E. E. E. M. MATEMÁTICA PRIMEIRO ANO - PARTE UM CONTEÚDOS CONJUNTOS INTERVALOS NOME COMPLETO: Nº PROFESSORA:

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1 E. E. E. M. MATEMÁTICA PRIMEIRO ANO - PARTE UM CONTEÚDOS CONJUNTOS INTERVALOS NOME COMPLETO: Nº TURMA: TURNO: ANO: PROFESSORA: 1

2 1. Noção básica de conjuntos numéricos 1.1 Conceito de Conjunto Segundo Medeiros (2009) não existe uma definição especifica para conjunto, podendo ser considerado uma coleção de objetos. Os objetos que fazem parte de uma coleção são os elementos do conjunto. Ex.: um ponto é um elemento de um conjunto de pontos. Um planeta é um elemento do conjunto de astros. Relação de Pertinência Para dizer que x é um elemento de um conjunto A, escreve-se: x є A (leitura: x pertence ao A) Para dizer que x não é um elemento do conjunto A, escreve-se: x A (leitura x não pertence ao A) (MEDEIROS, 2009) Relação de inclusão Medeiros (2009) menciona que se todo elemento de um conjunto A também for um elemento de um conjunto B, então podemos dizer que A é um subconjunto de B. Para indicar que A é um subconjunto de B, escreve-se: A B (A está contido em B) A B (A contém B) Se o conjunto de A não for subconjunto de B, escreve-se A B (A não está contido em B) 1.2 Tipos de Números a) Números naturais (N) Para Medeiros (2009), o conjunto dos números naturais é importante pelo seu uso na contagem, ou seja, é uma classe de números usados no processo de contagem de objetos (concretos ou abstratos). Notação é N = {0, 1, 2, 3, 4...} 2

3 A sucessão dos números naturais começa pelo zero e cada número seguinte é obtido acrescentandouma unidade (+1) ao número anterior. (Giovanni e Giovanni Jr, 2010). Não existe o maior número natural, a sucessão é infinita. Existindo uma sucessão de números (14, 15 e 16) são chamados números consecutivos. Sucessão dos números naturais pares = 0, 2, 4, 6, 8... Sucessão dos números naturais ímpares = 1, 3, 5, 7... b) Números inteiros (Z) Conforme Medeiros (2009) o conjunto dos números inteiros é formado pelos elementos do conjunto dos números naturais acrescidos de seus simétricos. Notação Z = {...- 2, -1, 0, 1, 2,...} Conjunto de números inteiros positivos (equivalente ao conjunto dos números naturais). Ex.: + 14, + 22, + 13 Conjunto de números inteiros negativos Ex.:- 8, - 6, - 1 c) Números Racionais ou fracionários (Q) Números racionais são os que podem ser escritos na forma de fração de números inteiros. Tem representação decimal finita ou periódica. Para Giovanni e Giovanni Jr (2010) todo numero racional é o resultado de uma divisão de números inteiros, sendo o segundo número diferente de zero. Todo número racional relativo pode ser escrito da seguinte forma:, com a e b inteiros e b 0. Ex.: a) + 4 e 4 são números racionais inteiros. 4 = 4 1 = 4 (número racional escrito na forma fracionária) 1 b) 5 5 e (números racionais na forma de fração) 7 7 c) + 2,8 e 2,8 (números racionais na forma decimal) 3

4 d) Números Irracionais (I) São números cuja representação decimal é sempre infinita (não é exata), nem periódica, consequentemente, não podem ser escritos sob a forma de fração. Um número irracional nunca pode ser escrito da seguinte forma:, sendo a e b números inteiros e b 0 ex.: = 1, = 3, e) Números Reais (R) É a reunião ou união de todos os números acima apresentados. Logo podemos pensar em: N U Z U Q U I= R ou ainda Q U I= R pois Q = N U Z Atenção: U significa união Lembre-se: Para relacionar conjuntos e subconjuntos utilizamos está contido, ao está contido ou contem (, e ) e para relacionar elemento com um conjunto ou subconjunto usa-se pertence ou não pertence : ( e ). Representação de um conjunto 1) Extensão Quando está entre chaves, e separados por vírgulas representam os elementos formadores de um conjunto. Ex.: A = {a, b, c} B = {1, 2, 3, 4, 5} 4

