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1 1. (Ita 2017) Sejam A e B dois conjuntos com 3 e 5 elementos, respectivamente. Quantas funções sobrejetivas f : B A existem? 2. (Ita 2017) Sejam A {1, 2, 3, 4, 5} e B { 1, 2, 3, 4, 5}. Se C {xy : x A e y B}, então o número de elementos de C é a) 10. b) 11. c) 12. d) 13. e) (Ita 2017) Sejam X e Y dois conjuntos finitos com X Y e X Y. Considere as seguintes afirmações: I. Existe uma bijeção f : X Y. II. Existe uma função injetora g: Y X. III. O número de funções injetoras f : X Y é igual ao número de funções sobrejetoras g: Y X. É (são) verdadeira(s) a) nenhuma delas. b) apenas I. c) apenas III. d) apenas I e II. e) todas. 4. (Ita 2013) Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto universo U. Das afirmações: I. A \ (B C) (A \ B) (A \ C); II. C (A C) \ B A B C; III. (A \ B) (B \ C) (A \ B) \ C, é(são) verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas II. c) apenas I e II. d) apenas I e III. e) todas. TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 4 QUESTÕES: Notações : Conjunto dos números naturais; : Conjunto dos números reais; : Conjunto dos números reais não negativos; i: unidade imaginária; i 2 1; P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A; n(a) : número de elementos do conjunto finito A; AB : segmento de reta unindo os pontos A e B; arg z : argumento do número complexo z; a,b x : a x b A \ B x : x A e x B Página 1 de 14

2 c A : complementar do conjunto A; n k 2 n akx a0 a1x a2 x... anx,n. k0 Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares. 5. (Ita 2012) Sejam A e B dois conjuntos disjuntos, ambos finitos e não vazios, tais que n (P(A) P(B)) 1 n (P(A B)). Então, a diferença n(a) n(b) pode assumir a) um único valor. b) apenas dois valores distintos. c) apenas três valores distintos. d) apenas quatro valores distintos. e) mais do que quatro valores distintos. 6. (Ita 2012) Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto universo U. Das afirmações: c C I. (A \ B ) \ C A (B C); c C C II. (A \ B ) \ C A (B C ) ; c C C III. B C (B C), é (são) sempre verdadeira(s) apenas a) I. b) II. c) III. d) I e III. e) II e III. 7. (Ita 2012) Dos n alunos de um colégio, cada um estuda pelo menos uma das três matérias: Matemática, Física e Química. Sabe-se que 48% dos alunos estudam Matemática, 32% estudam Química e 36% estudam Física. Sabe-se, ainda, que 8% dos alunos estudam apenas Física e Matemática, enquanto 4% estudam todas as três matérias. Os alunos que estudam apenas Química e Física mais aqueles que estudam apenas Matemática e Química totalizam 63 estudantes. Determine n. 8. (Ita 2012) Sejam r 1, r 2 e r 3 números reais tais que r 1 r 2 e r 1 r 2 r 3 são racionais. Das afirmações: I. Se r 1 é racional ou r 2 é racional, então r 3 é racional; II. Se r 3 é racional, então r 1 r 2 é racional; III. Se r 3 é racional, então r 1 e 2 a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas I e II. e) I, II e III. r são racionais, é (são) sempre verdadeira(s) 9. (Ita 2011) Sejam A e B conjuntos finitos e não vazios tais que A B e n {C : C B \ A} 128. Então, das afirmações abaixo: I) n(b) n(a) é único; II) n(b) + n(a) 128; III) a dupla ordenada (n(a), n( B)) é única; É(são) verdadeira(s) Página 2 de 14

