Matemática A Extensivo V. 2

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1 GRITO Matemática Extensivo V. Exercícios 0) a) Verdadeira. e são elementos de. b) Verdadeira. Pois {} é elemento de. c) Verdadeira. Pois não é elemento de. d) Verdadeira. Pois {} é um subconjunto de. e) Verdadeira. Pois {} é um subconjunto de. f) Verdadeira. Pois {{}, {}} é um subconjunto de. g) Verdadeira. Pois {, } não é subconjunto de. h) Verdadeira. Pois é elemento de. i) Verdadeira. Pois { } é subconjunto de (observação: o conjunto é subconjunto de qualquer conjunto). j) Falsa. Pois é elemento de. k) Verdadeira. Pois {} é subconjunto de. l) Falsa. Pois {} não é elemento de. m) Verdadeira. O elemento não pertence ao conjunto. n) Verdadeira. Pois {, } é subconjunto de. o) Verdadeira. Pois {{}} é subconjunto de. p) Verdadeira. Pois {,, 4} não é subconjunto de. q) Verdadeira. Pois {} não é subconjunto de. r) Verdadeira. onjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, portanto é subconjunto de. s) Verdadeira. Pois todo conjunto é subconjunto de si mesmo. t) Verdadeira. Pois 4 não é elemento de para que {4, } seja subconjunto de. 0) D 0) E 04) a) Incorreta. Pois b é elemento de M. b) Incorreta. Pois {a, b} é elemento de M. c) Incorreta. Pois a M. d) orreta. Pois {b} é elemento de M. e) Incorreta. omo a M, então {a} não é subconjunto de M. I. orreta. é elemento de. II. orreta. omo, então {} é subconjunto de. III.orreta. {} é elemento de. 0) Falsa. Pois {} {0; ; }. 0) Verdadeira. Pois o conjunto vazio está contido em qualquer conjunto, ou seja, {, 6, 7}. 0) Verdadeira. é elemento de. 04) Falso. não é elemento de. 0) Falso. Pois 7 {, 6}, ou seja, o conjunto {; 6} não contém {, 7}. 0) 9 06) 07) 0. orreta. Todos os elementos do conjunto pertencem ao conjunto. 0. Incorreta. b. 04. orreta. Todos os elementos do conjunto pertencem ao conjunto. 08. orreta. Todos os elementos do conjunto pertencem ao conjunto D. 6. orreta. Todos os elementos do conjunto pertencem ao conjunto D.. Incorreta. b, e d. n = 8 P() = n = 8 = 6 subconjuntos de. P() = subconjuntos P() = n = n n = n = Logo, o conjunto possui elementos. 08) 09) Seja o conjunto formado pelos múltiplos estritamente positivos de menores que. = {, 0,, 0,, 0, } K = 7 elementos de. P() = k P() = 7 = 8 subconjuntos omo queremos subconjuntos não vazios, então: n = 8 n = 7 subconjuntos não vazios. Seja n o número de elementos do subconjunto. Então o número de elementos do conjunto é dado por n +. Número de subconjuntos de. x = P() = n x = n Número de subconjuntos de. y = P() = n + =. n Logo, y = x, ou seja, y é o dobro de x. Matemática

2 GRITO 0) 7 Seja n o número de elementos de. P() = n subconjuntos créscimo de dois elementos de (P()) acréscimo = n + = n + 84 n + = n + 84 n + n = 84 n. n = 84 n (4 ) = 84 n. = 84 n = 84 n = 8 n = 7 n = 7 ) a) = {,, 4,, 6} b) = {, 4} c) = {} d) = {, 6} e) S = S a = {,, 6, 7} f) ) E ) 4) ) D = ( ) [( ) ( )] Temos que: ( ) U ( ) {,,, 4,, 6, 7, 8} Logo: ( ) = ( ) [( ) ( )] = {} onjunto dos divisores de 4. D = {,,, 4, 6, 8,, 4} onjunto dos múltiplos de. M = {, 6, 9,,, 8,, 4, 7,...} S = D M = {, 6,, 4} n = P() = 4 = 6 subconjuntos alternativa D é falsa, pois {}, mas {}. Logo,. 6) 64 Seja S = ( ) ( ). Temos: = {a, b} = {e, i, j, k} Logo, c = {a, b, e, i, j, k} P() = n = 6 = 64 subconjuntos. a) Incorreta. Pois {} é elemento de. b) Incorreta. Pois. Então {} não é subconjunto de. c) Incorreta. Pois {} {}.= está contido para qualquer conjunto. d) Incorreta.. e) orreta. {} {}.= {, }. 7) ( ) ( ) ( ) ( ) Matemática

