2 a Lista de Exercícios 2001/I

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1 1 Universidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática MAT 131 Introdução à Álgebra a Lista de xercícios 001/I Tópico: onjuntos e elementos 1) Definir, pela enumeração dos seus elementos, cada um dos seguintes conjuntos: a) onjunto das letras da palavra granada. b) onjunto dos nomes dos meses que começam pela letra j. c) onjunto de todos os números naturais que são divisores de 0. d) onjunto de todos os números naturais menores que 7 e que são múltiplos de 5. e) onjunto de todos os números naturais primos maiores que 15 e menores que 40. ) Sendo A = { 1,4,910,11} a) { x A /( x + 1) A} b) { x A / x 5x = 0} c) { x A / 3 < x < 11}, representar sob a forma tabular (por enumeração), os conjuntos: 3) Representar sob a forma tabular (por enumeração), os seguintes conjuntos: a) { x / x < 18} d) { x / x = x} b) { x / x 5 < 6} e) { x / x 6 } c) { x / x 3x = 0} f) { x + / x! = 1} 4) Representar sob a forma sintética (pela propriedade), os seguintes conjuntos: B = = D = { 1,,3, K,9} { 3,6,9, K,99} {,4,6,8, K} 5) Verificar quais dos seguintes conjuntos são vazios ou unitários: B = { x / 1< x < 1} = { x / x < 0} D = { x / x = 4 e x é ímpar} = { x / x = 9 e x = 6} / x x + 5< 0 F = { x } 6) Representar na reta real os seguintes conjuntos: a) { x / x + 3 = 3x 5} b) { x / 5 < x 3} c) { x / x = 3} d) { x / x > 3 e x < 5} e) { x / x é primo e x < 10}

2 7) Verificar as igualdades: a) { x / x 4x + 3 0} = { x / x (1,3)} x ( ) ( ) } { 1} b) { / x + x = 8 = c) { x /8 < x < 0 = { x / x 7x + 1 = 0} 8) Dados os conjuntos: X = { a, b, c}, Y = { a, b}, Z = { a, b, d}, V = { d}, W = { c, d} verificar quais das seguintes sentenças são verdadeiras ou falsas: a) Y X c) V X b) V Y d) W V e) Z V f) Z X 9) Dados os conjuntos: = { r, s, t, u, v w}, B = { u, v, w, x, y, z}, = { s, u, y, z}, D = { u, v}, = { s, u} e F = { s} A, determinar quais dos conjuntos dados pode substituir o conjunto X de modo que resultem verdadeiras as seguintes sentenças: a) X A e X B b) X B e X c) X A e X d) X B e 10) Dado o conjunto = { 1,,3} A, achar todos os conjuntos A X tais que { } X X 1 e X A. 11) Dados os conjuntos A = { 1,} e = { 1,,3,4} 1) Achar todos os subconjuntos do conjunto A = { 0, { 1 } 13) Sendo = { a}, determinar P ( P( ) ) 14) Determinar P ( P( P( ) )) B, determinar todos os conjuntos X B tais que A X B. 15) Dados os conjuntos: = { 1,,3,4,5,6}, A = { 1,4,5,6}, B = { 1,4,6}, calcular A, B e B A 16) Dados os conjuntos: U = { 1,,3,4,5,6,7,8}, A = { 1,,3,4,5}, B = { 1,,3} e = { 4,6,8}, calcular, B e 17) Seja A = { }, } a) { } A b) A c) { } A d) { } A. Verificar quais das seguintes sentenças são verdadeiras ou falsas: e) A 18) Sendo P = {{a}, {b}, {a,b} }, pode-se afirmar que: a) {a} P b) {a} P c) a P d) {a} {b} P e) {a} {b} P f) { } A A Tópico: Operações entre conjuntos 1) Dados os conjuntos: A = { 1,,3,4} B = {,4,6,8} = { 3,4,5,6} a) A B A B b) ( A B) e A ( B ) ) alcular, dando o resultado com a notação de intervalo: a) { x / x 4} { x / x { 1,}} c) { x 3 / x > 1} { x b) { x / < x 3 { x / 5 < x 1} / x 3 < 8}