3 a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas I e II. e) nenhuma. 10. (Ita 2011) Analise a existência de conjuntos A e B, ambos não vazios, tais que (A\B) (B\A) = A. 11. (Ita 2010) Considere as afirmações a seguir relativas a conjuntos A, B e C quaisquer: I. A negação de x A B é: x A ou x B. II. A (B C) = (A B) (A C). III. (A\B) (B\A) = (A B)\(A B). Destas, é (são) falsa(s) a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas I e III. e) nenhuma. 12. (Ita 2010) Sejam A, B e C conjuntos tais que C B, n(b\c) = 3n(B I C) = 6n(A I B), n(a U B) = 22 e (n(c), n(a), n(b)) e uma progressão geométrica de razão r > 0. a) Determine n(c). b) Determine n(p(b\c)). 13. (Ita 2008) Sejam X, Y, Z, W subconjuntos de N tais que (X - Y) Z = {1, 2, 3, 4}, Y = {5, 6}, Z Y =, W (X - Z) = {7, 8}, X W Z = {2, 4}. Então o conjunto [X (Z W)] - [W (Y Z)] é igual a a) {1, 2, 3, 4, 5} b) {1, 2, 3, 4, 7} c) {1, 3, 7, 8} d) {1, 3} e) {7, 8} 14. (Ita 2007) Determine o conjunto C, sendo A, B e C conjuntos de números reais tais que A B C = {x IR: x 2 + x 2}, A B = {x IR: 8 - x x x > 0}, A C = {x IR: log (x + 4) 0} e B C = {x IR: 0 2x + 7 < 2}. 15. (Ita 2006) Seja U um conjunto não vazio com n elementos, n 1. Seja S um subconjunto de P(U) com a seguinte propriedade: Se A, B S, então A B ou B A. Então, o número máximo de elementos que S pode ter é a) 2 n-1 b) n/2, se n for par, e (n + 1)/2 se n for ímpar c) n + 1 d) 2 n - 1 e) 2 n (Ita 2006) Considere A um conjunto não vazio com um número finito de elementos. Página 3 de 14

4 Dizemos que F = {A 1,..., Am} P(A) é uma partição de A se as seguintes condições são satisfeitas: I. A i, i = 1,..., m II. A i A j =, se i j, para i, j = 1,..., m III. A = A 1 A 2... Am Dizemos ainda que F é uma partição de ordem k se n(a i ) = k, i = 1,..., m. Supondo que n(a) = 8, determine: a) As ordens possíveis para uma partição de A. b) O número de partições de A que têm ordem (Ita 2006) Sejam A e B subconjuntos finitos de um mesmo conjunto X, tais que n(b - A), n(a - B) e n(a B) formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão r > 0. Sabendo que n(b - A) = 4 e n(a B) + r = 64, então, n(a - B) é igual a a) 12 b) 17 c) 20 d) 22 e) (Ita 2005) Considere os conjuntos S = {0, 2, 4, 6}, T = {1, 3, 5} e U = {0,1} e as afirmações: I - {0} S e S U. II - {2} (S - U) e S T U = {0, 1}. III - Existe uma função f: S T injetiva. IV - Nenhuma função g: T S é sobrejetiva. Então, é(são) verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas IV. c) apenas I e IV. d) apenas II e III. e) apenas III e IV. 19. (Ita 2004) Seja A um conjunto não-vazio. a) Se n(a) = x, calcule n(p(a)) em termos de x. b) Denotando P 1 (A) = P(A) e P t+1 (A) = P(P t (A)), para todo número natural t 1, determine o menor t, tal que n(p t (A)) 65000, sabendo que n(a) = (Ita 2004) Considere as seguintes afirmações sobre o conjunto U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}: I. U e n(u) = 10. II. U e n(u) = 10. III. 5 U e {5} U. IV. {0,1,2,5} {5} = 5. Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s) a) apenas I e III. Página 4 de 14

5 b) apenas II e IV. c) apenas II e III. d) apenas IV. e) todas as afirmações. 21. (Ita 2004) Seja o conjunto S = {r Q: r 0 e r 2 2}, sobre o qual são feitas as seguintes afirmações: I. 5 4 S e 7 5 S. II. {x IR: 0 x 2 } S =. III. 2 S. Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s) apenas a) I e II b) I e III c) II e III d) I e) II 22. (Ita 2003) Sejam U um conjunto não-vazio e A U, B U. Usando apenas as definições de igualdade, reunião, intersecção e complementar, prove que: I. Se A B =, então B Ac. II. B / Ac = B A. 23. (Ita 2002) Sejam A um conjunto com 8 elementos e B um conjunto tal que A B contenha 12 elementos. Então, o número de elementos de P(B - A) P( ) é igual a a) 8. b) 16. c) 20. d) 17. e) (Ita 2002) Considere as seguintes afirmações sobre números reais positivos: I. Se x > 4 e y < 2, então x 2-2y > 12. II. Se x > 4 ou y < 2, então x 2-2y > 12. III. Se x 2 < 1 e y 2 > 2, então x 2-2y < 0. Então, destas é (são) verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas I e II. c) apenas II e III. d) apenas I e III. e) todas. 25. (Ita 2000) Denotemos por n(x) o número de elementos de um conjunto finito X. Sejam A, B e C conjuntos tais que n(a B) = 8, n(a C) = 9, n(b C) = 10, n(a B C) = 11 e n(a B C) = 2. Então, n(a) + n(b) + n(c) é igual a a) 11. b) 14. c) 15. d) 18. e) 25. Página 5 de 14