3 GRITO 8) E a) Incorreta. e) orreta. 9) omo e, então. om algum elemento distinto ou =, mas D ( ), logo existe algum elemento em comum e, assim, para algum elemento distinto. b) Incorreta. D Temos ainda ( ), portanto: D 0) D c) Incorreta. a) Incorreta. ( ) d) Incorreta. b) Incorreta. ( ) ( ) Matemática

4 GRITO 0. orreta. c) Incorreta. ( ) ( ) 04. orreta. d) orreta. 08. Incorreta. ( ) ( ) e) Incorreta. 6. orreta. ( ) ( ) ) 0. Incorreta. ) Para termos o conjunto das pessoas que não são árabes nem muçulmanas, devemos tomar todas as pessoas do mundo (T) retiradas aquelas que são árabes e muçulmanas ( ). Portanto, o conjunto das pessoas que não são árabes nem muçulmanas é dado por: T ( ) 4 Matemática

5 GRITO ) E Primeiramente preenchemos (IV) no local intersecção de M e 0. M O 4) D n () = 90 n() = 0 n( ) = 0 n( ) = n() + n() n( ) n( ) = n( ) = 0 ) 99 H gora preenchemos (III) no espaço em que não há intersecção. M 4 H seguir, usaremos (I). omo temos apenas mulheres e na intersecção já existem mulheres, então sobram apenas para preencher onde não há intersecção. M 4 H Por fim, usaremos (II). omo das pessoas que usam óculos são mulheres, então homens usam óculos. M 4 O O O 6) D n( ) = 4 n( ) = 49 n() = n() + n() = n(a) Temos que: n( ) = n() + n() n( ) 4 = n() + n() 49 4 = n() = n() 98 = n() n() = 98 n = 99 P() = = 4 P() = = 4 Note que se unirmos P() e P() contaremos o conjunto vazio duas vezes, pois pertence aos conjuntos e. Logo, P() P() = = 7 7) 0. orreta. n( ) = n() n( ) n( ) = 0 8 n( ) = 0. orreta. n() = n( ) + n( ) n() = + 8 n() = 04. orreta. n( ) = n() + n() n( ) n( ) = n( ) = 4 8 n( ) = 08. orreta. n( ) n( ) = 8 = 7 6. Incorreta. n( ) = n() + n() = = 0 + = 4 H Portanto, pessoas estavam no local do crime; pessoas sem óculos e 7 com óculos. Matemática

6 GRITO 8) 9) D Observe que: n( ) = n() + n() n( ) n( ) = n() + n() n( ) n( ) = n() + n() 8 De forma análoga, encontramos: ( ) n( ) = n() + n() n( ) n( ) = n() + n() 0 Queremos o número de elementos da área hachurada da figura acima. omeçamos a preencher o diagrama que vem a partir de n ( ). n( ) = n() + n() n( ) n( ) = n() + n() 9 Temos: n( ) = n() + n() + n() n( ) n( ) n( ) + n( ) n( ) = n() + n() + n() [n() + n() 8] [n() + n() 9] [n() n() 0] + omo n( ) = 0, então Finalmente, n( ) = 0, então n( ) = n() + n() + n() n() n() + 8 n() n() + 9 n() n() n( ) = n() n() n() + 9 = n() n() n() + 9 (. ) = n() + n() + n() = n() + n() + n() n() + n() + n() = 8 0) a) 8 b) c) d) 4 Primeiramente montaremos o diagrama de Venn satisfazendo às condições de resultado da pesquisa. omeçamos preenchendo sempre o caso que envolve do maior número de informações para o menor. 0 trabalham nos programas. Sem perda de generalidade, escolhemos: Portanto, n( ( ) = + + =. 6 Matemática

