TEORIA DOS CONJUNTOS. Inclusão: Obs: A, A. a) A B e) D B i) B D. b) B C f) C A j) C B. c) C D g) C B k) A C d) D A h) B A l) D A

Transcrição

1 TEORI DOS CONJUNTOS Representação 1. Por extensão: Ex: = {1, 2, 4,7} = {a, b, c, d} 2. Por compreensão: Ex: = {x x é vogal} = {x N x é par} C = {x x é divisor de 5} 3. Por diagrama: Ex: Tipos de conjuntos: 1. Conjunto unitário Ex: = {4} = {x x é natural par primo} 2. Conjunto vazio Ex: = {x x. 0 = 5} = {x R x 2 = 2} 3. Conjunto finito Ex: = {2, 4, 5, 7} = {x x é dia da semana} 4. Conjunto infinito: Ex: = {x x é divisível por 3} = {x R x. 0 = 0} 5. Conjunto universo: Conjunto universo de um estudo é o conjunto ao qual pertence todos os elementos desse estudo. Ex1: Represente por extensão cada um dos conjuntos: a) = {x N 3 x < 10} b) = {x Z 2x 2 x 1 = 0} Ex2: (PUC-SP) Qual dos conjuntos a seguir é infinito: a) {x N x 5} b) {x Z 1 x 8} c) {x Z x é divisor de 8} d) {x Z x é múltiplo de 3} e) {x Z x é primo e x é par} Pertinência: e Ex1: Se = {1, 2, 5} então 1 e 3. Ex2: Dados os conjuntos = {a, b} e = {{a}, {b}}, classifique em verdadeiro (V) ou Falso (F): a) a f) {a} b) a g) {b} c) b h) {b} d) b i) = e) {a} k) e tem a mesma quantidade de elementos Inclusão: Ex1: Se = {0, 3, 6} e = {0, 1, 3, 5, 6} então ou. Obs:,. Ex2: Sendo = {1, 2, 3}, = {1, 2, 3, 4}, C = {3, 4, 5, 6, 7} e D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, classifique em verdadeira ou falsa cada sentença abaixo: a) e) D i) D b) C f) C j) C c) C D g) C k) C d) D h) l) D Ex3: Classifique como V ou F cada uma das afirmações: a) {3} {1, 2, 3} g) {3, 4} b) {3} {1, 2, 3} h) {, 1, 2} c) 2 {1, 2} i) {a, b} {a, b, {a}, {b}} d) 2 {1, 2} j) {a} {a, b, {a}, {b}} e) {1} {1, 2, {1}} l) {a, b} {a, b, {a}, {b}} f) {1} {{1}, 2} m) {a, {a}} {a, b, {a}, {b}} Ex4: O número de conjuntos X que satisfazem {1, 2} X {1, 2, 3, 4} é: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

2 TEORI DOS CONJUNTOS Conjunto das partes: P() Ex1: Sendo = {3} determine P(). Operações com conjuntos: 1. União: = {x x ou x } Ex2: Sendo = {2, 5} determine P(). Ex3: Sendo = {a, b, c} determine P(). Obs: Se um conjunto possui n elementos então P() possui 2 n elementos. Ex1: Sendo = {1, 2, 3, 4} e = {3, 4, 5, 7}. Determine. Ex4: Seja um conjunto. Sabendo que o número de elementos de P() é 32 determine o número de elementos de. 2. Interseção: = {x x e x } Ex5: Num programa de TV um espectador participa de um jogo onde deve responder cinco perguntas. s perguntas, por apresentarem dificuldades diferentes, correspondem a prêmios diferentes. Para cada resposta certa, o espectador ganha o prêmio correspondente à pergunta. De quantas maneiras diferentes pode ser premiado (ou não) esse espectador. Ex1: Sendo = {4, 5, 6} e = {2, 3, 4, 6, 7}. Determine. Ex6: Cada uma das quatro comportas de uma empresa é acionada por um dentre quatro registros. s comportas têm vazões diferentes entre si. Pode-se dar vazão apenas por uma comporta, ou por duas quaisquer, ou por três quaisquer, ou por quatro quaisquer, ou pelas quatro simultaneamente. De quantas maneiras diferentes pode-se dar vazão à água dessa represa? Obs: n( ) = n() + n() n( ): Ex2: Um conjunto tem 13 elementos, tem 8 elementos e tem 15 elementos. Quantos elementos tem? Ex7: Um artista plástico deve pintar um painel com pelo menos duas cores, escolhidas entre quatro cores distintas. Quantos conjuntos de cores diferentes o artista pode escolher para pintar o painel? Ex3: é um conjunto com 4 elementos e é um conjunto com 5 elementos. Se e são disjuntos, quantos elementos tem o conjunto? E o conjunto?

