Exemplos Irracionais 0, ,

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1 Revisão SEFAZ

2 CONJUNTOS NUMÉRICOS

3 DIAGRAMA DOS CONJUNTOS N = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... } Exemplos Irracionais 0, , R = Q U I, sendo Q I = Ø

4 União, Intersecção e Diferença entre Conjuntos

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6 Conjunto Complementar Considere A um conjunto qualquer e U o conjunto universo. Todos os elementos que não estão em A estão no complementar de A. Veja o diagrama de Venn que representa o complementar de A, indicado por A C Assim o complementar de um subconjunto A se refere a elementos que não estão no conjunto A. Normalmente, o complementar se trata de maneira relativa à um conjunto universo U, sendo o conjunto A C o complementar de A formado pelos elementos de U que não pertencem a A.

7 Conjunto Complementar Vamos exemplificar como o contexto é importante para determinar o conjunto complementar. Considere o conjunto A={0,2,4,6,8,10, } Veja como fica se o conjunto universo no nosso contexto for N (números naturais). A C =N A={1,3,5,7,9 } B) Conjunto universo U=Z Agora, se o conjunto universo no nosso contexto for Z (números inteiros): A C =Z A={, 3, 2, 1,1,3,5,7,9 }

8 Complemento Relativo Se A e B são conjuntos, então o complemento relativo de A em relação a B, também conhecido como diferença de B e A (B A) é o conjunto de elementos de B que não estão em A. A diferença de B para A é geralmente denotada B \ A ou também B-A. Assim: B \ A = { x B/ x A} Exemplos {1,2,3}\{2,3,4}={1} {2,3,4}\{1,2,3}={4}

9 COMO A BANCA CESPE COBRA ISSO?

10 Com o objetivo de avaliar as razões para o baixo consumo de energia dos habitantes de determinada cidade, uma pesquisa revelou que 22% de suas residências têm máquina de lavar roupas, 17% têm computador e 8% têm máquina de lavar e computador. Com base nessas informações, a probabilidade de uma casa, selecionada aleatoriamente nessa cidade, não ter máquina de lavar nem computador é igual a: a) 82%. b) 31%. c) 47%. d) 69%. e) 75%. CESPE

11 CESPE Em uma consulta a 600 estudantes de uma escola acerca da preferência deles entre teatro ou cinema, apenas 50 deles não gostam de cinema nem de teatro. Entre os demais, 370 gostam de teatro e 420 gostam de cinema. Nesse caso, a quantidade desses estudantes que gostam de teatro e cinema é igual a a) 50. b) 130. c) 180. d) 240. e) 370.

12 CESPE Para um conjunto qualquer X, n(x) representa a quantidade de elementos de X. Nesse sentido, considere que os conjuntos A, B e C tenham as seguintes propriedades: n(a) = n(b) = n(c) = 50; n(a B) = n(a C) = n(b C) = 10; n(a B C) = 0. Nessa situação, n(a B C) é igual a a) 100. b) 110. c) 120. d) 130. e) 140.

13 FRAÇÕES

14 Considere que, das correspondências que um carteiro deveria entregar em determinado dia, 5/8 foram entregues pela manhã, 1/5 à tarde e 14 ficaram para ser entregues no dia seguinte. Nessa situação, a quantidade de correspondências entregue pelo carteiro naquele dia foi igual a a) 98. b) 112. c) 26. d) 66. e) 82. CESPE

15 RAZÃO E PROPORÇÃO

16 Razão A palavra razão vem do latim ratio e significa a divisão ou o quociente entre dois números, A e B, denotada por A/B. Exemplo: A razão entre 12 e 3 é 4, pois 12/3 = 4. Proporção Já a palavra proporção vem do latim proportione e significa uma relação entre as partes de uma grandeza, ou seja, é uma igualdade entre duas razões. Exemplo: 6 = 10, a proporção 6 é proporcional a

17 Exemplo: Dada a proporção x = 12, qual é o valor de x? 3 9 logo 9.x=3.12 9x=36 e portanto x=4 DICA: Observe a ordem com que os valores são enunciados para interpretar corretamente a questão. Exemplos: A razão entre a e b é a/b e não b/a!!!