5 2) Compreensão Medeiros (2009) diz Quando escrevemos entre chaves, uma característica comum a todos os elementos formadores do conjunto. A resposta está escrito por extensão Ex.: {a,e,i,o,u}, agora quando olhamos para A = {x x é vogal} = {a, e, i, o, u} {x R/0<x<4}, dizemos que está escrito por compreensão B={x N*-1<x<4} = {1,2,3} C={x N/0 x 4}={0,1,2,3,4} 3) Por figuras Através de linhas simples fechadas conhecidas como diagramas de Venn. Exemplos: C Conjunto unitário É o conjunto que possui apenas um elemento. Ex.: A = {x x é par compreendido entre 9 e 11} = {10} Conjunto vazio É aquele que não possui elementos, sendo representado da seguinte forma: { } ou A = {x x = x² = 9 e x é par} = { } Obs: O conjunto vazio está contido dentro de qualquer conjunto. 5

6 Exercícios para fazer: 1. Marque V ou F, caso seja falsa justifique: a)( )O conjunto dos números inteiros contem o conjunto dos números racionais. b)( )O subconjunto de números que podem ser expressos através de uma fração está contido no conjunto dos números racionais que contem também o conjunto de todas às raízes. c)( )Um decimal periódico pertence ao conjunto dos números irracionais. d)( )O zero pertence somente ao conjunto dos números naturais. e)( )O conjunto dos números reais é dado pela união do conjunto dos números racionais e irracionais. f)( )O conjunto dos naturais contem o conjunto dos inteiros. g)( )O conjunto dos números inteiros está contido no conjunto dos números reais. 2. Analise as afirmações abaixo: I) { 4, 2 } N. II) { 7, 0,333..., 1, , 2 } I. III) { 4 8, - 9} Z. 1 7 IV) {,, 9 2 0,333..., 1, } Q. 1 7 V) {, 7, 4,, 9 2 8, - 9, 0,333..., 1, , 2 } R. Posso afirmar que: a)( ) a I e a V estão corretas. b)( ) todas estão corretas. c)( )somente a V está correta. d)( ) a III e V estão corretas. e)( )todas estão incorretas. 6

7 3. A partir do diagrama abaixo marque V ou F a)( ) N Z I Q b)( ) R Q I c)( ) I N d)( ) Q R R Q N Z I 4. Dados os conjuntos A={0,1,2,3} B= {2,4,6} C= {1,3,6,9} e D={1}. Assinale com V ou F: a) ( ) A B b) ( )D C c) ( ) A d) ( )2 B e) ( )1 A f) ( ) 2 B g) ( )D A h) ( ) 3 C i) ( ) D B 5. Sendo os conjuntos numéricos N= naturais, Z= inteiros, Q= racionais, I= irracionais e R= reias. Assinale com V ou F: a) ( ) I Q b) ( )N I c) ( ) R d) ( )N Z e) ( )Q R f) ( ) Z Q g) ( )Z Q h) ( ) N Q i) ( ) Z R Operações entre conjuntos Reunião ou união Dados dois conjuntos A={0,10,20,30} e B={0,20,40,50}, podemos escrever um conjunto C formados com os elementos que pertencem a A ou pertencem a B ou a ambos. Assim, C={0,10,20,30,40,50}. O conjunto C é chamado reunião ou união de a e B é indicado por A B(lê-se: A união com B ou A reunião com B). A B={x /x A ou x B} A B 30 7