3 TEORI DOS CONJUNTOS Ex4: (MCK) Sabe-se que C = {n N 1 n 10} C = {2, 7}, C = {2, 5, 6} e = {n N 1 n 8}. O conjunto C é: a) {9, 10} b) {5, 6, 9, 10} c) {2, 5, 6, 7, 9, 10} d) {2, 5, 6, 7} e) Ex5: (FGV) parte hachurada no gráfico representa: a) ( C) b) ( ) C c) ( ) C d) ( C) e) nenhuma das anteriores Ex1: Sendo = {1, 2, 3} e = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Determine C e C. Ex2: Chama-se diferença simétrica entre dois conjuntos e e indica-se Δ o conjunto ( ) ( ), isto é. ( - ) ( - ) Dados = {1,2,3,4,5} e = {4,5,6,7,8}, determine Δ. Ex6: (Cersgranrio) Se X e Y são conjuntos e X Y = Y, pode-se concluir que: a) X Y b) X = Y c) X Y = Y d) X = e) Y X Ex3: Sejam, e C subconjuntos do conjunto X = {1, 2, 3} tais que, simultaneamente, (C ) = {1}, ( C) = {2} e C ( ) = {3}. 3. Diferença: = {x x e x } Se Y = C, então: a) Y = b) Y = {1} c) Y = {2} d) Y = {3} Ex4: (FGV) Sejam e dois conjuntos tais que =, ( ) então C C é o conjunto ( ) Ex1: Sendo = {0,4, 5, 6} e = {2, 3, 4, 6, 7}. Determine e a) b) c) d) e) Problemas: 4. Complementar: =, (se ) Ex1: Em uma classe de 35 alunos, há 22 que jogam vôlei, 17 que praticam natação e 8 que nadam e jogam vôlei. Quantos alunos dessa classe não praticam nenhum dos dois esportes?

4 TEORI DOS CONJUNTOS Ex2: Um professor de português passou uma pesquisa numa sala de aula de trinta alunos, perguntando quem havia lido as obras Dom Casmurro ou Memórias póstumas de rás Cubas, ambas de Machado de ssis. O resultado da pesquisa foi: 19 alunos leram Dom Casmurro, 20 alunos leram Memórias póstumas de rás Cubas e 3 não leram nenhum dos dois livros. Quantos alunos leram as duas obras a) entrevistados nesta pesquisa; b) pessoas que consomem e ; c) pessoas que consomem ao menos dois tipos de leite; d) pessoas que não consomem leite tipo Ex3: (UFOP) Numa sala de aula com 60 alunos, 11 jogam xadrez, 31 são homens ou jogam xadrez e 3 mulheres jogam xadrez. Conclui-se portanto, que: a) 31 são mulheres b) 29 são homens c) 29 mulheres não jogam xadrez d) 23 homens não jogam xadrez e) 9 homens jogam xadrez Ex5: Num avião encontravam-se 122 passageiros dos quais 96 eram brasileiros, 64 homens, 47 fumantes, 51 homens brasileiros, 25 homens fumantes, 36 brasileiros fumantes e 20 homens brasileiros fumantes. Calcule: a) o número de mulheres brasileiras não fumantes b) o número de homens fumantes não brasileiros c) o número de mulheres fumantes Ex4: Em uma comunidade são vendidos três tipos de leite:, e C. Uma pesquisa de mercado revelou a preferência dos consumidores, conforme mostra tabela abaixo: Marca de leite Número de consumidores 179 Ex6: Os 36 alunos de uma classe fizeram uma prova de 3 questões. Sabendo que 4 erraram todas as questões, 5 só acertaram a primeira questão, 6 só acertaram a segunda, 7 só acertaram a terceira, 9 acertaram a primeira e a segunda, 10 acertaram a primeira e a terceira e 7 acertaram a segunda e a terceira, determine quantos acertaram as três questões. 213 C 156 e 101 e C 56 e C 72, e C 29 Nenhum dos tres 44 Determine o número de:

