MAPA Ministério da Agricultura, Pecuária e Abastecimento

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1 A3-AM189 16/12/2009 MAPA Ministério da Agricultura, Pecuária e Abastecimento Raciocínio Lógico Brasília 2009

2 2009 Vestcon Editora Ltda. Todos os direitos autorais desta obra são reservados e protegidos pela Lei nº 9.610, de 19/2/1998. Proibida a reprodução de qualquer parte deste material, sem autorização prévia expressa por escrito do autor e da editora, por quaisquer meios empregados, sejam eletrônicos, mecânicos, videográficos, fonográficos, reprográficos, microfílmicos, fotográficos, gráficos ou outros. Essas proibições aplicam-se também à editoração da obra, bem como às suas características gráficas. Título da obra: Adendo MAPA Ministério da Agricultura, Pecuária e Abastecimento Raciocínio Lógico Autor: Júlio Lociks DIRETORIA EXECUTIVA Norma Suely A. P. Pimentel DIREÇÃO DE PRODUÇÃO Cláudia Alcântara Prego de Araújo SUPERVISÃO EDITORIAL Maria Neves SUPERVISÃO DE PRODUÇÃO Dinalva Fernandes da Rocha CAPA Bertoni Design Agnelo Pacheco EDITORAÇÃO ELETRÔNICA Antonio Gerardo Pereira REVISÃO Raquel da Cruz EDIÇÃO DE TEXTO Fernanda Mancio Reina Terra Amaral SEPN 509 Ed. Contag 3º andar CEP Brasília/DF SAC: Tel.: (61) Fax: (61) Publicação em 16/12/2009 (A3-AM189)

3 RACIOCÍNIO LÓGICO Júlio Lociks A TEORIA DOS CONJUNTOS E PROBLEMAS COM DIAGRAMAS: APLICAÇÕES DOS DIAGRAMAS DE VENN-EULER NOÇÕES FUNDAMENTAIS OPERAÇÕES COM CONJUNTOS Os conceitos de conjunto, de elemento e de relação de pertinência são considerados conceitos primitivos em Matemática, ou seja, são conceitos que não têm definição formal e devem ser compreendidos de modo intuitivo. A ideia que devemos ter de conjunto está associada à de coleção, elenco, lista, agrupamento etc. Alguns exemplos seriam: 1. O conjunto das letras do nosso alfabeto; 2. O conjunto das letras que chamamos vogais; 3. O conjunto dos meses que têm somente 30 dias; 4. O conjunto dos símbolos usados como algarismos romanos; Cada um dos membros integrantes de um conjunto é chamado elemento do conjunto. Nos quatro exemplos de conjuntos dados acima, temos, respectivamente, os seguintes elementos: 1. a, b, c, d, e, f, g,..., z; 2. a, e, i, o, u; 3. abril, junho, setembro, novembro; 4. I, V, X, L, C, D, M; É costume apelidarmos os conjuntos com letras maiúsculas. Relação de Pertinência Se x é um elemento de um conjunto A então dizemos que x pertence ao conjunto A e podemos indicar isto como x A. Se x não é um elemento de um conjunto A então dizemos que x não pertence ao conjunto A e podemos indicar isto como x A. Exemplo: Considere o conjunto P dos números pares compreendidos entre 1 e 15.

4 O número 6 é um elemento do conjunto P porque ele é par e está compreendido entre 1 e P Os números 5 e 20 não são elementos do conjunto P, pois 5 não é par enquanto 20, embora seja par, não está compreendido entre 1 e 15. Representação de um Conjunto 5 P 20 P Existem basicamente três formas de se representar um conjunto: por enumeração; por compreensão; por diagramas. Descreveremos a seguir cada uma delas. Representação por Enumeração A representação por enumeração é aquela onde os elementos são apresentados, um após o outro, separados por vírgulas e entre duas chaves. Exemplo: Seja V o conjunto das vogais do nosso alfabeto. A representação do conjunto V por enumeração é: Uso de Reticências V = {a, e, i, o, u} Frequentemente a representação por enumeração pode não apresentar um a um todos os elementos de um conjunto. Isso ocorre quando o número de elementos do conjunto é grande ou quando o conjunto tem infinitos elementos. Nesse caso, apresentam-se alguns dos elementos numa sequência sugerindo por indução os demais elementos que, então, serão substituídos por reticências. Exemplos: 1. Ao representarmos um conjunto A como A = {1, 2, 3, 4, 5, 6,..., 100} 4