18 Regra de Três Simples Grandezas diretamente proporcionais A definição de grandeza está associada a tudo aquilo que pode ser medido ou contado. Como exemplo, citamos: comprimento, tempo, temperatura, massa, preço, idade, etc. As grandezas diretamente proporcionais estão ligadas de modo que, à medida que uma grandeza aumenta ou diminui, a outra altera de forma proporcional.

19 Regra de Três Simples Grandezas inversamente proporcionais Entendemos por grandezas inversamente proporcionais as situações em que ocorrem operações inversas, isto é, se dobramos uma grandeza, a outra é reduzida à metade. São grandezas que quando uma aumenta a outra diminui e vice-versa. Percebemos que, variando uma delas, a outra varia na razão inversa da primeira.

21 CESPE Três caminhões de lixo que trabalham durante doze horas com a mesma produtividade recolhem o lixo de determinada cidade. Nesse caso, cinco desses caminhões, todos com a mesma produtividade, recolherão o lixo dessa cidade trabalhando durante a) 6 horas. b) 7 horas e 12 minutos. c) 7 horas e 20 minutos. d) 8 horas. e) 4 horas e 48 minutos.

22 Regra de Três Composta A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais. Para não vacilar, temos que montar um esquema com base na análise das colunas completas em relação à coluna do x. Usaremos um método simples e direto que ao contrário dos métodos tradicionais não analisa se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. E a Regra é clara: O sinal indica quem fica no NUMERADOR da fração, ou seja, se aparecer o sinal de + fica o MAIOR valor da coluna, se aparecer o sinal de fica o MENOR valor da coluna.

24 CESPE Se 4 servidores, igualmente eficientes, limpam 30 salas de aula em exatamente 5 horas, então, 8 servidores, trabalhando com a mesma eficiência dos primeiros, limparão 36 salas em exatamente a) 7 horas. b) 6 horas. c) 5 horas. d) 4 horas. e) 3 horas.

25 Os operadores dos guindastes do Porto de Itaqui são todos igualmente eficientes. Em um único dia, seis desses operadores, cada um deles trabalhando durante 8 horas, carregam 12 navios. Com referência a esses operadores, julgue o item seguinte. Para carregar 18 navios em um único dia, seis desses operadores deverão trabalhar durante mais de 13 horas. Certo Errado CESPE

26 Divisão Proporcional Podemos definir uma DIVISÃO PROPORCIONAL como uma forma de divisão na qual se determinam valores que, divididos por quocientes previamente determinados, mantêm-se uma razão constante (que não tem variação). Iremos estudar os principais casos de Divisão Proporcional que caem em prova.

27 Divisão Proporcional Caso 1: Dividir em partes diretamente proporcionais à valores inteiros. Dividir o número 180 empartes diretamente proporcionais a 2,3 e 4.

28 Divisão Proporcional Caso 2: Dividir em partes diretamente proporcionais com algum valor fracionário. Dividir o número 405 em partes diretamente proporcionais a 2/3, 3/4 e 5/6.

29 Divisão Proporcional Caso3: Dividir em partes inversamente proporcionais. Dividir o número 70 em partes inversamente proporcionais a 2 e 5.

31 CESPE A quantia de R$ deverá ser repassada às escolas A, B e C para complemento da merenda escolar. A distribuição será em partes diretamente proporcionais às quantidades de alunos de cada escola. Sabe-se que a escola A tem 20% a mais de alunos que a escola B e que a escola C tem 20% a menos de alunos que a escola B. Nesse caso, a escola A deverá receber a) R$ b) R$ c) R$ d) R$ e) R$

32 CESPE Os irmãos Jonas, Pierre e Saulo, que têm, respectivamente, 30, 20 e 18 anos de idade, herdaram de seu pai a quantia de R$ 5 milhões. O testamento prevê que essa quantia deverá ser dividida entre os irmãos em partes inversamente proporcionais às suas idades. Nessa situação hipotética,um dos irmãos receberá metade da herança. Certo Errado

33 PORCENTAGEM

34 Definição A percentagem ou porcentagem (do latim per centum, significando por cento, a cada centena ) é uma medida de razão com base 100 (cem). É um modo de expressar uma proporção ou uma relação entre 2 (dois) valores (um é a parte e o outro é o inteiro) a partir de uma fração cujo denominador é 100 (cem), ou seja, é dividir um número por 100 (cem). Sendo assim: X % = X / 100 e vice-versa,ou seja, toda porcentagem é uma fração de denominador 100 e toda fração de denominador 100 representa uma porcentagem.

