Hewlett-Packard CONJUNTOS. Aulas 01 a 06. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz

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1 Hewlett-Packard CONJUNTOS Aulas 01 a 06 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ano 2016

2 Sumário CONJUNTOS... 2 CONCEITOS PRIMITIVOS... 2 REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO... 2 RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA CONJUNTOS NOTÁVEIS... 2 TIPOS DE CONJUNTOS... 2 NÚMERO DE ELEMENTOS DE UM CONJUNTO SUBCONJUNTOS... 3 RELAÇÃO DE INCLUSÃO SUBCONJUNTO PRÓPRIO... 3 IGUALDADE ENTRE CONJUNTOS CONJUNTO DAS PARTES... 4 PRELIMINAR NÚMERO DE SUBCONJUNTOS DE UM CONJUNTO A... 4 OPERAÇÕES... 5 CONJUNTO COMPLEMENTAR NÚMERO DE ELEMENTOS DA UNIÃO... 6 PRELIMINAR ALGUMAS REPRESENTAÇÕES

3 AULA 01 CONJUNTOS CONCEITOS PRIMITIVOS Os conceitos primitivos da teoria de conjuntos são conjunto, elemento e pertinência. Um elemento pertence a um conjunto. Ex.: Uma carteira é parte de uma sala de aula. REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO 1. Tabular elementos listados entre chaves e separados por vírgula (ou ponto e vírgula). A = {1, 2, 5, 10} = {1, 5, 10, 2} 2. Diagrama de Venn elementos dispostos no interior de uma figura plana fechada. Exemplo 1.1: Seja A = {0; 1; {3,4}}. As seguintes relações são verdadeiras: 0 A {3,4} A 1 A 3 A 4 A {4} A Um conjunto fazendo papel de elemento Um conjunto listado dentro de outro conjunto deve ser visto apenas como um de seus elementos: A = {0, 1, {3,4}} {3,4} é um elemento de A. Isso não significa que 3 ou 4 sejam elementos de A. DICA: Considerando B o conjunto que contém as estações do ano, tem-se que verão B, mas o sol, que é um elemento do verão, não pertence a B. Tablet: Ler as Obs. 1 e 2; e os exemplos seguintes. A Dado A = {, 1, 3, {4}}, julgue os itens a seguir. a) 1 A b) A c) 4 A d) 3 A e) {4} A 3. Propriedade elementos descritos por meio de uma propriedade em comum. A = {x N x é divisor de 10} Como transformar de propriedade para tabular Quando um conjunto estiver descrito na forma A = {x B x }, interprete a primeira parte como os candidatos a elementos de A, enquanto a segunda parte (após a barra) é a sua restrição. Se um candidato satisfaz a restrição ele está eleito e, portanto, é elemento de A. Exemplo: Seja A = {x R x + 2 = 0} x R: diz que todos os reais são candidatos x + 2 = 0 : restrição -2 é o único candidato que satisfaz a restrição, portanto é eleito. Logo A = { 2} RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA Determina se um elemento pertence ( ) ou não pertence ( ) a um conjunto. AULA 02 CONJUNTOS NOTÁVEIS Conjunto Vazio( ou { }) - não possui nenhum elemento. Conjunto Unitário - possui um único elemento. Obs.1: e { } não tem o mesmo significado, de modo geral x {x}, para todo x. Conjunto Universo (U) contém todos os elementos do objeto de estudo. Tablet: Ler a obs. 4 e os exemplos seguintes. TIPOS DE CONJUNTOS Finito podemos contar seus elementos, chegando ao fim da contagem. Infinito não finito. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 2

