Matemática. 1

Transcrição

1 PROFº Marcelo Jardim 1

2 CONJUNTOS NUMÉRICOS 1.NÚMEROS NATURAIS O conjunto dos números naturais é representado por IN e IN= {0;1;2;3;4;...} ATENÇÃO!!! O (*) EXCLUI O ZERO. IN*={1;2;3;4;...} 2.NÚMEROS INTEIROS O conjunto dos números inteiros é indicado por Z e Z= {...;-3;-2;-1;0;1;2;3;...} ATENÇÃO!!! Z + = {0,1,2,3,4,5,...} Z * = {1,2,3,4,5,...} + Z _ = {0,-1,-2,-3,-4,-5,...} Z * = {-1,-2,-3,-4,-5,...} _ 3. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS(Q) Número racional é todo aquele que pode ser escrito na forma a, com a e b INTEIROS, b 0. b =2 =-3 =0 0,75= 0,333...= Q= {NATURAIS,INTEIROS,FRAÇÕES,DECIMAIS EXATOS,DÍZIMAS PERIÓDICAS,RAÍZES EXATAS} 4.NÚMEROS IRRACIONAIS Existem números cuja representação decimal é INFINITA e NÃO-PERIÓDICA, isto é, sua composição à direita da vírgula não admite formação de períodos. Tais números são denominados números irracionais. Os irracionais podem ser: a) modulados: 0, b) ordenadamente crescente: 0, c) caóticos: 2 =1, ; π=3, ,raízes NÃO EXATAS. n ATENÇÃO!!! PRIMO é SEMPRE IRRACIONAL. 5. NÚMEROS REAIS(IR): A reunião do conjunto dos racionais e irracionais resulta no conjunto dos números reais. QUESTÕES DE CONCURSO 01.Considere as assertivas abaixo: I. Todo inteiro é natural 2

3 II. Todo natural é inteiro III.Todo racional é inteiro IV. Naturais e inteiros são racionais V. As dízimas são irracionais VI. O número π é racional Tomando como conjunto universo os números reais, é(são) verdadeira(s) a(s) assertiva(s): ( A) I, II, III, IV,V evi (B) II apenas (C) I, II, IV e VI apenas ( D) I, II, IV, V e VI apenas ( E II e IV apenas 02. Qual das afirmações abaixo está INCORRETA? (A) 1,3 não é um número natural nem inteiro. ( B) 7/ 3 é um número real e racional. (C) 2 é um número irracional, mas não é natural. 3 (D) 7 é um número racional, mas não é real. 03. Observe os seguintes números reais: I. 0, (as reticências significam que a regularidade se mantém, ou seja, o número de zeros vai aumentando de 1 unidade depois do 7). II. 2/23. III. 3/7. IV. π. É correto afirmar que são irracionais apenas os números expressos em (A) I, II e III. (B) I, II e IV. (C) II, III e IV. (D) II e IV. (E) I e IV. 04. Considere o número X = 0, de representação infinita, na qual o número de algarismos dois aumenta uma unidade cada vez que surge em seguida ao algarismo um. Com base apenas nas informações dadas, o número X é (A) inexistente. (B) não real. (C) não racional. 3

4 (D) dízima periódica. (E) quociente de números primos. 05. Leia as frases abaixo sobre sistemas numéricos: I. Os números racionais são um subconjunto dos números naturais. II. Os números negativos pertencem ao conjunto dos números naturais. III. Os números inteiros pertencem ao conjunto dos números racionais. IV. Toda dízima periódica pertence ao conjunto dos números racionais. A sequência correta é: (A) Apenas as assertivas I e II estão corretas. (B) Apenas as assertivas II e IV estão corretas. (C) Apenas as assertivas I e III estão corretas. (D) Apenas as assertivas III e IV estão corretas. 06. Assinale verdadeira (V) ou falsa (F) em cada uma das afirmações a seguir. ( ) A letra grega representa o número racional que vale 3, ( ) O conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais são subconjuntos dos números reais e possuem apenas um ponto em comum. ( ) Toda dízima periódica provém da divisão de dois números inteiros, portanto é um número racional. A sequência correta é (A) F - V - V. (B) V - V - F. (C) V - F - V. (D) F - F - V. (E) F - V - F. 07. Assinale a alternativa incorreta (A) Todo número inteiro é racional (B) O quadrado de um número irracional é real (C) A soma de dois números irracionais pode ser racional (D) O produto de dois números irracionais é sempre irracional (E) A raiz quadrada de qualquer número primo é irracional 08. Marque a alternativa incorreta : (A) Se x e y são números racionais, então x+y é um número racional. (B) Se x e y são números irracionais, então x+y é um número irracional. (C) Se x e y são números racionais, então x.y é um número racional. (D) Se x é um número racional e y é um número irracional, então x+y é um número irracional. 4