5 estamos indicando que o conjunto A é o conjunto de todos os números inteiros de 1 a Seja N o conjunto dos números naturais. Podemos representar N como: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...} Note que neste último caso as reticências no final da lista significam que há infinitos elementos além dos que foram mostrados. Representação por Compreensão A representação de um conjunto por compreensão é aquela onde os elementos são identificados por obedecerem a uma ou mais propriedades que são dadas numa expressão entre duas chaves. Exemplo: O conjunto M dos números inteiros maiores que 6: Que pode ser lido como: M = {x / x, x Z e x >6} Símbolos Leitura M = {x / M é o conjunto dos elementos x tal que x, para todo x x Z x pertence ao conjunto Z e x >6} e x é maior que 6. Este mesmo conjunto M poderia também ser indicado de modo mais sintético como: Que pode ser lido como: M = {x Z / x > 6} M é o conjunto de todo x pertencente ao conjunto Z(dos números inteiros) tal que x é maior que 6. Representação por Diagrama Diagramas de Venn-Euler A representação por meio dos diagramas de Venn-Euler é de compreensão particularmente simples e muito útil na resolução de certos problemas sobre conjuntos. 5

6 Nesta representação cada conjunto é indicado por meio de regiões do plano limitadas por curvas ou linhas poligonais fechadas. Os elementos de um conjunto são os pontos que estão dentro da região que o representa enquanto todos os pontos que estão fora da mesma região representam coisas que não são elementos daquele conjunto. Exemplo: 1. Seja A o conjunto dos dez algarismos usados no sistema de numeração decimal: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Algumas vezes usamos as linhas fechadas apenas para indicar as regiões onde os elementos de um conjunto podem ser encontrados sem mostrar os elementos do conjunto. Veja os exemplos seguintes: Exemplo: Considere os conjuntos P de todas as pessoas, e o conjunto E das pessoas que falam espanhol, representados no digrama seguinte: A região I representa o conjunto das pessoas que falam espanhol; A região II, que está dentro de P, mas fora de E, representa o conjunto das pessoas que não falam espanhol. As regiões I e II, juntas, representam o conjunto de todas as pessoas; 6

7 Exemplo: Sejam A o conjunto de todas as pessoas que são altas e B o conjunto de todas as pessoas que são bem-humoradas conforme representados no digrama seguinte: A região I representa o conjunto de todas as pessoas que são altas e bem-humoradas; A região II representa o conjunto de todas as pessoas que são altas, mas não são bem-humoradas; A região III representa o conjunto de todas as pessoas que são bem-humoradas, mas não são altas; A região IV representa o conjunto de todas as pessoas que nem são altas nem bem-humoradas; CONJUNTO VAZIO Dizemos que um conjunto é vazio quando ele não tem qualquer elemento. O conjunto vazio admite representações especiais. Se um conjunto A é vazio indicamos isto anotando: A = ou A = { } Não existe representação do conjunto vazio num diagrama de Venn-Euler. SUBCONJUNTO E RELAÇÃO DE INCLUSÃO Dizemos que B é um subconjunto do conjunto A quando todos os elementos de B também são elementos de A. Quando B é um subconjunto de A podemos dizer que B está contido em A e escrevemos: B A 7