4 NÚMERO DE ELEMENTOS DE UM CONJUNTO O número de elementos de um conjunto finito, cardinalidade, é denotado por n(a), #A ou A. Exemplo 2.1: Sejam A = e B = {2}, segue que n(a) = 0; n(b) = 1; Tablet: Ler as obs. 7 e 8 e os exemplos seguintes. Obs.2: Elementos repetidos em um conjunto são considerados como apenas um elemento Dado A = { ; 1; 3; {0; 4}}, julgue os itens a seguir. a) n(a) = 4 b) A é infinito c) {4} A d) 0 A e) 4 A 2.2. Classifique os conjuntos a seguir em unitário, vazio, finito ou infinito. a) A = {x R x 2 + 2x = 0} b) B = {x N x 2 = 1} c) C = {x R x 2 > 2} d) D = {x R (x + 2) (x 1 2 ) (x2 1) = 0} TAREFA 1 Leituras indicadas na aula e fazer os PRATICANDO EM SALA 1, 2, 4, 6(a,b), 7(a,b,c), 8 e 9. AULA 03 SUBCONJUNTOS RELAÇÃO DE INCLUSÃO A relação de inclusão é uma relação entre dois conjuntos. A é subconjunto de B (ou A está contido em B), se todo elemento de A é também elemento de B. A B (lê-se A está contido em B ) B A (lê-se B contém A ) Exemplo 3.1: Sejam A = {0, 2, 3} e B = {1, 0, 2, 3}, observe que Assim, temos que A B. Obs.3: Basta que um elemento de A não pertença a B para que A não esteja contido em B (A B). Exemplo 3.2: Sejam A = {1, 2, 4} e B = {x Z x é um número par}, como 1 A e 1 B temos que A B. Obs.4: Lembre-se que A e A A, para qualquer conjunto A. Pertinência e inclusão Pertinência: relação entre elemento e conjunto (Lembre-se que um conjunto pode ter outro conjunto como um de seus elementos). Inclusão: relação entre dois conjuntos (sendo um deles subconjunto do outro). ATENÇÃO! Para que um elemento seja promovido a subconjunto, é necessário colocá-lo entre chaves. Se esse elemento já for um conjunto, então ele receberá um segundo par de chaves. Tablet: Ler os exemplos que seguem a observação 11 e o exercício Dado A = {, 1, 2, {4}} e B = { 2, 4, {1}}, julgue os itens a seguir. a) {1} A f) { 2, 1} B b) 1 A g) A e B c) {4} A h) { } A d) {1, 2} A i) A B e) { 2, {1}} B j) B B SUBCONJUNTO PRÓPRIO Um conjunto A, tal que A B, é chamado de subconjunto próprio de B, se A e A B. TAREFA 2 Ler, no tablet, até a página 9 e fazer os PRATICANDO EM SALA 10 a 14, 15(1 a 4) e 16. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 3

5 AULA 04 IGUALDADE ENTRE CONJUNTOS Sendo A e B conjuntos, temos que A = B A B e B A Exemplo 4.1: Sejam os conjuntos A = { 1, 2, 3}, B = { 2, 1, 3} e C = { 1, 2, 3, 3, 3}, tem-se então A = B = C. Obs.6: O conjunto das partes também é um CONJUNTO. NÚMERO DE SUBCONJUNTOS DE UM CONJUNTO A O número de subconjuntos de um conjunto A é igual ao número de elementos do conjunto das partes de A. É possível demonstrar que esse número é obtido pela fórmula a seguir: Obs.5: Dois conjuntos que diferem apenas na ordem de seus elementos são iguais. n( (A)) = 2 n(a) 4.1. Determine se os conjuntos A = {1, 2, 4, 5} e B = {1, ( 1 2 ) 1, 2 2, 125 } são iguais. 5 CONJUNTO DAS PARTES PRELIMINAR 1 Dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4}, temos que: Tablet: PRATICANDO EM SALA 17 TAREFA 3: Ler, no tablet, o exemplo 27; e fazer os PRATICANDO EM SALA 18(a) e 19. A possui um subconjunto com zero elementos:. A possui quatro subconjuntos com um elemento: {1}, {2}, {3} e {4}. A possui seis subconjuntos com dois elementos: {1, 2}, {1, 3}, {1,4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}. A possui quatro subconjuntos com três elementos: {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {2, 3, 4}, {1, 3, 4}. A possui um subconjunto com quatro elementos: {1, 2, 3, 4} = A Estes são todos os subconjuntos de A. O conjunto das partes de A, (A), é, por definição, o conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de A. Exemplo 4.2: Sendo A = {1, 2, 3, 4}, tem-se que o conjunto das partes de A é dado por (A) = {, {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {2, 3, 4}, {1, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}} Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 4