5 09. Sejam x um número racional qualquer e y um irracional qualquer. Considere as afirmativas x é sempre um número real 3 y nem sempre é irracional 2 y é sempre irracional 2 + x + y pode ser racional O número de afirmativas verdadeiras é: (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) Para a festa junina, uma professora de e os alunos do 9.º ano ficaram encarregados de confeccionar as bandeirinhas. Na confecção do modelo, os alunos traçaram, utilizando régua e compasso, quadrados com lados medindo 25 centímetros, depois traçaram as diagonais do quadrado, que determinaram o centro da região quadrada, e, logo após, recortaram o modelo, que é representado na figura a seguir. Sobre a medida do lado AE desse modelo, a professora perguntou para os alunos se ela era um número I. irracional, II. inteiro, ou III. racional. A resposta correta que a professora gostaria de ouvir está contida, apenas, em (A) I. B) II. (C) III. (D) I e II. (E) II e III. 11. São, necessariamente, números irracionais: (A) a razão entre o perímetro e a medida das diagonais de um retângulo; a razão entre as medidas da altura e do lado de um triângulo equilátero. (B) a razão entre as medidas da altura e do lado de um triângulo equilátero; a razão entre o raio e o perímetro de um círculo. (C) a razão entre o raio e o perímetro de um círculo; a razão entre a medida da hipotenusa e a soma das medidas dos 5

6 catetos de um triângulo retângulo. (D) a razão entre a medida da hipotenusa e a soma das medidas dos catetos de um triângulo retângulo; a razão entre as medidas do lado e da diagonal de um quadrado. (E) a razão entre as medidas do lado e da diagonal de um quadrado; a razão entre o perímetro e a medida das diagonais de um retângulo. 12. Segundo o matemático LEOPOLD KRONECKER ( ), Deus fez os números inteiros, o resto é trabalho do homem. Os conjuntos numéricos são, como afirma o matemático, uma das grandes invenções humanas. Assim, em relação aos elementos desses conjuntos, é correto afirmar que: (A) o produto de dois números irracionais é sempre um número irracional. (B) a soma de dois números irracionais é sempre um número irracional. (C) entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número irracional. (D) entre dois números racionais distintos existe pelo menos um número racional. (E) a diferença entre dois números inteiros negativos é sempre um número inteiro negativo. 13. A respeito do conjunto dos números reais é verdade que (A) se um número tem representação decimal infinita, então esse número é racional. (B) a diferença entre dois números irracionais é sempre um número irracional. (C) se a regularidade observada no número 0, for mantida então esse número é racional, pois tem um período. (D) o número 1 é irracional, pois sua representação decimal é infinita e não periódica. 43 (E) se o denominador de uma fração em forma irredutível só contiver os fatores primos do 10, a representação decimal resultante do quociente do numerador pelo denominador sempre será finita Um número bastante conhecido é o número π, expresso aqui com 30 casas decimais: 3, A respeito do π, é correto afirmar que (A) ele é considerado irracional apenas porque nessas aproximações não é possível identificar um período. (B) é possível demonstrar rigorosamente que ele é irracional. (C) ele é um número racional, por ser obtido por meio da fração C, em que C é o comprimento de uma circunferência e D o diâmetro dessa circunferência. D (D) ele é um número racional, pois ele pode ser obtido por meio de aproximações como 22 7 ou (E) as aproximações obtidas por meio dos computadores mais modernos não chegaram ainda à ordem de uma unidade de milhão de algarismos, portanto não podemos dizer que ele é irracional. 15. A respeito do conjunto dos números reais, é verdade que (A) o número 17não é racional, pois sua representação decimal é infinita e não é periódica. 93 (B) se a regularidade observada no número 4, for mantida, então ele é racional, pois há regularidade nas casas decimais. (C) todo número racional pode ser expresso por meio de representação fracionária. 6