35 Taxa Unitária Quando pegamos uma taxa de juros e dividimos o seu valor por 100, encontramos a taxa unitária. A taxa unitária é importante para nos auxiliar a desenvolver todos os cálculos em matemática financeira.

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37 DICA É muito importante sabermos calcular os valores básicos de 1% e 10%. 1% : basta movimentar a vírgula duas casas para a esquerda. Ex: 1% de 170 = 1,7 1% de 354 = 3,54 1% de 456,7 = 4,567 10% : basta movimentar a vírgula uma casa para a esquerda. Ex: 10% de 170 = 17,0 10% de 354 = 35,4 10% de 456,7 = 45,67

38 Exemplos Calcule: a)20% de 430 b)30% de 350

39 Exemplos c)40% de 520 d)75% de 150

40 FATOR DE CAPITALIZAÇÃO Vamos imaginar que certo produto sofreu um aumento de 20% sobre o seu valor inicial. Qual novo valor deste produto? Claro que, se não sabemos o valor inicial deste produto, fica complicado para calcularmos, mas podemos fazer a afirmação abaixo: O produto valia 100% e sofreu um aumento de 20%. Logo, está valendo 120% do seu valor inicial.como vimos no tópico anterior (taxas unitárias), podemos calcular qual o fator que podemos utilizar para calcular o novo preço deste produto após o acréscimo. O Fator de capitalização é um número pelo qual devo multiplicar o preço do meu produto para obter como resultado final o seu novo preço, acrescido do percentual de aumento que desejo utilizar. 120 Fator de Capitalização = 1,2 100 =

41 FATOR DE CAPITALIZAÇÃO COMO FAZER: 130 Acréscimo de 30% = 100% + 30% = 130% = = 1, Acréscimo de 15% = 100% + 15% = 115% = = 1, Acréscimo de 3% = 100% + 3% = 103% = = 1, Acréscimo de 200% = 100% + 200% = 300% = =

42 FATOR DE DESCAPITALIZAÇÃO Agora vamos imaginar que certo produto sofreu um desconto de 20% sobre o seu valor inicial. Qual novo valor deste produto? Claro que, se não sabemos o valor inicial deste produto, fica complicado para calcularmos, mas podemos fazer a afirmação abaixo O produto valia 100% e sofreu um desconto de 20%. Logo, está valendo 80% do seu valor inicial. Fator de descapitalização é o número pelo qual devo multiplicar o preço do meu produto para obter como resultado final o seu novo preço, considerando o percentual de desconto que desejo utilizar. O Fator de capitalização é um número pelo qual devo multiplicar o preço do meu produto para obter como resultado final o seu novo preço, acrescido do percentual de aumento que desejo utilizar. 80 Fator de Descapitalização = 0,8 100 =

43 FATOR DE DESCAPITALIZAÇÃO COMO FAZER: 70 Desconto de 30% = 100% - 30% = 70% = = 0, Desconto de 15% = 100% - 15% = 85% = = 0, Desconto de 3% = 100% - 3% = 97% = = 0, Desconto de 50 50% = 100% - 50% = 50% = = 0,5 100

45 CESPE Se a agência dos Correios de uma pequena cidade presta, diariamente, 40 atendimentos em média, e se, em razão de festas na cidade, a média de atendimentos diários passar a 52, então, nesse caso, haverá um aumento percentual de atendimentos de a) 40%. b) 52%. c) 90%. d) 12%. e) 30%.

46 Considere que 85% das residências de determinado município estão ligadas à rede de abastecimento de água tratada e que 60% dessas residências estão ligadas à rede de esgotamento sanitário. Nessa situação, a percentagem de residências do município que são servidas de água tratada e estão ligadas à rede de esgotamento sanitário é igual a a) 40%. b) 25%. c) 15%. d) 60%. e) 51%. CESPE

47 CESPE A represa X, que abastece de água determinada cidade, tem capacidade para 480 milhões de metros cúbicos de água. Se, em determinado dia, a água contida na represa X representava 35% de sua capacidade máxima, então, nesse dia, havia na represa a) 168 milhões de litros de água. b) 312 milhões de litros de água. b) 384 mil litros de água. d) 312 mil litros de água. e) 168 bilhões de litros de água.