6 AULA 05 OPERAÇÕES Estudaremos, primeiramente, as três operações seguintes: União, Interseção e Diferença. Para os exemplos a seguir, considere os conjuntos 𝑈 = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 7}, 𝐴 = {1; 2; 3}, 𝐵 = {3; 4; 5} e 𝐶 = {7}. UNIÃO INTERSEÇÃO 𝐴 𝐵 = {𝑥 𝑥 𝐴 𝑜𝑢 𝑥 𝐵} 𝐴 𝐵 = {𝑥 𝑥 𝐴 𝑒 𝑥 𝐵} DIFERENÇA 𝐴 𝐵 = {𝑥 𝑥 𝐴 𝑒 𝑥 𝐵} EXEMPLOS: 𝐴 𝐵 = {1, 2, 3, 4, 5} 𝑈 𝐴 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} = 𝑈 EXEMPLOS: 𝐴 𝐵 = {3} 𝑈 𝐵 = {3, 4, 5} = 𝐵 𝐵 𝐶 = EXEMPLOS: 𝐴 𝐵 = {1; 2} 𝐵 𝐴 = {4, 5} 𝐴 𝑈 = OBSERVAÇÕES: Obs.7: Um elemento não pertence à união de dois conjuntos se não pertencer a nenhum deles. 𝑥 (𝐴 𝐵) 𝑥 𝐴 𝑒 𝑥 𝐵 OBSERVAÇÕES: Obs.8: Dados os conjuntos 𝐴 e 𝐵, dizemos que 𝐴 e 𝐵 são disjuntos se os conjuntos 𝐴 e 𝐵 não têm elementos em comum, isto é 𝐴 𝐵 =. Tablet: Ler observação 15 Obs.9: Para que um elemento não pertença à interseção entre dois conjuntos, basta que ele não pertença a um deles. 𝑥 (𝐴 𝐵) 𝑥 𝐴 𝑜𝑢 𝑥 𝐵 OBSERVAÇÕES: Obs.10: Ao calcular a diferença entre dois conjuntos, você está respondendo à seguinte pergunta: Quais são os elementos do primeiro conjunto que não são elementos do segundo conjunto?. Obs.11: Em geral, 𝐴 𝐵 𝐵 𝐴. Tablet: Ler observação 23 Tablet: Ler observação 18 CONJUNTO COMPLEMENTAR Sejam 𝐴 e 𝐵 dois conjuntos, tais que 𝑨 𝑩. O conjunto complementar de 𝐴 em relação a 𝐵 é, por 𝐴 definição, o conjunto 𝐶𝐵. Note que 𝐴 𝐵 𝐶𝐵𝐴 = 𝐵 𝐴 Exemplo 5.4: Sejam 𝐴 = {1; 2; 3} e 𝐵 = {1; 2; 3; 4; 5}, então o conjunto complementar de 𝐴 em relação a 𝐵 é 𝐶𝐵𝐴 = {4, 5} Obs.12: 𝐴𝑐 = 𝐶𝑈𝐴, onde 𝑈 é o conjunto universo dado na questão. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Complementar A palavra complementar é atribuída a tal operação para passar a ideia de complemento. O conjunto complementar de 𝐴 em relação a 𝐵 é o conjunto que contém os elementos que faltam a um subconjunto de 𝐵, no caso, 𝐴, para que tenhamos 𝐴 = 𝐵 Considere os conjuntos 𝐴 = {1, 2, 3}, 𝐵 = {{1, 2, 3}}, 𝐶 = {1, 2, 3, 4} e 𝐷 = {0, 2, 4, 6}. Complete a tabela (TABELA FEITA EM SALA). TAREFA 4: Ler as páginas 11 a 23; Fazer os PRATICANDO EM SALA 21, 22, 25, 26, 27, 28. Página 5