7 (D) se um número tem representação decimal infinita, então esse número é racional. (E) a soma de dois números irracionais é sempre um número irracional. 16. Ao se utilizar uma calculadora com doze dígitos para dividir 1 por 253, o visor mostrará o valor 0, Assim, é correto afirmar que (A) o número 1/253 não é racional, pois o quociente não é um número inteiro. (B) o número 1/253 não é racional, pois o quociente não é uma dízima periódica. (C) o número 1/253 é racional, apesar de o número de dígitos da calculadora não permitir identificar o período da dízima. (D) o número 1/253 não é real, apesar de ser irracional. (E) não é possível concluir que o número 1/253 é racional nem irracional, tendo em vista que as informações dadas são insuficientes. 17. Um aluno colocou na lousa três afirmações sobre números: I. todo número natural é racional; II. todo número inteiro é racional; III. as dízimas periódicas são números irracionais. É correto o que se afirma em (A) I, apenas. (B) II, apenas. (C) I e II, apenas. (D) II e III, apenas. (E) I, II e III. 18. Ana, aluna do Ensino Médio, fez algumas observações sobre os números irracionais, e suas colegas Bia, Maria, Neide e Paula fizeram comentários a respeito delas: Ana: Alguém me disse que nenhum número irracional é quociente de dois números inteiros, mas essa afirmação não é verdadeira, pois se dividirmos o comprimento de uma circunferência pelo respectivo diâmetro, podemos obter por meio do quociente de dois números inteiros o valor de π, que é um irracional. Bia: Ana, todo número irracional é uma raiz não exata e não um quociente de dois números inteiros. A única exceção é o π, que pode ser obtido por meio de um quociente de dois números inteiros. Maria: Ana, nenhum número irracional pode ser obtido por meio de quociente de inteiros e o que você afirma a respeito do número π, não é verdade, pois quando a medida do diâmetro for um número inteiro, o comprimento da circunferência não o é e vice-versa. Neide: Ana, há outras exceções além do número π: existem muitos números irracionais que são quocientes de inteiros; veja, por exemplo, as dízimas periódicas. Paula: Ana, a afirmação que você ouviu é correta, mas o número π não é um número irracional. Analisando as afirmações das alunas, pode-se dizer que a única que argumentou corretamente foi (A) Ana. (B) Bia. 7

8 (C) Maria. (D) Neide. (E) Paula. 19. Analise as afirmações seguintes: I. o número 0, é um número irracional; II. o número 2/17 é um número irracional; III. o número 0, é um número racional. Está correto o expresso em (A) I, II e III. (B) II e III, apenas. (C) I e III, apenas. (D) I e II, apenas. (E) I, apenas. 20. Um aluno questionou seu professor de matemática acerca do motivo pelo qual ele havia obtido um resultado inesperado em sua calculadora, quando tentava explicar o significado da 2 para uma colega de classe. O aluno havia digitado as teclas 2 e, nessa ordem, e obteve o número 1, como resultado. A seguir, ele multiplicou esse número por ele próprio e, para sua surpresa, não obteve o número 2 como era esperado, mas sim um número menor, 1, , o que causou estranheza a ele e à sua colega. Uma explicação correta para a dúvida do aluno é (A) A máquina está quebrada. (B) Apenas alguns computadores são capazes de exibir toda a representação decimal de 2 (C) A representação decimal de um número irracional é infinita, por isso a calculadora aproximou 2 por um número racional, no caso, menor. (D) Os resultados fornecidos pelas calculadoras sempre devem ser arredondados para mais, por conta dos erros de truncamento. (E) O cálculo de raízes quadradas por meio de calculadoras só deve ser utilizado quando o número alvo do cálculo for um quadrado perfeito. GABARITO 01. E 11 B 02. D 12. D 03. E 13. E 04. C 14. B 05. D 15. C 06. D 16. C 07. D 17. C 08. B 18. C 09. C 19. C 10. A 20. C 8

9 PROFº Marcelo Jardim 9