8 Intersecção Dados dois conjuntos A={0,10,20,30} e B={0,20,40,50}, podemos escrever um conjunto C formados com os elementos que pertencem simultaneamente a A e B, ou seja, pelos elementos comuns a aa e a B. Assim, C={0,20}. O conjunto C é chamado intersecção de a e B e é indicado por A B(lê-se: A intersecção b ou, simplesmente, a interb} A B={x /x A e x B} A B Diferença Dados dois conjuntos A={0,10,20,30} e B={0,20,40,50}junto C formado pelos elementos pertencentes a A mas que não pertencem a B. Assim, C={10,30}. O conjunto C é chamado diferença entre A e B e é indicado por A-B{lê-se: A menos B} A-B={ x /x A e x B} A B Alguns exemplos resolvidos vamos pensar juntos : Cuidado com os sinais: > maior menor e igual 2 x 4 a resposta são números maiores e igual a 2 e menores e igual a 4 2 < x < 4 a resposta são números maiores que a 2 e menores que 4 I)Escreva por extensão os elementos abaixo: a) K= { x N / x >0} = b) R= { x N / x 3}= c) T={x Z*/-1 x 2 } = d) W={x Z/0 x 2 }= 8

9 II) Pinte a resposta correspondente nos diagramas abaixo: a) (A B) (A C) (C B) A B C b) (A B) C A B C Exercícios para fazer no caderno: 1. Determine os elementos dos conjuntos, represente por extensão: a) A = { x N / x 0} b) C= { x N /1< x< 4} c)d={ x Z* / -1 < x < 4} d)h={x Z/-5 x 8} e)w={x Z/-3 x 4} f)i={x Z/-3 x 2 } g)t={x Z/-3 x 0 } h)t= { x N / x 0} 2. Dados os conjuntos A={0,1,2,3} B= {2,4,6} e C= {1,3,6,9}. Determine: a) (A B) C= b) A B C)= c) (C B) A = d) A B= e) B C= f)c- (A = 9

10 3. Pinte a resposta: a) (A B) (C B) A B b) (B C) A C A B C c) (A B C) A B C d) (A B C) A A B C 4. O conjunto A tem 20 elementos, A B tem 12 elementos e A B tem 60 elementos. O número de elementos do conjunto B é: a) 28 b)36 c)40 d)48 e)52 R:e 10

11 III)Resolução de problemas: Antes de resolver monte sempre o diagrama isso vai lhe ajudar. 1) Numa pesquisa sobre a preferência em relação a três marcas de salgadinhos. O resultado foi o seguinte: 250 delas gostam do salgadinho A, 150 gostam do salgadinho B e 50 gostam somente do salgadinho C, e ainda 10 gostam do A e B, 15 do B e C, 5 do A e C e 2 dizem gostar do A, B e C. Vamos preencher os dados no diagrama: A B C a)quantos gostam apenas do salgadinho A? b)quantos gostam do salgadinho A ou B e não gostam de C? c)quantos gostam dos três? d)quantos gostam do C? e)quantas pessoas foram entrevistadas? 2) Em uma prova discursiva de álgebra com apenas duas questões, 470 alunos acertaram somente uma das questões e 260 acertaram a segunda. Sendo que 90 alunos acertaram as duas e 210 alunos erraram a primeira questão. Quantos alunos fizeram a prova? Q1 Q2 Nenhuma 11

12 3)Numa comunidade constituída de 1800 pessoas há três programas de TV favoritos: Esporte (E), novela (N) e Humanismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a esses programas. Programas E N H E e N E e H N e H E, N e H Nenhum Número telespectadores de x Através desses dados verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas é: (A)200 (B)300 E N (C)600 nenhum (D)900 (E) 1000 H 4) Num grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei, 20 jogam vôlei e xadrez, 22 jogam xadrez e tênis, 18 jogam vôlei e tênis e 11 jogam as três modalidades. O numero de pessoas que jogam xadrez é igual ao numero de pessoas que jogam tênis. V X T a)quantos esportistas jogam tênis e não jogam vôlei? b)quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei? c)quantos jogam vôlei e não jogam xadrez? 12