7 AULA 06 NÚMERO DE ELEMENTOS DA UNIÃO Problemas e diagramas Para resolver grande parte dos problemas que envolvem contagem de elementos ou número de elementos, deve-se recorrer ao diagrama de Venn. Porém, no interior dos diagramas, muitas vezes não serão listados os elementos de cada conjunto, mas sim a quantidade de elementos que cada pedaço do conjunto possui. PRELIMINAR 1 Sejam A e B dois conjuntos finitos, representados pelo diagrama de Venn abaixo: A x y z B Então n(a B) = n(a) + n(b) n(a B) n(a B) = n(a B) = 6 Lembrando que A B = {{1, 2}; 3; 4; 5; 1; {1}} Obs.13: Se A e B são disjuntos (n(a B) = 0), então n(a B) = n(a) + n(b) ALGUMAS REPRESENTAÇÕES A seguir, você verá alguns diagramas de Venn. Eles representam algumas das possíveis relações entre dois conjuntos A e B. Note que eles têm uma ou mais de suas partes escurecidas, que ilustram a expressão que os antecede. A B Note que, n(a B) = x + y + z n(a) = x + y ; n(b) = y + z Se calcularmos n(a) + n(b) teremos: n(a) + n(b) = (x + y) + (y + z) = x + 2y + z A B Observe que os elementos da interseção (A B) estão sendo contados duas vezes. Portanto, precisam ter sua quantidade subtraída da soma obtida. Isto é: Sendo A e B dois conjuntos finitos, o número de elementos da sua união é dado pela relação a seguir. n(a B) = n(a) + n(b) n(a B) Somente em A ou (A B) Exemplo 6.1: Dados os conjuntos A = {{1, 2}; 3; 4; 5} e B = {3, 4, 1, {1}}, tem-se que n(a) = 4, n(b) = 4; n(a B) = 2 {3, 4} Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 6

8 Somente em B ou (B A) (Três conjuntos) Somente em B ou B A C existem 7 alunos que cursam Matemática e Química, mas não cursam Física; existem 6 alunos que cursam Física e Química, mas não cursam Matemática; o número de alunos que cursam exatamente uma das disciplinas é 150; o número de alunos que cursam pelo menos uma das três disciplinas é 190. Com base nessas informações, determine o número de alunos que cursam as três disciplinas. TAREFA 5: Ler as páginas 33 a 44; Fazer os PRATICANDO EM SALA 29, 30, 32, 33, 34, 35 e 37 EXTRA EXTRA: CONHECENDO AVALIAÇÕES 1, 2, 6, 8, 12, 14, 16, 19 e Sejam A e B conjuntos, tais que n(a B) = 68, n(a) = 30 e n(a B) = 12. Determine o número de elementos do conjunto B Em uma pesquisa sobre preferência musical, foram entrevistadas 40 pessoas. Elas optaram entre rock, pop ou sertanejo, podendo escolher nenhuma, uma, duas ou três entre as opções. Sabendo que, 5 pessoas escolheram os três estilos musicais 10 pessoas escolheram rock e pop Nenhuma escolheu apenas rock e sertanejo 7 escolheram pop e sertanejo 20 escolheram rock 20 escolheram pop 12 escolheram sertanejo Determine o número de pessoas que não escolheu nenhum dos três estilos musicais Os alunos de uma turma cursam alguma(s) dentre as disciplinas Matemática, Física e Química. Sabendo que: o número de alunos que cursam apenas Matemática e Física excede em 5 o número de alunos que cursam as três disciplinas; CAIU NO VEST 1. As preferências musicais são referência para o conhecimento das pessoas, já que essas preferências revelam quem as pessoas são e o que querem ou não ser. Assim, as escolhas nem sempre se ligam a critérios musicais, mas ao que a música representa para cada pessoa ou para o grupo sociocultural em que ela se insere. Em uma pesquisa sobre gosto musical, foram obtidos os dados apresentados na tabela a seguir: 1. Os dados na tabela mostram que, entre os jovens participantes da pesquisa, o número de alunos que revelaram preferência por mais de um tipo musical é Mais de 135 jovens revelaram preferência por apenas um dos tipos de música pesquisados. 3. O número total de jovens participantes da mencionada pesquisa é Para preencher vagas disponíveis, o departamento de pessoal de uma empresa aplicou um teste em 44 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 7