6 26. (Ita 1999) Sejam E, F, G e H subconjuntos não vazios de IR. Considere as afirmações: I - Se (E G) (F H), então E F e G H. II - Se (E G) (F H), então (E G) (F H)=F H. III - Se (E G) (F H)=F H, então (E G) (F H). Então: a) Apenas a afirmação (I) é verdadeira. b) Apenas a afirmação (II) é verdadeira. c) Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras. d) Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras. e) Todas as afirmações são verdadeiras. 27. (Ita 1996) Sejam A e B subconjuntos não vazios de R, e considere as seguintes afirmações: (I) (A - B) x (B A x ) x = (II) (A - B x ) x = B - A x (III) [(A x - B) (B - A)] x = A Sobre essas afirmações podemos garantir que: a) apenas a afirmação (I) é verdadeira. b) apenas a afirmação (II) é verdadeira. c) apenas a afirmação (III) é verdadeira. d) todas as afirmações são verdadeiras. e) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras. Nota: C x denota o complementar de C em R. 28. (Ita 1995) Seja A = {(-1) n / n! + sen(n! ð/6); n N}. Qual conjunto a seguir é tal que sua intersecção com A dá o próprio A? a) (-, -2] [2, ) b) (-,-2] c) [-2, 2] d) [-2, 0] e) [0, 2) Página 6 de 14

7 Gabarito: Resposta da questão 1: Calculando: 5 nº funções A1 funções em que a1im f A2 funções em que a2 Im f A3 funções em que a3 Im f nº funções sobrejetivas 243 na1 A2 A n A n A n A 2 32 n A A n A A n A A 1 n A A A 0 n A1 A2 A nº funções sobrejetivas Resposta da questão 2: [E] Fazendo as multiplicações pertinentes entre x e y e desconsiderando os elementos repetidos, conclui-se que o número de elementos em C é 14. Resposta da questão 3: [A] Considerando os conjuntos X 1 e Y 1, 2 que satisfazem as condições do enunciado (conjuntos finitos com X Y e X Y), pode-se analisar as afirmações: [I] FALSO. Não existe bijeção f : X Y. [II] FALSO. Não existe função injetora g: Y X. [III] FALSO. O número de funções injetoras f : X Y não é igual ao número de funções sobrejetoras g: Y X. Resposta da questão 4: [C] I. Verdadeira. De fato, seja x um elemento de A (B C), isto é, Página 7 de 14

8 x A (B C) x A x (B C) Portanto, x A (x B x C) (x A x B) (x A x C) x (A B) (A C). A (B C) (A B) (A C). II. Verdadeira. Seja x um elemento de (A C) B, ou seja, x (A C) B (x A x C) x B x A x B x C C x A B C. Por conseguinte, C (A C) B A B C. III. Falsa. Sejam A {k}, B e C. Logo, (A B) (B C), (A B) C {k} e, portanto, (A B) (B C) (A B) C. Resposta da questão 5: [A] n(a) n(b) n(a) n(b) n(a) n(b) n(a) n(b) n(a) n(b) 1 Portanto, n(a) - n(b) = 0 Resposta da questão 6: [C] A afirmação I é falsa, pois (A\B c )\C c (A B)\C c (A B) C A afirmação II é falsa, pois (A\B c )\C (A B) C c A afirmação III é verdadeira, pois é uma das leis de Morgan. Resposta da questão 7: A questão não possui solução. Observe a seguir: n é o número de alunos do colégio. Porcentagem dos alunos que estudam Matemática: 48% Porcentagem dos alunos que estudam Química: 32% Porcentagem dos alunos que estudam Física: 36% Porcentagem dos alunos que estudam as 3 disciplinas: 4% Porcentagem dos alunos que estudam apenas Matemática e Química: x% Porcentagem dos alunos que estudam apenas Física e Química: y% De acordo com as informações acima podemos construir os seguintes diagramas: Página 8 de 14

