Matemática CONJUNTOS NUMÉRICOS. Professor Dudan

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Thomaz de Miranda Arantes
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2 Matemática CONJUNTOS NUMÉRICOS Professor Dudan

3 Números Naturais (IN) Definição: N = {0, 1, 2, 3, 4,... } Subconjuntos N * = { 1, 2, 3, 4,... } naturais não nulos.

4 Números Inteiros (Z) Definição Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... } Subconjuntos Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,... } inteiros não nulos Z + = { 0, 1, 2, 3, 4,... } inteiros não negativos (naturais) Z* + = { 1, 2, 3, 4,... } inteiros positivos Z - = {..., -4, -3, -2, -1, 0 } inteiros não positivos Z* - = {..., -4, -3, -2, -1} inteiros negativos

5 O módulo de um numero inteiro, ou valor absoluto, é a distancia da origem a esse ponto representado na reta numerada. Resumindo, é a escrita do numero,sem seu sinal. Assim modulo de -4 é 4 e o modulo de 4 é também 4. Exemplo: -4 = 4 = 4 8 = -8 = 8, -5 = 5 = 5

6 Números Racionais (Q) Definição É todo número que pode ser escrito na forma Subconjuntos Q* racionais não nulos Q + racionais não negativos Q* + racionais positivos Q - racionais não positivos Q* - racionais negativos

7 Frações e Decimais

8 Transformação de dizima periódica em fração geratriz 1-Escrever tudo na ordem, sem virgula e sem repetir; 2-Subtrair o que não se repete, na ordem e sem virgula; 3-No denominador: para cada item periódico colocar um algarismo 9 ; para cada intruso colocar um algarismo 0.

9 c) 1, d)2, e)3,

10 Números Irracionais (I) Definição Todo numero cuja representação decimal não é periódica Exemplos 0, ,

11 Números Reais (IR) Definição Conjunto formado pelos números racionais e pelos irracionais. R = Q U I, sendo Q I = Ø Subconjuntos R* = { x R x 0 } reais não nulos R + = { x R x 0 } reais não negativos R* + = { x R x > 0 } reais positivos R - = { x R x 0 } reais não positivos R* - = { x R x < 0 } reais negativos

12 DIAGRAMA DOS CONJUNTOS

13 Definição Números Complexos (C) Todo numero que pode ser escrito na forma a + bi, com a e b reais. Ex: 3 + 2i -3i i 9 1,3 1, Resumindo: Todo número é complexo.

14 TEORIA DOS CONJUNTOS (LINGUAGEM DOS CONJUNTOS) Conjunto é um conceito primitivo, isto é, sem definição, que indica agrupamento de objetos, elementos, pessoas etc. Para nomear os conjuntos, usualmente são utilizadas letras maiúsculas do nosso alfabeto. REPRESENTAÇÕES: Os conjuntos podem ser representados de três formas distintas: I Por enumeração (ou extensão): Nessa representação, o conjunto é apresentado pela citação de seus elementos entre chaves e separados por vírgula. Assim temos: O conjunto A das vogais -> A = {a, e, i, o, u}. O conjunto B dos números naturais menores que 5 -> B = {0,1,2,3,4}. O conjunto C dos estados da região Sul do Brasil -> C = {RS, SC, PR}

15 II Por propriedade (ou compreensão): Nessa representação, o conjunto é apresentado por uma lei de formação que caracteriza todos os seus elementos. Assim, o conjunto A das vogais é dado por: A = {x / x é vogal do alfabeto} -> (Lê-se: A é o conjunto dos elementos x, tal que x é uma vogal) Outros exemplos: B = {x/x é número natural menor que 5} C = {x/x é estado da região Sul do Brasil}

16 III Por Diagrama de Venn Nessa representação, o conjunto é apresentado por meio de uma linha fechada de tal forma que todos os seus elementos estejam no seu interior. Assim, o conjunto A das vogais é dado por:

17 . RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA É uma relação estabelecemos entre elemento e conjunto, para ela fazemos uso dos símbolos e. A pergunta que pode nos orientar é: O elemento está dentro do conjunto? Exemplo: Fazendo uso dos símbolos, estabeleça a relação entre elemento e o conjunto:

18 . RELAÇÃO DE INCLUSÃO É uma relação que estabelecemos entre dois conjuntos. Para essa relação fazemos uso dos símbolos A pergunta que pode nos orientar é: O conjunto está dentro do conjunto? Exemplo: Fazendo uso dos símbolos de inclusão, estabeleça a relação entre conjuntos:

19 OBSERVAÇÕES Dizemos que um conjunto B é um subconjunto ou parte do conjunto A se, e somente se, B C A. Dois conjuntos A e B são iguais se, e somente se, A C B e B C A. Dados os conjuntos A, B e C, temos que: se A C B e B C C, então A C C. O total de subconjuntos é dado por 2, onde "e" é o número de elementos do conjunto. Exemplo: o conjunto A = {1,2,3,4} possui 16 4 subconjuntos, pois 2 = 16. e

20 União, Intersecção e Diferença entre Conjuntos

Conjunto Complementar Considere A um conjunto qualquer e U o conjunto universo. Todos os elementos que não estão em A estão no complementar de A.

22 Conjunto Complementar Considere A um conjunto qualquer e U o conjunto universo. Todos os elementos que não estão em A estão no complementar de A. Veja o diagrama de Venn que representa o complementar de A, indicado por A C Assim o complementar de um subconjunto A se refere a elementos que não estão no conjunto A. Normalmente, o complementar se trata de maneira relativa à um conjunto universo U, sendo o conjunto A C o complementar de A formado pelos elementos de U que não pertencem a A.