13 Exercícios para resolver: 1. Pesquisadas todas assinavam pelo menos um dos dois jornais A e B: 50 assinavam A; 80 o jornal B e 30 assinavam A e B. Qual o total de assinantes? R: Numa escola 150 alunos estudavam Matemática, 20 estudavam Português e Matemática e os 30 restantes estudavam outra disciplina. Pergunta-se: Qual o total de alunos dessa escola? R: Num clube de 1000 sócios exatamente 80% dos sócios praticam futebol, 60% vôlei. Se todos os sócios praticam pelo menos um dos dois esportes. Qual é o percentual de praticantes dos dois esportes? b)qual o número de sócios que praticam futebol? R:40% 400 sócios praticam futebel 4. Os dados abaixo é o resultado de uma pesquisa feita em uma cidade sobre o consumo de três produtos: A=30 B=50 C=70 AeB=10 AeC=5 BeC=6 A,BeC=1 NENHUM= Com base nos dados responda: a)quantas pessoas foram pesquisadas? b)quantas consomem apenas um dos produtos? c)quantos não consomem o produto C? d)quantas pessoas consomem só dois produtos? R: , 111, e Em um condomínio de 600 famílias, 315 possuem carro, 240 famílias possuem TV e 182 não possuem carro nem TV. Perguntas-se: a)quantas possuem carro ou TV? b)quantas possuem carro e TV? c)quantas possuem carro e não possuem TV? R: 418, 137 e

14 6. Numa pesquisa sobre a preferência em relação a dois jornais, foram consultadas 470 pessoas e o resultado foi o seguinte: 250 delas lêem o jornal A, 180 o jornal B e 60, os jornais A e B. a)quantas pessoas lêem apenas o jornal A? b)quantas lêem o jornal B? c)quantas lêem jornais? d)quantas não lêem jornais? R:190, 180, 370 e Numa pesquisa verificou-se que das pessoas consultadas 110 liam o jornal A 150 liam o jornal B, 20 liam os dois (A e B) e 110 não liam nenhum dos dois jornais. Quantas pessoas forma consultadas? R: Uma prova está constituída de dois problemas. 330 alunos acertaram somente um dos problemas, 260 acertaram o segundo 100 acertaram os dois e 210 erraram o primeiro. Quantos alunos fizeram a prova? R: Um levantamento socioeconômico entre os habitantes de uma cidade revelou que, exatamente: 17% têm casa própria; 22% têm automóvel; 8% têm casa própria e automóvel. Qual o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel? R: 69% 10. Dez mil aparelhos de TV foram examinados depois de um ano de uso e constatou-se que deles apresentavam problemas de imagem, tinham problemas de som e não apresentavam nenhum dos tipos de problema citados. Então o número de aparelhos que apresentavam somente problemas de imagem é: (A) (B) 3 700(C) (D) (E) R: b 14

15 11. Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente as publicações Helena, Senhora e A Moreninha. Para isto, efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que em cada 1000 pessoas consultadas: 600 leram A Moreninha; 400 leram Helena; 300 leram Senhora; 200 leram A Moreninha e Helena; 150 leram A Moreninha e Senhora; 100 leram Senhora e Helena; 20 leram as três obras; Calcule: O número de pessoas que leu apenas uma das obras. b) O número de pessoas que não leu nenhuma das três obras. c) O número de pessoas que leu duas ou mais obras. R: 460, 130 e Numa cidade, constatou-se que todas as pessoas que gostam de música clássica, não gostam de música sertaneja. Verificou se ainda, que 5% da população gostam de música clássica e de rock, que 10% gostam de rock e de música sertaneja, que 35% gostam de rock, que 40% gostam de música sertaneja e que 30% gostam de música clássica. Determine o percentual de habitantes da cidade que não curtem nenhum dos gêneros musicais citados. R:10% 13. Na comunidade universitária de alunos são lidos dois jornais A e B. Verificou-se que exatamente 75% dos alunos leem o jornal A e 60% o jornal B. Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, determine quantos alunos leem ambos os jornais. R: Uma população consome 3 marcas de sabão em pó: A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado, colheram-se os resultados tabelados abaixo: Marca A B C A e B B e C A e C A, B e C Nenhum Número consumidores de somente Determine o número de pessoas consultadas. R:

16 EXERCÍCIOS DE RETOMADA REVISÃO DE CONJUNTOS: 1) Dados os conjuntos A = {0;1}, B = {0;2;3}, C = {0;1;2;3} e D={0;1;2;3;4;5}, classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) cada afirmação abaixo: a) ( ) A B b) ( ) 1 A c) ( ) A C d) ( ) B 0 e) ( ) B C f) ( ) {0;2} B g) ( ) B D h) ( ) C A i) ( ) 2 A 2) Sendo A = {3, 4, 5, 6, 7} e B = {5, 6, 7, 8, 9...}, determine: a) A B b) A B c) A B d) B A 3) Observe o diagrama ao lado e responda: Quais os elementos dos conjuntos abaixo: a) A = b) B = c) C = d) (A B) (B C) = e) (A C) B= 4) Use V ou F conforme o caso: a) 3,1 Q ( ) l) 3,555 = 3, ( ) 7 b) 2 Q ( ) m) 0, = 100 ( ) 2 c) 3 8 Z ( ) n) 0, = 9 I ( ) d) 25 N ( ) o) 0,85 R ( ) e) - 9 N ( ) p) 7 I ( ) f) 3 27 Z ( ) q) 12 I ( ) 5 16

17 5) Pinte a resposta final conforme o solicitado: a) (A B) (B C)= c) A B C= b) (B A) - C = d) C B A= 6) Se A B= 20 elementos, B= 50 elementos e A B= 100. Logo complete o diagrama e resposta o que é solicitado abaixo: a) Quantos elementos tem dentro do conjunto A: b) Quantos elementos tem somente no conjunto B: c) Quantos elementos tem dentro do conjunto A que não estão no conjunto B: 17

18 PROBLEMAS ENVOLVENDO CONJUNTOS: FAZER O DIAGRAMA 7) Em uma escola, 100 alunos praticam vôlei, 150 futebol, 20 os dois esportes e 110 alunos, nenhum esporte. O número total de alunos é: a) 230 b) 300 c) 340 d) 380 8) No concurso para o CPCAR foram entrevistados 979 candidatos, dos quais 527 falam a língua inglesa, 251 a língua francesa e 321 não falam nenhum desses idiomas. O número de candidatos que falam as línguas inglesa e francesa é: a) 778 b) 120 c) 658 d) 131 9) Uma pesquisa de mercado sobre a preferência de 200 consumidores por três produtos P1, P2 e P3 mostrou que, dos entrevistados, 20 consumiam os três produtos; 30 os produtos P1 e P2; 50 os produtos P2 e P3; 60 os produtos P1 e P3; 120 o produto P1; 75 o produto P2 Se todas as 200 pessoas entrevistadas deram preferência a pelo menos um dos produtos, pergunta-se: a) Quantas consumiam somente o produto P3? b) Quantas consumiam pelo menos dois dos produtos? c)quantas consumiam os produtos P1 e P2, e não P3? 10) Em uma prova de aptidão 80 candidatos acertaram pelo menos um entre dois testes. Sabe-se que 70 candidatos acertaram o primeiro teste e 50 acertaram o segundo teste. Qual o número de candidatos que acertaram os dois testes? 11) Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 2000 pessoas usam os produtos A ou B. O produto B é usado por 800 pessoas, e 320 pessoas usam os dois produtos ao mesmo tempo. Quantas pessoas usam o produto A? 12) Analisando-se as carteiras de vacinação das 84 crianças de uma creche, verificou-se que 68 receberam a vacina Sabin, 50 receberam a vacina contra o sarampo e 12 não foram vacinadas. Quantas dessas crianças receberam as duas vacinas? a) 11 b) 18 c) 22 d) 23 e) 46 18