8 Exemplo: O conjunto B = {3, 4} é um subconjunto do conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} e podemos anotar isto como B A, pois todos os elementos de B também são elementos de A. Se pelo menos um dos elementos de B não pertencer ao conjunto A, então B não será um subconjunto de A e diremos que B não está contido em A, escrevendo: B A Exemplo: O conjunto M = {3, 4} não é um subconjunto do conjunto N = {2, 4, 6, 8, 10} e podemos anotar isto como M N, pois algum dos elementos de M não pertence a N (3 M e 3 N). Obs.: Se B está contido em A (B A) então também podemos dizer que A contém B (que pode ser anotado como A B). B A A B B está contido em A A contém B De modo análogo, se B não está contido em A (B A) então também podemos dizer que A não contém B (que pode ser anotado como A / B). B A A / B B não está contido em A A não contém B Propriedades da Inclusão 1 a O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto dado. A, para qualquer conjunto A. 2 a Qualquer conjunto é subconjunto de si mesmo. A A, para qualquer conjunto A. 3 a Se o conjunto A é subconjunto do conjunto B e este B, por sua vez, é subconjunto do conjunto C, então o conjunto A é subconjunto de C (Por isto dizemos que a inclusão é uma relação TRANSITIVA). A B C A C 8

9 Número de Subconjuntos de um Conjunto Se um conjunto A tem n elementos, então existem 2 n subconjunto possíveis de A. Exemplo: O conjunto A = {1, 2, 3} tem 3 elementos. Assim, o total de subconjuntos de A será igual a 2 3 = 8, como se pode verificar a seguir: Os 8 subconjuntos de A:, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} Note que o último subconjunto listado corresponde ao próprio conjunto A que é um de seus próprios subconjuntos como vimos anteriormente (2ª propriedade da inclusão de conjuntos qualquer conjunto é subconjunto de si mesmo ). Subconjuntos Próprios de um Conjunto Chamamos subconjuntos próprios de um conjunto dado a todos os seus subconjuntos não vazios que não compreendam todos os elementos do conjunto dado. Portanto, B é um subconjunto próprio do conjunto A se e somente se satisfaz três condições: 1ª B C 2ª B 3ª B A. Conjunto das Partes de um Conjunto Dado um conjunto A qualquer, chamamos de conjunto das partes de A ao conjunto que reúna todos os subconjuntos possíveis de A. O conjunto das partes de A é indicado por P(A). P(A) = {X / X A} Exemplo: Seja A = {1, 2, 3}. O conjunto das partes de A é: P(A) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, A } Atenção: Cada um dos elementos de P(A) é um dos subconjuntos de A. Portanto o número de elementos de P(A) é sempre igual ao total de subconjuntos possíveis de A, ou seja: 2 n. 9

10 Igualdade entre Conjuntos Dizemos que dois conjuntos quaisquer, A e B, são iguais e anotamos A = B se e somente se A é um subconjunto de B e, reciprocamente, B também é um subconjunto de A. A = B A B e B A Exemplo: Os conjuntos A = {1; 2; 3}, B = {2; 3; 1} e C = {1; 1; 2; 3; 1; 3} são todos iguais, pois: Todos os elementos de A pertencem a B e vice-versa. Logo A = B. Todos os elementos de B pertencem a C e vice versa. Logo B = C. Como A = B e B = C então temos, também, que A = C. Propriedades da Igualdade entre Conjuntos 1 a (REFLEXIVA) Todo conjunto é igual a ele próprio. A = A 2 a (SIMÉTRICA) Na igualdade entre dois conjuntos não importa a ordem. A = B B = A 3 a (TRANSITIVA) Se dois conjuntos são iguais a um terceiro, então eles são iguais entre si. A = B e B = C A = C OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS Uma operação entre dois conjuntos é uma regra capaz de estabelecer um conjunto como resultado da operação para aquele par de conjuntos dados. Poderíamos criar inúmeras operações diferentes bastando, para tanto, que estabelecêssemos uma regra nova para cada nova operação desejada. Na prática, contudo, é possível fazer quase tudo com umas poucas operações convenientemente escolhidas que estudaremos a seguir. Interseção de Conjuntos Dados dois conjuntos, A e B, a interseção de A com B tem como resultado o conjunto que compreende todos os elementos de A que também sejam elementos de B. 10

11 A interseção do conjunto A com o conjunto B pode ser indicada simbolicamente por A B (lê-se A interseção B), ou pela expressão A e B. A B = {x / x A e x B} ou seja A B = {todo x tal que x A e x B} Observe o diagrama abaixo onde o conjunto interseção dos conjuntos A e B, A B, está representado pela parte sombreada: A B Propriedades da Interseção de Conjuntos 1 a A ordem dos conjuntos não altera o resultado de sua interseção (por isso dizemos que a operação de interseção de conjuntos é simétrica). A B = B A 2 a A interseção de conjuntos é associativa, ou seja: (A B) C = A (B C) Por isso pode-se dispensar os parênteses escrevendo A B C sem ambiguidades. 3 a A interseção de A com B será o próprio conjunto A se e somente se A é subconjunto de B. A B = A A B 4 a A interseção de um conjunto qualquer com o conjunto vazio é sempre o conjunto vazio. A, A = 11

12 Conjuntos Disjuntos Dois conjuntos quaisquer são chamados disjuntos se e somente se sua interseção é o conjunto vazio. União de Conjuntos A e B são disjuntos A B = Dados dois conjuntos, A e B, a união de A com B tem como resultado o conjunto que compreende todo aquele que seja elemento de A ou de B ou de ambos. A união de A com B pode ser indicada simbolicamente por A B (lê-se A união B), ou pela expressão A ou B. A B = {x / x A ou x B} ou seja A B = {todo x tal que x A ou x B} Note que os elementos x compreendidos pelo conjunto união, A B, deve pertencer a pelo menos um dos conjuntos. O conjunto união dos conjuntos A e B, A B, corresponde à parte sombreada no diagrama abaixo: A B Propriedades da União de Conjuntos 1 a A ordem dos conjuntos não altera o resultado de sua união (por isso dizemos que a união de conjuntos é simétrica). A B = B A 2 a A união de conjuntos é associativa, ou seja: (A B) C = A (B C) Como visto na operação de interseção, aqui também podemos dispensar os parênteses escrevendo sem ambiguidades A B C. 12

13 3 a A união de A com B será o próprio conjunto B se e somente se A é subconjunto de B. A B = B A B 4 a A união de um conjunto qualquer, A, com o conjunto vazio é sempre o próprio conjunto A. A, A = A RELAÇÕES ENTRE A UNIÃO E A INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS Dados três conjunto quaisquer, A, B e C, valem sempre as seguintes igualdades: Leis de Distributividade 1ª) A (B C) = (A B) (A C) 2ª) A (B C) = (A B) (A C) Leis de Absorção 3ª) A (A B) = A 4ª) A (A B) = A Diferença de Conjuntos Dados dois conjuntos, A e B, a diferença entre A e B, nesta ordem, tem como resultado o conjunto que compreende todos os elementos de A que não sejam elementos de B, não admitindo qualquer elemento além desses. A diferença entre A e B, nesta ordem, pode ser representada simbolicamente por A-B (lê-se A menos B ), ou por expressões como A e não B e A mas não B. A B = {x / x A e x B} ou seja A B = {todo x tal que x A e x B} O conjunto diferença A-B, corresponde à pela parte sombreada no diagrama seguinte: 13

14 A-B Invertendo a ordem dos conjuntos teremos o conjunto diferença B-A que pode ser representado como: B A Propriedades da Diferença de Conjuntos 1 a A ordem dos conjuntos normalmente altera o resultado de sua diferença. Portanto se diz que a diferença de conjuntos não é simétrica. A B B A (sempre que A B) A igualdade ocorre somente quando A e B são iguais. A B = B A A = B 2 a A diferença de conjuntos não é associativa, ou seja: (A B) C A (B C) (sempre que A C ) A igualdade ocorre somente quando A e C são disjuntos. (A B) C = A (B C) A C = Por isso não se deve escrever A B C uma vez que sua interpretação seria ambígua. 14

15 3 a A diferença A B é o conjunto vazio se e somente se A é subconjunto de B. 4 a Leis de Morgan para Diferenças: Complemento de um Conjunto A B = A B A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Seja A um subconjunto qualquer de um conjunto B. Chama-se complemento de A em relação ao conjunto B (escreve-se A B ) ao conjunto que compreende todos os elementos de B que não sejam elementos de A. A B A B = B-A O conjunto B, neste caso é chamado conjunto-universo. Quando não houver dúvidas sobre qual deva ser o conjunto-universo, o complemento de A em relação a este conjunto-universo poderá ser indicado por um dos modos abaixo: ~A ou A lê-se complemento de A ou complementar de A ou ainda não-a. A parte sombreada no diagrama abaixo indica o complemento do conjunto A em relação ao conjunto universo representado pelo retângulo. A 15

16 Propriedades do Complemento de um Conjunto 1 a O complemento do próprio conjunto universo (ou seja, o complemento de um conjunto em relação a ele próprio) é o conjunto vazio. A A = 2 a O complemento do conjunto vazio em relação a um dado universo é o próprio universo. A = A ou = A 3 a O complemento do complemento de um dado conjunto é o próprio conjunto. A = A 4 a Leis de Morgan para Complementos: Cardinalidade de Conjuntos ( A B) = A B ( A B) = A B Dado um conjunto finito, A, denomina-se cardinal do conjunto A e anota-se n A ao número de elementos compreendidos por A. Exemplo: Os conjuntos A = {6, 7, 8, 9} e B = { 3, 1, 2, 5} têm o mesmo cardinal que é 4. n A = n B = 4 Propriedades da Cardinalidade de um Conjunto 1 a cardinal na inclusão de conjuntos: A B n A n B mas a recíproca não é verdadeira n A n / B A B 16

17 2 a cardinal do conjunto união de dois conjuntos: n A B = n A + n B n A B 3 a cardinal do conjunto união de três conjuntos: n A B C = n A + n B + n C n A B n A C n B C + n A B C 4 a cardinal do conjunto diferença de dois conjuntos: n A B = n A n A B Problemas Envolvendo Cardinalidade de Conjuntos São comuns os problemas onde se deve determinar o número de elementos de um conjunto com certas características a partir de informações dadas a respeito das quantidades de elementos presentes em outros conjuntos a ele relacionados. O uso de diagramas frequentemente facilita o entendimento de tais problemas, simplificando muito a sua resolução. Exemplos: 1. De um grupo com 300 alunos de línguas, somente 170 estudam Inglês e somente 180 estudam Espanhol. Considerando que, neste grupo, ninguém estude qualquer outro idioma, quantos alunos dedicam-se tanto ao estudo da língua de Sakespeare quanto ao da de Cervantes? Solução: Considere o diagrama abaixo onde I é o conjunto de todos os alunos que estudam Inglês enquanto E, o de todos os alunos que estudam Espanhol. O x representa o número de alunos que estudam os dois idiomas. Uma vez que x representa o uma parte dos 170 alunos que estudam Inglês, restam 170 x que estudam Inglês, mas não estudam Espanhol. Do mesmo modo, x também representa parte dos 180 alunos que estudam Espanhol, restando 180 x que estudam Espanhol, mas não estudam Inglês. 17

18 Como a soma dos três números deve dar 300, devemos fazer: 170 x + x x = x = x = 300 x = 50 Pode-se chegar a esta conclusão também seguindo outros raciocínios: 2º modo: Se somarmos o número de alunos de Inglês (170), com o de alunos de Espanhol (180) teremos = 350, ou seja, 50 alunos a mais do que o total de alunos de línguas do grupo que é 300. Isto ocorreu porque, ao somarmos os dois números, acabamos tomando duas vezes o número daqueles que se dedicam ao estudo dos dois idiomas. Logo, o número de alunos que estudam Inglês e Espanhol é 50. 3º modo: Sejam: n I = número de alunos que estudam Inglês n E = número de alunos que estudam Espanhol n I =170; n E = 180; n I E = 300 n I E = n I + n E n I E 300 = n I E n I E = n I E = Num certo grupo de pessoas somente a metade lêem o jornal A Gazeta, e somente um terço leem A Tribuna mas apenas um sexto de todas elas lêem estes dois jornais. Que fração das pessoas deste grupo não leem nem A Gazeta nem A Tribuna? Solução: Cada uma das frações indica uma proporção entre a parte considerada e o total de pessoas do grupo. Representando num diagrama os conjuntos considerados, tem-se: 18

19 A fração das pessoas que lêem A Gazeta e A Tribuna é 1/6: n G T = 1/6 Este 1/6 (as pessoas que lêem A Gazeta e A Tribuna ) tanto é uma parte da fração dos que leem o primeiro jornal (1/2 dos elementos do grupo) quanto também é parte da fração dos que leem o segundo jornal (1/3 dos elementos do grupo). Assim, teremos: n G T = n G n G T = n T G = n T n T G = Resolvendo as frações no diagrama acima temos: O x representa a fração correspondente ao número de pessoas que não leem nem A Gazeta nem A Tribuna é o que precisamos descobrir. Como a fração x completa o total de pessoas do grupo, temos: 19

20 x = 6 4 x = = 6 6 x = 1/3 Portanto, somente um terço das pessoas do grupo não lê A Gazeta nem A Tribuna EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Dado o conjunto A = {0, {0},, { }}, considere as afirmativas: I. {0} A II. {0} A III. A IV. A Com relação a estas afirmativas é correto dizer que: a) todas são verdadeiras. b) apenas a I é verdadeira. c) apenas a II é verdadeira. d) apenas a III é verdadeira. e) todas são falsas. 2. Considere cada uma das afirmativas seguintes. (1) 0 {0, 1, 2, 3, 4} (2) {a} {a, b} (4) {0} (8) 0 (16) {a} A soma dos valores correspondentes às afirmativas verdadeiras é: a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 3. Considere cada uma das afirmativas seguintes. (1) {a} {a, {a}} (2) {a} {a, {a}} (4) {, a, {a}} {a} (8) {a, {a}} (16) {a, b} {a, b, c, d}

21 A soma dos valores correspondentes às afirmativas verdadeiras é: a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) Para que {2, 9, 5, 7, x} = {2, 3, 5, 7, 9}, o valor de x deve ser: a) 5 b) 7 c) 3 d) 2 e) 9 5. Sabendo que A B = {5, 6, 7}, A = {4, m, 6, 7} e B = {1, m, n, 7, 9} então os valores de m e n são, respectivamente: a) 4 e 6 b) 5 e 6 c) 6 e 5 d) 6 e 4 e) 1 e 6 6. Sejam M, N e P três conjuntos tais que M N = {1, 2, 3, 5} e M P = {1, 3, 4}, então M N P é: a) b) {1, 3} c) {1, 3, 4} d) {1, 2, 3, 5} e) {1, 2, 3, 4, 5} 7. Considere que A e B são dois conjuntos quaisquer tais que A B e A. Nestas condições julgue os itens abaixo: (1) Sempre existe x A tal que x B (2) Sempre existe x B tal que x A (4) Se x B então x A (8) Se x B então x A (16) A B = A soma dos valores correspondentes às afirmativas verdadeiras é: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 8. Sabe-se que: A B C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A B = {2, 3, 8} A C = {2, 7} B C = {2, 5, 6} A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Nestas condições pode-se concluir que o conjunto C é: a) {9, 10} b) {5, 6, 9, 10} c) {2, 5, 6, 7, 9, 10} 21

22 d) {2, 5, 6, 7} e) igual a A B 9. Dados os conjuntos: P = {0, 1, 3, 5}, Q = {1, 3, 5, 7} e R = {3, 8, 9}, o conjunto X, definido pela igualdade X = Q (P R) é: a) {1, 3, 5} b) {7} c) {7, 5, 8, 9} d) {0, 8, 9} e) {1, 5, 7} 10. Na figura abaixo estão representados os conjuntos A, B e C, todos não vazios. Assinale a alternativa que teria como resultado o conjunto correspondente à região sombreada. a) (A B) C b) (A C) B c) (B C) A d) (B A) A e) (A B) B 11. Sejam 2, 3 e 4 os números de elementos dos conjuntos A, B e C, respectivamente; então: a) A B tem no máximo 1 elemento. b) A C tem no máximo 5 elementos. c) (A B) C tem no máximo 2 elementos. d) (A B) C tem no máximo 2 elementos. e) A tem no mínimo 2 elementos. 12. O número de conjuntos X que satisfazem {1, 2} X {1, 2, 3, 4} é: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 22

23 13. Considere os seguintes conjuntos: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...} é o conjunto dos números naturais; A = {x; x = 3n, onde n N e x 30}; B = {x; x N e x = 2n+1}. Se o conjunto X é tal que X (A B) e (A B) X = {3, 15, 21}, então X é igual a: a) b) {3, 15, 21} c) {9, 27} d) {0, 6, 12, 18, 24, 27, 30} e) {0, 1, 5, 6, 7, 11, 12, 13, 18, 23, 24, 25, 27, 29, 30} 14. Se X, Y e X Y são conjuntos com 50, 90 e 30 elementos, respectivamente, então o número de elementos do conjunto X Y é: a) 90 b) 100 c) 110 d) 120 e) Numa pesquisa feita com 290 pessoas a respeito da audiência de dois filmes, A e B, apurou-se que: 130 das pessoas consultadas assistiram ao filme A; Somente 50 dentre todas as pessoas consultadas assistiram aos dois filmes; Dentre todos os pesquisados, apenas 60 não assistiram a A nem a B. Quantas pessoas assistiram ao filme B? a) 100 b) 110 c) 130 d) 150 e) Uma empresa, fabricante de computadores, pretende lançar um novo modelo de notebook no mercado. Para tanto, encomendou uma pesquisa sobre as preferências dos consumidores entre dois modelos: Alfa e Beta. Das 400 pessoas consultadas, apurou-se o seguinte: Ao todo, 150 pessoas consultadas gostaram somente do modelo Alfa. O número de pessoas consultadas que gostaram do modelo Beta foi 240. Apenas 60 dentre as pessoas consultadas gostaram dos dois modelos. Com base nestes dados é correto dizer que o número de pessoas consultadas que a) gostaram do modelo Alfa é 150. b) gostaram do modelo Beta mas não gostaram do modelo Alfa é

24 c) gostaram de um único dos dois modelos é 120. d) não gostaram de nenhum dos dois modelos é 20. e) não gostaram de algum dos dois modelos é Um professor de Literatura sugeriu em uma classe a leitura dos livros O Mulato, e Helena. Sabe-se que exatamente 20 alunos leram O Mulato; exatamente 15 alunos leram só o romance Helena; apenas 10 leram os dois livros; 15 foi o número de alunos que não leram O Mulato nem Helena. Com base nessas afirmações pode-se garantir que: a) 20 foi o número de alunos que leram somente um dos livros. b) 15 foi o número de alunos que leram Helena. c) 25 foi o número de alunos que não leram algum dos dois livros. d) 30 foi o número de alunos que leram Helena. e) 50 era o número de alunos dessa classe. GABARITO 1. a 2. a 3. d 4. c 5. b 6. e 7. d 8. c 9. b 10. a 11. c 12. b 13. c 14. c 15. d 16. e 17. e 24

25 ANOTAÇÕES: 25

26 ANOTAÇÕES: 26

27 ANOTAÇÕES:

28 Formato 15x21cm Mancha 11,5x17,5 cm Papel Offset Gramatura 70 gr/m 2 Número de páginas 28 SEPN 509 Ed. Contag 3º andar CEP Brasília/DF SAC: Tel.: (61) Fax: (61)