23 Conjunto Complementar Vamos exemplificar como o contexto é importante para determinar o conjunto complementar. Considere o conjunto A={0,2,4,6,8,10, } Veja como fica se o conjunto universo no nosso contexto for N (números naturais). A C =N A={1,3,5,7,9 } B) Conjunto universo U=Z Agora, se o conjunto universo no nosso contexto for Z (números inteiros): A C =Z A={, 3, 2, 1,1,3,5,7,9 }

$de B que não estão em A. A diferença de B para A é geralmente denotada B \ A ou também B-A. Assim: B \ A = { x B/ x A} Exemplos {1,2,3}\{2,3,4}={1} {2,3,4}\{1,2,3}={4}$

24 Complemento Relativo Se A e B são conjuntos, então o complemento relativo de A em relação a B, também conhecido como diferença de B e A (B A) é o conjunto de elementos de B que não estão em A. A diferença de B para A é geralmente denotada B \ A ou também B-A. Assim: B \ A = { x B/ x A} Exemplos {1,2,3}\{2,3,4}={1} {2,3,4}\{1,2,3}={4}

25 Exemplo Dados os conjuntos A = {1, 3, 5}, B = {2, 3, 5, 7} e C = {2, 5, 10}. Determine: a) A B b) A B c) A B d) B A e) A B C f) A B C

26 1. Se A e B são dois conjuntos tais que A B tem 30 elementos, A B tem 10 elementos e A U B tem 48 elementos. Então o número de elementos de B A é: a) 8 b) 10 c) 12 d) 18 e) 22

27 2. O tipo sanguíneo de uma pessoa é classificado segundo a presença, no sangue, dos antígenos A e B. Pode-se ter: Tipo A: pessoas que têm só o antígeno A. Tipo B: pessoas que têm só o antígeno B. Tipo AB: pessoas que têm os antígenos A e B. Tipo O: pessoas que não têm A nem B. Em 65 amostras de sangue, observou-se que 35 apresentam o antígeno A, 25 apresentam o antígeno B e 10 apresentam ambos os antígenos. Considerando essas informações, pode-se afirmar que o número de amostras de sangue tipo O foi a) 5. b) 10. c) 15. d) 20. e) 25.

28 3. Numa turma da Casa do Concurseiro fez-se uma pesquisa entre os alunos, com duas perguntas apenas: Gosta de futebol? Gosta de cinema? 75 alunos responderam sim à primeira e 86 responderam sim à segunda. Se 23 responderam sim às duas e 42 responderam não a ambas, o número de alunos dessa turma é: a) 180 b) 158 c) 234 d) 123 e) 145

29 4.Num grupo de estudantes, verificou-se que 310 leram apenas um dos romances A ou B; 270, o romance B; 80, os dois romances, A e B; e 340 não leram o romance A, o número de estudantes desse grupo é igual a: a) 380 b) 430 c) 480 d) 540 e) 610

30 COMO A FCC COBRA ISSO?

31 Em um grupo de 54 pessoas, 32 falam inglês, 33 espanhol, 25 francês e 5 falam os três idiomas. Se todos do grupo falam pelo menos um idioma, o número de pessoas que falam exatamente dois idiomas é igual a a) 24. b) 26. c) 25. d) 23. e) 27. CETAM

32 DPE Analisando a carteira de vacinação de 112 crianças, um posto de saúde verificou que 74 receberam a vacina A, 48 receberam a vacina B, e 25 não foram vacinadas. Do total das 112 crianças, receberam as duas vacinas (A e B) apenas a) 32,75%. b) 28,75%. c) 31,25%. d) 34,25%. e) 29,75%.

33 Em um grupo de 90 funcionários de uma repartição pública sabe-se que: 12 têm conhecimentos jurídicos, contábeis e de informática; 56 têm conhecimentos de informática; 49 têm conhecimentos contábeis. Além disso, todos que têm conhecimentos jurídicos também conhecem informática, e 8 funcionários não têm conhecimento jurídico, nem de informática e nem contábil. Nas condições dadas, o número de funcionários que têm conhecimentos de informática e de contabilidade (simultaneamente), mas que não têm conhecimentos jurídicos, é igual a a) 25. b) 18. c) 11. d) 7. e) 26. AL

34 Dos 46 técnicos que estão aptos para arquivar documentos 15 deles também estão aptos para classificar processos e os demais estão aptos para atender ao público. Há outros 11 técnicos que estão aptos para atender ao público, mas não são capazes de arquivar documentos. Dentre esses últimos técnicos mencionados, 4 deles também são capazes de classificar processos. Sabe-se que aqueles que classificam processos são, ao todo, 27 técnicos. Considerando que todos os técnicos que executam essas três tarefas foram citados anteriormente, eles somam um total de a) 58. b) 65. c) 76. d) 53. e) 95. TRT

35 TRF Em uma construtora, há pelo menos um eletricista que também é marceneiro e há pelo menos um eletricista que também é pedreiro. Nessa construtora, qualquer eletricista é também marceneiro ou pedreiro, mas não ambos. Ao todo são 9 eletricistas na empresa e, dentre esses, são em maior número aqueles eletricistas que são também marceneiros. Há outros 24 funcionários que não são eletricistas. Desses, 15 são marceneiros e 13 são pedreiros. Nessa situação, o maior número de funcionários que podem atuar como marceneiros é igual a: a) 15. b) 23. c) 33. d) 19. e) 24.

36 Questões FCC : B-C-C-B-B GABARITOS

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