3 3) onstruir os diagramas de uler-venn dos três conjuntos não vazios A, B e, tais que: a) A B, B, A = b) A B, B, A = c) A, A, B = A B, B, B d) ( ), A 3 4) Determinar os elementos dos conjuntos A, B e sabendo que A e B são partes de tais que: A B = { b c} A = { d, e, f } B = { a, e f }, 5) Dados os conjuntos: U = { 1,,3,4,5 }, A= { 1,,4 }, B= {,4,5} A B, A B, A B, ( A B) 6) alcular, dando o resultado com a notação de intervalo: a) { x / x < } { x / x 0} b) { x / < x 3} { x / x <1} c) { x / 0 x 3} { x / 1 x } 7) Determinar os elementos dos conjuntos A, B e, sabendo que A e B são partes de tais que: a) A B = { 1,3,8,9 }; A= { 4,6,9 }; B = { 3,4,6} b) A B = { 1,5,6,9,13,14}, A = {,5,9,13,18,0} ; B = {,6,18,0} 8) Determinar os elementos dos conjuntos X, Y e Z, sabendo: X Y = {,4}, X Y = {,3,4,5}, X Z = {,3}, X Z = { 1,,3,4} 9) Dados os conjuntos A = { 1,3,5,7}, B = { 5,7,9}, = { 1,3,9} que A X = A, B X = B, X = A B 10) Dados os conjuntos: A = { 1,,3,4}, B = {,4,6,8}, = { 3,4,5,6} a) A B A,,, determinar os elementos do conjunto X tal B b) ( A B), A ( B ) c) ( A B), A ( B ) 11) Dados os conjuntos: A = { a, b, c, d}, B = { c, d, e, f }, = { d, e, f, g} a) ( A B) ( B ) e ( A ) ( A B) c) A ( B ) e ( A B) ( B ) b) A ( B ) e ( A B) Tópico: Propriedades das Operações 1) Simplificar a expressão: a) ( A B) ( A B ) c) ( U ( A ) b) ( A B) ( A B ) d) ( B) ( A U ) ) Verificar as igualdades: a) ( A B) ( A B) ( A B) = A B b) ( A B) ( A B ) ( A B ) = A B c) ( A B) ( A B) ( A B ) = A B d ( B ) ( A B) ( A B ) = A B e ( A ) ( B ) = B f ( A ) ( B ) = A A

4 4 3) Simplificar as expressões: a) ( A ( A B) ) B b) ( ) A B ( A B ) c) ( ) A ( A B ) ( A B) d) ( A B) ( A B) ( A B ) ( A B) e) ( A B) ( A B) ( A B ) ( A B ) f) ( A B ) ( A B ) B 4) Provar que: (a) ) Se A então A = (b) Se A e B então A B (c) Se A B e D então A B D (d) A B = A B = A (e) A B A B = B (f) F = P() P(F) = { } (g) P( F) = P() P(F) (h) Se A B = A e A B 5) Demonstre: (a) A e B são disjuntos para todo conjunto não vazio, A x e B x são disjuntos. (b) Se A e (A ) e A B e D A x B x D 6) Sejam P1, P, Q1, Q, propriedades referentes a um conjunto universo U. Suponha que P1 e P esgotam todos os casos possíveis(ou seja, um elemento qualquer de U ou tem a propriedade P1 ou tem a propriedade P). Suponha que Q1 e Q são incompatíveis (isto é, excluem-se mutuamente). Suponha, finalmente, que P1 Q1 e P Q. Prove que valem as recíprocas: Q1 P1 e Q P. 7) Sejam X1, X, Y1, Y, subconjuntos do conjunto universo U. Suponha que X1 X = U e Y1 Y, =, que X1 Y1 e que X Y. Prove que X1 = Y1, X = Y, 8) ompare os exercícios 6) e 7) e mostre que qualquer um deles pode ser resolvido usando o outro. 9) screva as implicações lógicas que correspondem à resolução da equação x + = x, veja quais são reversíveis e explique o aparecimento de raízes estranhas. Faça o mesmo para a equação x 3 10) Mostre que, para todo m > 0, a equação x + m= x tem exatamente uma raiz. 11) onsidere as seguintes (aparentes) equivalências lógicas: x = 1 x x + 1 = 0 x = 0 x 1 = 0 x = ± 1. Onde está o erro? + = x. 1) Prove que x + x 1 = 0 x 3 x ) Sejam A, B e conjuntos. Determine uma condição necessária e suficiente para que se tenha A ( B ) = ( A B).

