrescimento, uma função eponencial é crescente ou decrescente, diferente da função quadrática que assume ambos comportamentos em uma mesma função, nas funções eponenciais, o comportamento depende diretamente do valor de sua base. Função Eponencial Crescente Se a função eponencial é crescente, ou seja, conforme aumenta o valor de f() também aumenta. Eemplo: Gráfico de f() = Função Eponencial Decrescente MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

56 Se f() diminui. a função eponencial é decrescente, ou seja, conforme aumenta, o valor de Eemplo: Gráfico de f() = 0,5 Eercícios sobre função eponencial 79- Esboce o gráfico e identifique como crescente ou decrescente as funções eponenciais: a) b) c) d) e) f) g) 1 y 3 y 3 y 3 y y y y (Fuvest-SP) Sejam os gráficos de f() e g(). f ) 3 ( e 1 g ) 5 (, usando o mesmo par de eios, esboce MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO

57 81- Resolva graficamente o sistema de equações: y 6 y 8- Esboce num mesmo plano cartesiano, os gráficos das funções f ( ) e f ( ) 3 e verifique quantas soluções tem a equação Uma função f dada por o valor de a. f ( ) a é tal que seu gráfico passa pelo ponto (1,3). Determine 84- Para fazer uma eperiência, um biólogo colocou 00 bactérias em um meio propício ao seu desenvolvimento, e observou que a cada hora o número de bactérias dobrava. Escreva a sentença que define o número de bactérias N em função do tempo t em horas. 85- Asclépio deposita R$ 500,00 na caderneta de poupança e, mensalmente, são creditados juros de % sobre o saldo. Sabendo que a fórmula do montante (capital + rendimento), após meses, é M ) ( ) 500.(1,0, calcule: a) o montante após um ano. b) o rendimento no primeiro ano. MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO