Conjuntos. 1 Conceitos primitivos. representação de um conjunto. 2.1 REPRESENTAÇÃO TABULAR. 2.2 Representação por Diagrama de Venn- Euler

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1 MT I Prof. Gustavo dolfo Soares Conjuntos a) 1 Conceitos primitivos Os conceitos que iniciam uma teoria são aceitos sem definição, pois, não existindo ainda a teoria, não há recurso para definí-los; por isso, esses conceitos são chamados de conceitos primitivos. Na teoria dos conjuntos, os conceitos primitivos são: conjunto, elemento de um conjunto e pertinência entre elemento e conjunto. ideia de conjunto é a mesma de coleção, conforme mostram os exemplos a seguir. a) coleção de livros didáticos que você utilizará no primeiro ano do ensino médio é um conjunto de livros. O livro de Matemática é um elemento que pertence a esse conjunto. b) Os alunos de sua sala de aula formam um conjunto de alunos. Você é um elemento que pertence a esse conjunto. 2 Representação de um conjunto É usual dar nomes aos conjuntos usando letras maiúsculas (,, C,...) e representar os elementos por letras minúsculas (a, b, c,...). Destacamos a seguir as três formas fundamentais de representação de um conjunto. 2.1 REPRESENTÇÃO TULR representação tabular de um conjunto é aquela em que todos os elementos são apresentados entre chaves e separados por vírgula ou ponto e vírgula. a) = {a; e; i; o; u} b) = {1; 2; 3; 4} c) C = {3, 2; 4, 5; 8, 9} Repare que, no exemplo a, a é elemento do conjunto mas não é elemento do conjunto. Esses fatos são indicados, respectivamente, por a (Lê-se: a pertence a ) a / (Lê-se: a não pertence a ) 2.2 Representação por Diagrama de Venn- Euler representação de um conjunto por um diagrama de Venn-Euler é aquela em que os elementos são simbolizados por pontos interiores a uma região plana delimitada por um linha fechada que não se entrelaça. b) c) a e i o u C

2 MT I Prof. Gustavo dolfo Soares 2.3 Representação por uma propriedade representação de um conjunto G por meio de uma propriedade é aquela em que os elementos de G são descritos por uma propriedade que os determina. Representa-se os conjunto G por: G = {x x goza da propriedade p} (Lê-se: G é o conjunto de todos os elementos x tal que x goze da propriedade p ) a) D = {x x é um país da mérica do Sul.} O conjunto D é formado por todos os países da mérica do Sul. b) E = {x x é planeta do sistema solar.} O conjunto E é formado por todos os planetas do sistema solar. 3 Conjunto Vazio Conjunto Vazio é aquele que não possui elemento algum. Representa-se por ou { }. Exemplo: O conjunto = {x x é número e x 0 = 15} é vazio, pois não possui elemento algum, isto é, =. b) No estudo das figuras geométricas planas como conjuntos de pontos, o conjunto universo é o plano. c) No estudo das figuras geométricas espaciais como conjunto de pontos, o conjunto universo é o espaço tridimensional. 6 Subconjunto Dizer que um conjunto é subconjunto de um conjunto equivale a dizer que, se x é elemento de, então x é elemento de. Em símbolos: x x x Lê-se: está contido em ou é subconjunto de. O símbolo é lido como qualquer que seja ou para todo. Representando no diagrama de Venn, temos: 4 Conjunto Unitário Conjunto Unitário é aquele formado por um único elemento. Exemplo: O conjunto = {x x é número e x 5 = 15} é unitário, pois é formado por um único elemento, isto é, = {3}. 5 Conjunto Universo Na linguagem cotidiana, usamos a palavra universo com vários significados. Um deles é o de conjunto de seres ou ideias que, em determinada circunstância, é tomado como referencia. Por exemplo, o universo da iologia é o conjunto dos seres vivos; o universo do Direito é o conjunto de todas as regras que disciplinam as relações em sociedade; o universo da História da Humanidade é o conjunto de todos os seres humanos que viveram ou vivem até hoje. Na Matemática, a palavra universo assume um significado semelhante: Conjunto Universo de um estudo, representado por U, é aquele ao qual pertencem todos os elementos relacionados a esse estudo. a) Quando estudamos métodos de contagem, o conjunto universo é U = {0; 1; 2; 3; 4; 5;...}, ou seja, é o conjunto dos números que podem resultar de uma contagem. Exemplo: Sejam o conjunto formado por todas as pessoas brasileiras, H o conjunto formado por todos os homens brasileiros, M o conjunto formado por todas as mulheres brasileiras e T o conjunto de pessoas que inclui pelo menos uma que não seja brasileira. Podemos afirmar que: 6.1 Propriedades P1), P2), H M T a) = {4; 2; 5}, = {4; 2; 5; 9}

3 MT I Prof. Gustavo dolfo Soares Na figura abaixo, vemos um cacho de uvas, que pode ser considerado um conjunto de uvas. Sob essa consideração, cada elemento de é uma uva b) {4; 2; 5} {4; 2; 5} (P2) c) = {a; b; c; d; e}, = {a; b; e} Nesta nova figura, vemos uma parreira, que pode ser considerada um conjunto de cachos de uvas. Sob essa consideração, cada elemento de é um cacho de uvas. c a b e d Esse exemplo mostra que temos de considerar conjuntos cujos elementos são conjuntos, pois os elementos de são conjuntos de uvas. Em Matemática também ocorre esse tipo de situação. Uma dessas situações é apresentada a seguir. d) = {4; 2; 5}, = {4; 2; 9; 6} Conjunto das partes de um conjuntos Chama-se conjunto das partes de um conjunto, que se indica por P(), o conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de. Exemplo: Sendo = {a; b; c}, os subconjuntos de são, {a}, {b}, {c}, {a; b}, {a; c}, {b; c}, {a; b; c} e) {1; 2; 3} (P1) f) (P1 e P2) Logo, o conjunto das partes de é o conjunto P() = {, {a}, {b}, {c}, {a; b}, {a; c}, {b; c}, {a; b; c}} 6.2 Propriedade Dados os conjuntos não vazios 1, 2, 3,..., k, o número de escolhas diferentes de um elemento de 1, um de 2, um de 3,... e um de k é n( 1 ) n( 2 ) n( 3 )... n( k ). Obs.: n() indica o número de elementos do conjunto 7 Conjuntos cujos elementos são conjuntos 7.2 Propriedade Se um conjunto possui n elementos, então P() possui 2 n elementos. Exemplo: a) O conjunto = {1; 2; 3; 4; 5} possui 5 elementos; logo, P() possui 2 5 = 32 elementos. b) O conjunto = {a} possui 1 elemento; logo, P() possui 2 1 = 2 elementos. c) O conjunto C = possui 0 elemento; logo, P(C) possui 2 0 = 1 elemento.

4 MT I Prof. Gustavo dolfo Soares 8 Operações entre conjuntos 8.1 União de conjuntos união de dois conjuntos, e, que indicaremos por, é o conjunto cujos elementos são todos aqueles que pertencem a ou a. = {x x x } união geralmente é representada no diagrama 8.4 Propriedades P1) = P2) = P3) ( ) C = ( C) P4) ( C) = ( ) ( C) P5) ( C) = ( ) ( C) 8.5 Diferença de conjuntos diferença de dois conjuntos, e, nessa ordem, que indicamos por, é o conjuntos cujos elementos são todos aqueles que pertencem a e não pertencem a. = {x x x / } diferença geralmente é representada no diagrama a) = {7; 8; 9}, = {10; 11} = {7; 8; 9; 10; 11}. b) C = {7; 8; 9; 10}, D = {9; 10; 11; 12; 13} C D = {7; 8; 9; 10; 11; 12; 13} c) E = {4; 5; 6}, F = {2; 3; 4; 5; 6; 7} E F = {2; 3; 4; 5; 6; 7} 8.2 Propriedades P1) = P2) = P3) ( ) C = ( C) 8.3 Interseção de conjuntos interseção de dois conjuntos, e, que indicaremos por, é o conjunto cujos elementos são todos aqueles que pertencem a e a. = {x x x } interseção geralmente é representada no diagrama 8.6 Propriedades P1) = P2) = = P3) 8.7 Complementar de um conjunto Sejam e dois conjuntos quaisquer tais que. Chama-se complementar de em relação a, que indicamos por C, o conjunto cujos elementos são todos aqueles que pertencem a e não pertencem a. C = {x x x / } Geralmente, representamos o conjunto C no diagrama Se a interseção entre os conjuntos e for o conjunto vazio, dizemos que eles são disjuntos. a) = {5; 6; 7; 8}, = {7; 8; 9; 10} = {7; 8}. b) C = {3; 4; 5}, D = {8; 9} C D = c) E = {b; c; d; e}, F = {a; b; c; d; e; f} E F = {b; c; d; e} Se, dizemos que não existe C.

5 MT I Prof. Gustavo dolfo Soares 8.8 Complementar de um conjunto em relação a um universo Quando considerarmos um conjunto universo U, previamente fixado, podemos indicar o complementar de em relação a U simplesmente por ou. 5) Quantos elementos possui um determinado conjunto P com n elementos? 6) Sabendo que S T = {a; b; d}, S = {a; b; c; d} e S T = {a; b; c; d; e; f; g}, represente no diagrama abaixo os conjuntos S e T. U S T C U 7) Represente os conjuntos M = {a; b; c; d; g}, N = {b; c; d; f; h} e P = {g; d; h; e; i} no diagrama abaixo. M N 8.9 Propriedades P1) C = P2) C = P3) ( ) = P4) ( ) = 9 Exercícios 1) Represente na forma tabular cada um dos conjuntos,, e C, do diagrama abaixo. 2) Dados os conjuntos P = {a; b; c} e Q = {d; e}, de quantas maneiras diferentes podemos escolher um elemento de P e um elemento de Q? 3) Dados os conjuntos P = {a; b; c}, Q = {d; e} e S = {f; g; h; i}, de quantas maneiras diferentes podemos escolher um elemento de P, um elemento de Q e um elemento de S? 4) Quantos subconjuntos possui o conjunto {a; b; c}? P 8) Se,, C, D e F são conjuntos quaisquer tais que = D, C = F, então o conjunto ( C) é igual a: () D F () D F (C) D (D) F (E) 9) Dados os conjuntos E = {3; 8; 6; 4}, F = {1; 2; 3; 8; 6; 4; 9} e G = {4; 5; 6; 7; 8}, determine: (a) F E (b) G E (c) (E G) F (d) (F G) (G F ) (e) C E F (f) C (E G) F (g) C G F (h) C F 10) Sabendo que C = {0; 6; 8}, = {0; 6; 8; 1}, C = {0; 6; 8; 12}, C = {0; 6; 8; 2; 3}, = {2; 3}, C = {12} e = {12; 15}, represente os conjuntos, e C em um diagrama como este:

6 MT I Prof. Gustavo dolfo Soares O resultado da pesquisa foi apresentado na tabela: C 11) Nos diagramas a seguir, hachure a região que corresponde aos conjuntos indicados. (a) (b) 12) Foi realizada uma pesquisa com 350 pessoas para avaliar a eficácia de um anúncio na divulgação de dois produtos, e. o final da pesquisa, constatou-se que, dos entrevistados, precisamente: 280 conheciam o produto ; 80 conheciam os dois produtos; 20 não conheciam nenhum dos dois produtos. De acordo com esses dados, quantas pessoas entrevistadas conheciam apenas o produto? 13) Dos 180 funcionários que trabalham no escritório de uma empresa, precisamente: 108 falam inglês; 68 falam espanhol; 32 não falam inglês nem espanhol. Quantos funcionários desse escritório falam as duas línguas, inglês e espanhol? 14) Uma indústria de artigos esportivos fez uma pesquisa de mercado com pessoas, que deveriam responder sim ou não a cada uma das seguintes perguntas: I. Você pratica caminhada? II. Você pratica corrida? III. Você pratica ginástica? Resposta sim N o de pessoas À pergunta I 800 À pergunta II 332 À pergunta III 618 Às perguntas I e II simultaneamente 118 Às perguntas I e III simultaneamente 172 Às perguntas II e III simultaneamente 110 Às perguntas I, II e III simultaneamente 70 De acordo com esses dados, quantas pessoas responderam não a todas as perguntas? 15) De uma pesquisa realizada pelo Ministério do Turismo com gaúchos, pode-se concluir que, precisamente: 816 dos entrevistados já estiveram na região Nordeste do rasil; 602 dos entrevistados já estiveram na região Norte do rasil; 206 dos entrevistados já estiveram nas duas regiões. Quantas das pessoas entrevistadas nunca estiveram em nenhuma das duas regiões? 16) Um funcionário do departamento de seleção de pessoal de uma indústria automobilística, analisando o currículo de 47 candidatos, concluiu que apenas 3 deles nunca trabalharam em montagem ou pintura, 32 já trabalharam em montagem, e 17 já trabalharam nos dois setores. Quantos desses candidatos já trabalharam apenas em pintura? 17) Uma fábrica de motocicletas realizou uma pesquisa de mercado com 400 jovens maiores de idade, concluindo que, precisamente: 283 dos entrevistados já dirigiram automóvel; 127 dos entrevistados já dirigiram motocicleta; 67 dos entrevistados não dirigiram nenhum dos dois tipos de veículo. Quantos dos jovens entrevistados já dirigiram os dois tipos de veículo? 18) Em uma empresa, 60% dos funcionários têm mais de 20 anos de idade e 64% têm menos de 40 anos de idade. Qual é a porcentagem de funcionários dessa empresa com mais de 20 anos de idade e menos de 40 anos de idade? 19) Cada um dos 51 professores de uma escola leciona em pelo menos um dos três prédios,, e C, que a escola possui. distribuição de aulas aos professores foi feita de modo que, precisamente: 32 professores lecionam no prédio ; 30 professores lecionam no prédio ; 29 professores lecionam no prédio C; 17 professores lecionam nos prédios e ; 18 professores lecionam nos prédios e C; 13 professores lecionam nos prédios e C. Quantos professores lecionam nos três prédios da escola?

7 MT I Prof. Gustavo dolfo Soares 20) (UFRJ) Um clube oferece a seus associados aulas de três modalidades de esporte: natação, tênis e futebol. Nenhum associado pôde se inscrever simultaneamente em tênis e futebol, pois, por problemas administrativos, as aulas desses dois esporte serão dadas no mesmo horário. Encerradas as inscrições, verificou-se que: dos 85 inscritos em natação, 50 só farão natação; o total de inscritos para a aula de tênis foi de 17 e, para futebol, de 38; o número de inscritos só para as aulas de futebol excede em 10 o número de inscritos só para as de tênis. Quantos associados se inscreveram simultaneamente para as aulas de futebol e natação?