5 Tópico: Número de elementos de um conjunto 5 1) Numa universidade são lidos apenas dois jornais, X e Y. 80% dos alunos da mesma lêem o jornal X e 60%, o jornal Y. Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, assinale a alternativa que corresponde ao percentual de alunos que lêem ambos: a) 80% b)14% c)40% d)60% e)48% ) Se um conjunto A possui 104 subconjuntos, então o cardinal de A é igual a: a) 5 b) 6 c) 7 d) 9 e)10 3) Após um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y. Sabe-se que das 10 pessoas presentes, 5 comeram a sobremesa X, 7 comeram a sobremesa Y e 3 comeram as duas. Quantas não comeram nenhuma das sobremesas? a) 1 b) c) 3 d) 4 e) 0 4) Dados os conjuntos A, B e, tais que: n(b ) = 0 ; n(a B) = 5 ; n(a ) = 4 ; n(a B ) = 1; n(a B ) = Nestas condições, o númer o de elementos de A - ( B ) é igual a: a)0 b)1 c)4 d)9 e)1 5) Sejam A, B e conjuntos finitos. O número de elementos de A B é 30, o número de elementos de A é 0 e o número de elementos de A B é 15. ntão o número de elementos de A (B ) é: a) 35 b)1 5 c) 50 d) 45 e) 0 6) Sendo a e b reais quai squer, os números possíveis de elementos do conjunto A = {a, b, {a}, {b}, {a,b}} são: a) ou 5 b)3 ou 6 c)1 ou 5 d) ou 6 e)4 ou 5 7) Depois de n dias de férias, um estudante observa que: a) choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde; b) quando chove de manhã não chove à tarde; c) houve 5 tardes sem chuva; d) houve 6 manhãs sem chuva. Podemos afirmar então que n é igual a: a)7 b)8 c)9 d)10 e)11 8) 5 pessoas discutem a preferência por dois produtos A e B, entre outros e conclui-se que o número de pessoas que gostavam de B era: I - O quádruplo do número de pessoas que gostavam de A e B; II - O dobro do número de pessoas que gostavam de A; III - A metade do número de pessoas que não gostavam de A nem de B. Nestas condições, o número de pessoas que não gostavam dos dois produtos é igual a: a)48 b)35 c)36 d)47 e)37 9) 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram Manaus; 16, S. Paulo e 11, Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador e, desses 5, 3 visitaram também São Paulo. O número de estudantes que visitaram Manaus ou São Paulo foi: a) 9 b) 4 c) 11 d) 8 e) 5 10) Três números ímpares e consecutivos, cujo produto é igual a 7 vezes a sua soma, se somados, resulta: a)1 b)13 c)14 d)15 e)16 11) Para se avaliar uma prova com 15 questões, estabeleceu-se que, para cada questão certa, ganha-se 4 pontos e que, para cada questão errada, perde-se 3 pontos. onsiderando-se os erros cometidos, um aluno que, nesta prova, obteve 11 pontos, acertou: a)7 b)8 c)9 d)11 e)1

6 Tópico: Par Ordenado e Produto artesiano 6 1) Dados os conjuntos: A = { 1,,3,4}, B = {,4,6,8}, = { 3,4,5,6} a) A B A b) ( A B) c) ( A B), e B e A ( B ) A B e ( ) ) Dados os conjuntos: A { a, b, c, d}, B = { c, d, e, f }, = { d, e, f, g} a) ( A B) ( B ) e ( A ) ( A B) b) A ( B ) e ( A B) c) A ( B ) e ( A B) ( B ) = 3) Determinar X e Y de modo que sejam iguais os pares ordenados: a) ( x + y,1) e ( 3, x y) b) ( y,x + 1) e ( x 1, y + ) 4) alcular os seguintes produtos cartesianos: a) { 1 } { 1, } c) { 0,1} { 3,4} b) { 1,} { a, b, c} d) { 1,,3} { 4,5,6} 5) Dados os conjuntos: A = { a, b}, B = {,3}, = { 3,4} a) A ( B ) d) ( A B) ( A ) b) A ( B ) e) ( A B) ( A ) c) A ( B ) 6) onstruir o diagrama cartesiano de cada um dos seguintes produtos: a) { x / 1 x < 4} { x / x 3} b) { x 3 x 3} { x / 1 x / } c) (,3] [ 3, ) d) ( 3,1] (,] 7) Dado o conjunto = { 0,1} A, calcular os valores numéricos que assume o trinômio x + xy 3y para todos os pares ordenados que pertencem ao produto AxA. 8) Determinar os elementos do conjunto A, sabendo que o produto AxA tem 16 elementos e que (0, 3) e (5, 7) são dois desses elementos. 9) alcular os produtos cartesianos: a) { x /( x 1)( x 3) = 0} { x /( x )( x 3) = 0} b) { x / 0 x 1} { x / 0 x 1} c) { x / x } { y / 1< y 3} 10) Dados os conjuntos A = {1} e B = {, 3}, determinar os elementos de P(AxB) e de AxP(AxB) 11) Dados os conjuntos A = {a, b, c} e B = {b, c, d, e} construir o diagrama sagital do produto A B. 1) Dados os conjuntos A = {a, b, c, d} e B = {b, d, e}, achar todos os conjuntos X tais que X A e X B.