19 ... Atenção... Alguns conjuntos podem ser representador por extensão outros não, pois sua resposta contempla uma grande quantidade de números que não conseguimos escrever. Veja os dois exemplos abaixo: A= { x Z / 2 x<5 }= {2,3,4} B= { x R / 2 x<5 }= há infinitos números reais maiores e iguais a 2 e menores que 5, logo não é possível escrevê-los todos entre chaves separados por vírgula. Então foi necessário criar uma maneira de representar estes conjuntos. Nasce ai a notação de intervalos. Então como podemos representar o exemplo dado acima através desta nova notação. { x R / 2 x<5 } Na reta real: Por notação de intervalos: [2,5[ ou [2,5) 2.Noção de Intervalos A notação de intervalos surgiu para que pesquisadores pudessem expressar uma grande quantidade de números que não podem ser escritas por extensão. Para tal se faz uso da reta real para representar estes números. Denominamos intervalo a qualquer subconjunto dos números reais (um intervalo infinitos elementos). Assim, dados dois números reais a e b, com a < b, temos: a) intervalo aberto Representação algébrica: x R a x b ou (a, b) ou ]a, b[ A bolinha vazia indica que os extremos a e b não pertencem ao intervalo. Esse intervalo contém todos os números reais compreendidos entre a e b, exclusive. 19

20 b) intervalo fechado Representação algébrica: x R a x b ou [a, b] A bolinha cheia indica que os extremos a e b pertencem ao intervalo. Esse intervalo contém todos os números reais compreendidos entre a e b, inclusive. c) intervalo semi-aberto à direita Representação algébrica: x R a x b ou [a, b) ou [a, b[ d) intervalo semi-aberto à esquerda Representação algébrica: x R a x b ou (a, b] ou ]a, b] Podemos ter ainda intervalos com as seguintes características: x R x a ou (a, + ) x R x a ou [a, + ) x R x a ou (-, a) x R x a ou (-, a] 20

21 Exercícios para fazer no caderno: 1. A partir dos enunciados represente os intervalos na reta real e não esqueça de pintar a resposta. a) [ 2, 8] b) { x R/ 12 < x < 15} c) ] -, 2] d) { x R/ -2 x 2} e)(2,4) U {5} f) [-5,-2[ U (4, 5] g) { x R/ -5 < x < 5} U { x R/ x > 6} 2. Represente por compreensão e notação de intervalos as retas abaixo: 3. Analise as afirmações abaixo e marque a resposta correta: I ){ x N / 3 x 5} ]3,5[ II ){ x R / 2 x 4} {3} III ){ x R / x 2} (2, ) IV ){ x Z / x 2} (,2] a) ( ) a I e II estão corretas b) ( )a II e III estão corretas c)( )a III e IV estão corretas d)( )todas são falsas exceto a II e) ( )todas são falsas exceto a III 21

22 4. Dadas às afirmações analise e marque a resposta correta: I){x N / 2 x 3} ]2,3[ III){x R /x 2} {2,3,4...} II){x R /x 3} {...0,1,2} IV){x R / -1 x 1} a)( ) somente a I está correta d)( ) somente a IV está correta b)( ) há II e III estão corretas e)( ) há I, II e III estão corretas c)( ) todas estão incorretas 5. Analise a reta e marque a sentença correta que melhor representa a resposta. a) ( ){x R / 2 x 5}-{3} d) ( ){x N / 2 x 5}-{3} e) ( ){x R / x 2}-{4,5} b) ( ){x R / x 2} {4 x 5} c) ( ){x R / x 2} {4 x 5} 6. Analise a reta e marque a sentença correta que melhor representa a resposta. a) ( ){x R / 0 x 5}U{7,9} d) ( ){x N / 0 x 5} {7 x 9} b) ( ){x R /0 x 5} {7 x 9} e) ( ) todas são incorretas c) ( ){x R / 0 x 9} 7. Complete a tabela abaixo: 22