5 TEORI DOS CONJUNTOS **EXERCÍCIOS** 01. (FCC) Se = {, 3, {3}, {2,3}}, então: a) {2, 3}. b) 2. c) { }. d) 3. e) {3}. 06. (OSEC) Dados os conjuntos = {a, b, c}, = {b, c, d} e C = {a, c, d, e}, o conjunto ( C) (C ) ( C) é: a) {a, b, c, e} b) {a, c, e} c) d) {b, d, e} e) {b, d} 02. (MCK) Seja o conjunto = {3, {3}} e as proposições: Então: (1) 3 (2) {3} (3) {3} a) apenas (1) e (2) são verdadeiras. b) apenas (2) e (3) são veradeiras. c) apenas (1) e (3) são veradeiras. d) todas as proposições são verdadeiras. e) nenhuma proposição é verdadeira. 07. (FUVEST) Seja Δ a diferença simétrica dos conjuntos e, definida pela igualdade: Δ = ( ) ( ). Se = {a, b, c} e = {b, c, d, e, f} então Δ é o conjunto: a) {a, d, e, f} b) {b, c, d, f} c) d) {a} e) 03. (UFU) Se = {3, 4, 5,6} e = {7, 8, 9}, então: a) {7}. b) = { }. c) {5, 6}. d) = {x R 3 x 9} e) = 04. (IT) Sejam, e C subconjuntos de um conjunto universo U. Das afirmações: é (são) verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas II. c) apenas I e II. d) apenas I e III. e) todas. I. ( C) = ( ) ( C); II. ( C) = C; III. ( ) ( C) = ( ) C, 05. (IT) considere as afirmações abaixo relativas a conjuntos, e C quaisquer: I. negação de x é: x ou x. II. ( C) = ( ) ( C). III. ( ) ( ) = ( ) ( ). Destas é (são) falsas(s) a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III d) apenas I e III. e) nenhuma. 08. (UNESP) Se = {1, 2, x}, = {2, 3}, C = {3 4} e ( ) C =, então C é igual ao conjunto: a) {x} b) {3} c) {4} d) C e) {4} ou {3, 4}, dependendo do valor de x 09. (UFU) Dados os conjuntos: D = divisores de 24 (divisores positivos) M = múltiplos de 3 (múltiplos positivos) S = D M n = número de subconjuntos de S Portanto, n é igual a: a) 64 b) 16 c) 32 d) 8 e) Se = {x x Z, 3 < x 1} e = {x x N, x 2 < 16}, então ( ) ( ) é o conjunto: a) { 2, 1, 0, 1, 2, 3} b) { 2, 1, 2, 3} c) { 3, 2, 1, 0} d) {0, 1, 2, 3} e) {0, 1}