9 candidatos, solicitando, entre outras informações, que o candidato respondesse se já havia trabalhado: I em setor de montagem eletromecânica de equipamentos; II em setor de conserto de tubulações urbanas; III em setor de ampliações e reformas de subestações de baixa e de alta tensão. Analisados os testes, o departamento concluiu que todos os candidatos tinham experiência em pelo menos um dos setores citados anteriormente e que tinham respondido afirmativamente: 28 pessoas à alternativa I; 4 pessoas somente à alternativa I; 1 pessoa somente à alternativa III; 21 pessoas às alternativas I e II; 11 pessoas às alternativas II e III; 13 pessoas às alternativas I e III. 1. Apenas 10 candidatos têm experiência nos 3 setores. 2. Somente 36 candidatos têm experiência no setor de conserto de tubulações urbanas. 3. Apenas 15 candidatos têm experiência no setor de ampliações e reformas de subestações. 3. Um posto de abastecimento de combustíveis vende gasolina comum(gc), álcool anidro (AA) e óleo diesel (OD). Em uma pesquisa realizada com 200 clientes, cada entrevistado declarou que seus veículos consomem pelo menos um dos produtos citados, de acordo com a tabela abaixo. Considere que não existem carros bicombustíveis. Produto Proprietários de veículos que consomem o produto GC 120 AA 75 GC e OD 60 AA e OD 50 GC e AA 30 GC, AA e OD clientes possuem apenas veículos que consomem OD. 2. Pelo menos dois produtos são consumidos pelos veículos de mais de 120 clientes clientes possuem mais de um veículo, sendo que pelo menos um desses veículos consome GC e o outro consome AA, mas não possuem nenhum veículo que consome OD. QUESTÕES EXTRAS 1. Acerca do conjunto P = {0; ; 1; { 3; 1; 1}}. É correto afirmar que a) { } P. b) { 1} P. c) { 3; 1; 1} P. d) o número de subconjuntos unitários de P é 5. e) o número de elementos do conjunto das partes de P é Cada um dos 51 professores de uma escola leciona em, pelo menos, um dos três prédios, A, B e C, que a escola possui. A distribuição de aulas aos professores foi feita de seguinte modo: 32 professores lecionam no prédio A; 30 professores lecionam no prédio B; 29 professores lecionam no prédio C; 17 professores lecionam nos prédios A e B; 18 professores lecionam nos prédios A e C 13 professores lecionam nos prédios B e C. Quantos professores lecionam nos três prédios da escola? a) 8 b) 14 c) 27 d) 31 e) O número de elementos de um conjunto X pode ser denotado por n(x). Sendo A, B e C conjuntos tais que n(a B) = 23, n(b A) = 12, n(c A) = 10, n(b C) = 6 e n(a B C) = 4, tem-se que n(a B C) n(a C) é igual a a) 2. b) 4. c) 6. d) 8. e) Uma pesquisa que foi realizada com 200 jovens com o objetivo de identificar como anda a prática esportiva identificou que: Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 8

10 Dos 120 jovens que não praticam esportes, 75% são do sexo feminino; Dos 200 jovens que responderam à pesquisa, o número de homens é igual ao número de jovens que praticam esportes. Com base nessas informações, determine o número de jovens do sexo masculino que praticam esportes. GABARITO 1.1. CCCEC 2.1. CEEEC 2.2. a) VAZIO b) FINITO c) INFINITO d) FINITO 3.1. CCECCECCEC 4.1. São iguais 5.1. EM SALA 6.1. n(b) = CAIU NO VEST 1. ECC 2. CCC 3. CEC QUESTÕES EXTRAS 1. C 2. A 3. C Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 9