9 Como cada aluno estuda pelo menos uma das três matérias, temos: x y x y x y x y x y 0 Ou seja, 0% de n = 63 (a questão proposta não possui solução). Resposta da questão 8: [E] Afirmação I (Verdadeira) r1 Q e r1 r2 Q, concluímos r 2 Q, sabendo também que r 1 r 2 r 3 Q concluímos que r 3 Q. r2 Q e r1 r2 Q, concluímos que r 1 Q, sabendo também que r 1 r 2 r 3 Q concluímos que r 3 Q. Afirmação II (Verdadeira) r3 Q e r1 r2 r3 Q, concluímos que r 1 r 2 Q. Afirmação III (Verdadeira) r3 Q e r1 r2 r3 Q, concluímos que r 1 r 2 Q, sabendo que r 1 r 2 Q temos 2r1 Q, ou seja, r 1 Q e r 2 Q. Resposta da questão 9: [A] 2 n(b\a) = 128 n(b\a) = 7 e como A B n(b\a) = n(b) n (A) = 7. I) verdadeiro, a diferença será sempre 7. II) Falsa, pois n(b) = 87 e n (A) = 80 contrariam a afirmação III) Falsa, temos infinitas possibilidades para n(a) e n(b), basta que n(b) n (A) = 7. Resposta da questão 10: Não existem conjuntos A e B satisfazendo as condições dadas. Página 9 de 14

10 a) (A\B) (B\A) = (AUB) (AB) (Falsa) b) (A\B) (B\A) = A U B (Falsa) c) (A\B) (B\A) = A B (Falsa) d) (A\B) (B\A) = B A (Falsa) Resposta da questão 11: [E] I (V) III (V) II (V) Resposta da questão 12: a) n(c) = x e n(b) = 4x 6.n(A B) = 3x n(a B) = x 2 n(a U B) = n(a) + n(b) n(a B) = n(a) + 4x x/2-7x =n(a) 2 Considerando a progressão geométrica, temos: Página 10 de 14

11 2 7x n(a) 2 = n(b). n(c) 22 4x. x 33 x x x = 4 ou x = 44/3(não convém) logo n( C )= 4 b) n(b) = 4.4 = 16 n(c) = 4 n(b\c) = 16 4 = 12 n(p(b\c)) = 2 12 = 4096 B C 3x x B x 2 A Resposta da questão 13: [C] Resposta da questão 14: C = {x R -4 < x < -5/2 ou x = -2 ou x 1} Resposta da questão 15: [C] Resposta da questão 16: a) 1, 2, 4 e 8 b) 105 Resposta da questão 17: [B] Resposta da questão 18: [B] Resposta da questão 19: a) n(p(a)) = 2 x b) t = 3 Resposta da questão 20: [C] Resposta da questão 21: [D] Resposta da questão 22: 1) Para A B = : ( x, x B x A) ( x, x B x A ) B A 2) x, x B / A (x B e x A ) (x B e x A) (x A B) B / A = A B Resposta da questão 23: [B] Página 11 de 14

12 Resposta da questão 24: [D] Resposta da questão 25: [D] Resposta da questão 26: [E] Resposta da questão 27: [A] Resposta da questão 28: [C] Página 12 de 14

13 Resumo das questões selecionadas nesta atividade Data de elaboração: 18/02/2018 às 11:27 Nome do arquivo: lista ita conjunto Legenda: Q/Prova = número da questão na prova Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro Q/prova Q/DB Grau/Dif. Matéria Fonte Tipo Elevada... Matemática... Ita/ Analítica Baixa... Matemática... Ita/ Múltipla escolha Elevada... Matemática... Ita/ Múltipla escolha Elevada... Matemática... Ita/ Múltipla escolha Média... Matemática... Ita/ Múltipla escolha Elevada... Matemática... Ita/ Múltipla escolha Média... Matemática... Ita/ Analítica Elevada... Matemática... Ita/ Múltipla escolha Média... Matemática... Ita/ Múltipla escolha Média... Matemática... Ita/ Analítica Média... Matemática... Ita/ Múltipla escolha Média... Matemática... Ita/ Analítica Não definida.. Matemática... Ita/ Múltipla escolha Não definida.. Matemática... Ita/ Analítica Não definida.. Matemática... Ita/ Múltipla escolha Não definida.. Matemática... Ita/ Analítica Não definida.. Matemática... Ita/ Múltipla escolha Não definida.. Matemática... Ita/ Múltipla escolha Não definida.. Matemática... Ita/ Analítica Não definida.. Matemática... Ita/ Múltipla escolha Não definida.. Matemática... Ita/ Múltipla escolha Não definida.. Matemática... Ita/ Analítica Página 13 de 14

14 Não definida.. Matemática... Ita/ Múltipla escolha Não definida.. Matemática... Ita/ Múltipla escolha Não definida.. Matemática... Ita/ Múltipla escolha Não definida.. Matemática... Ita/ Múltipla escolha Não definida.. Matemática... Ita/ Múltipla escolha Não definida.. Matemática... Ita/ Múltipla escolha Página 14 de 14