6 TEORI DOS CONJUNTOS 11. Suponhamos que = {a, b, c, d, e, f, g, h}, = {d, e} e = {a, b, c}. Então: a) = {f, g, h} b) = {d, e, f, g, h} c) = {a, b, e, d, e} d) = {d, e} e) = ssociando V ou F a cada alternativa, conforme seja verdadeira ou falsa, tem-se: a) F, F, V b) V, F, V c) V, V, F d) V, V, V e) V, F, F 12. Seja N o conjunto dos números naturais, considere os conjuntos X = {x N; x é par} Y = {y N; y é múltiplo de 3} Z = {z N; z é ímpar e múltiplo de 3} Qual a afirmativa certa? a) X Y b) Y Z = c) X Y Z d) (Y Z) (Y X) = e) (Y Z) X = 13. (UNESP) Sejam = {a} e = {a, b, c, d} podemos afirmar que: a) c está em e em. b) c não está em, mas está em. c) c não está em, mas está em. d) se b a então b não está em ou b não está em. e) {b, c, d} ou {b, c, d}. 14. (UFSM) Sejam os conjuntos M = {2, 3, 4, 5} e N = {1, 3, 5, 7}. Pode-se afimar que: a) {2, 3} M N b) 2 M N c) N M = { 1, 0, 1, 2} d) {7} M N e) {3} M N 15. (GV) Considere os conjuntos X e Y e as afirmações: I. Se X Y = X, então X Y. II. X =. III. Se X e Y, então (X Y). 16. (PUC) Se, e são conjuntos com 90, 50 e 30 elementos, respectivamente, então o número de elementos do conjunto é: a) 10 b) 70 c) 85 d) 110 e) (FTEC) O conjunto tem 20 elementos; o tem 12 elementos; o tem 60 elementos. O número de elementos do conjunto é: a) 28 b) 36 c) 40 d) 48 e) (UFF) Foram enviados para dois testes em um laboratório 150 caixas de leite de uma determinada marca. No teste de qualidade, 40 caixas foram reprovadaas por conterem elevada taxa de concentração de formol. No teste de medida, 60 caixas foram reprovadas por terem volume inferior a 1 litro. Sabendo-se que apenas 65 caixas foram aprovadas nos dois testes, pode-se concluir que o número de caixas que foram reprovadas em ambos os testes é igual a: a) 15 b) 20 c) 35 d) 85 e) Feito exame de sangue em um grupo de 200 pessoas, constatou-se o seguinte: 80 delas tem sangue com fator Rh negativo, 65 tem sangue tipo O e 25 têm sangue tipo O com fator Rh negativo. O número de pessoas com sangue de tipo diferente de O e com fator Rh positivo é: a) 40 b) 65 c) 80 d) 120 e) 135

7 TEORI DOS CONJUNTOS 20. (EPUSP) Depois de n dias de férias, um estudante observa que: (1) choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde; (2) quando chove de manhã não chove à tarde; (3) houve 5 tardes sem chuva; (4) houve 6 manhãs sem chuva. Então n é igual a: a) 7 b) 9 c) 10 d) 11 e) (PUC) O número de alunos matriculados nas disciplinas Álgebra, Cálculo II e Geometria analítica é 120. Constatou-se que 6 deles cursam simultaneamente Cálculo II e Geometria nalítica e que 40 cursam somente Geometria nalítica. Os alunos matriculados em Álgebra não cursam Cálculo II nem Geometria nalítica. Sabendo que a turma de Cálculo II tem 60 alunos, então o número de estudantes em Álgebra é: a) 8 b) 14 c) 20 d) 26 e) (FTEC) Em uma pesquisa de mercado sobre o uso de notebooks e tablets foram obtidos, entre os indivíduos pesquisados, os seguintes resultados: 55 usam notebooks; 45 usam tablet, e 27 usam apenas notebook. Sabendo que todos os pesuisadores utilizam pelo menos um desses dois equipamentos, então, dentre os pesquisadores, o número dos que usam apenas tablet é: a) 8 b) 17 c) 27 d) 36 e) (FEI) Em uma comunidade, uma pesquisa a respeito do consumo dos produtos de limpeza, e C revelou que 10 consomem os três, 20 consomem os produtos e C, 40 os produtos e C. 30 os produtos e, 120 o produto C, 160 o produto, 90 o produto e 50 não consomem qualquer um dos três produtos. Das pessoas dessa comunidade, X não consomem o produto. Neste caso: a) X = 250 b) X = 370 c) X = 180 d) X = 200 e) X = Numa classe de 36 alunos: 19 jogam futebol, 25 jogam vôlei, 13 jogam basquete, 12 jogam futebol e vôlei, 8 jogam vôlei e basquete, 8 jogam futebol e basquete e 4 praticam os três esportes. a) quantos alunos da classe não praticam estes esportes? b) quantos praticam exatamente um destes esportes? c) quantos praticam exatamente dois destes esportes? GRITO 01. E D C 02. D D 17. E 22. a) C 08. E 13. D 18. b) C E 19. C c) E