7 GRITO 70 assistem aos programas e. omo na intersecção já há 0 que assistem aos três, então o número dos que assistem aos programas e é 70 0 = 0 pessoas Finalmente, preenchemos somente os que assistem aos programas, e. ssistem somente ao programa = 00 ssistem somente ao programa = ssistem somente ao programa = 60 Segue o diagrama de Venn: Vamos nos preocupar em preencher os casos que compram exatamente dois produtos, sem perda de generalidade; começamos pelas pessoas que usam somente os produtos e = De forma análoga, encontramos o número de pessoas que usam somente os produtos e e os produtos e Pessoas que usam somente o produto = 00 Pessoas que usam somente o produto = 4 Pessoas que usam somente o produto = 0 a) Número de pessoas entrevistadas (n T ). n T = = 8 b) Número de pessoas que assistem somente ao programa. (n ). n = c) Número de pessoas que assistem aos dois programas (n ). n = = d) Número de pessoas que não assistem ao programa (n ). n = = 4 ompletando o diagrama, temos: N ) D Para construir o diagrama de Venn, começamos a partir do caso que contenha o maior número de informações. 0 Portanto, o total de pessoas entrevistadas é: = 60 Matemática 7

8 GRITO ) L R ) D O total de crianças vacinadas é 98 = 86. omo 60 receberão a vacina Sabin e a vacina contra o sarampo, o total é de 60 + = 9 vacinações. O número de crianças com exatamente duas vacinações é dado 9 86 = 6. Segue que 96 6 = 80 crianças vacinadas. Portanto, o número de crianças que não recebem exatamente duas vacinas é igual a: 80 + = 9 crianças Seja l: livros R: revistas J: jornais omeçamos a construir o diagrama de Venn pelo dado de maior informação: o número de pessoas que leem exatamente dois meios de comunicação I. Falso. Porque = 660 alunos leem pelo menos um meio de comunicação. II. Verdadeiro. L R 00 J J Logo, temos pessoas que leem somente revistas e livros. III. Falso. Porque o número de pessoas que leem revistas ou livros é: = 0. Sem perda de generalidade, o número de pessoas que leem exatamente revista e jornal é 0 = 0. De forma análoga, obtemos o número de pessoas que leem exatamente livros e revistas e que leem livros e jornais. L R 4) D Seja F: telefonia fixa I: internet T: televisão omeçamos a construir o diagrama de Venn nas hipóteses de que 8% utilizam apenas a telefonia e outros % utilizam apenas a televisão a cabo. F I 0 0 8% não existe serviço, oferece apenas internet Temos ainda que 00 pessoas leem somente revistas, 00 pessoas leem somente livros e 0 pessoas leem somente jornal, então: J % T Para calcular a porcentagem de clientes que assinam o pacote combo, devemos proceder da seguinte maneira: omo % do total de 4% de clientes são usuários de internet, temos: 8 Matemática

9 GRITO 0,4. 0, = 0. =,% F 8% 9,68%,% % I a) Incorreta. O número de alunos que não opinaram por nenhuma das três políticas é 9. b) orreta. O número de alunos aprovados apenas em uma política pública é = 4. c) Incorreta. quantidade de alunos aprovados em mais de uma política pública é = 66. d) Incorreta. lunos aprovados em três políticas públicas são 44. e) Incorreta. 6 alunos aprovam o Enem e 0 alunos aprovam cotas. Logo, há mais alunos que aprovam o Enem do que alunos que aprovam cotas. ) Segue que o total de clientes que utilizam telefonia e internet é: 4%,% = 9,68. Logo, a porcentagem total é 00%, assim a porcentagem que utiliza os serviços de telefonia fixa e televisão simultaneamente é dada por: 00% 8%,% 9,68 % = 8% F 8% 9,68%,% 8% % Portanto, o percentual total de clientes assinantes de exatamente dois serviços oferecidos é igual a: 8% + 9,68% = 7,68%. onstruindo o diagrama de Venn segundo a tabela, temos: Lembre-se de começar a construir o diagrama do maior para o menor número de informação. T T I 6) 7) E Diagrama de Venn Lembre-se de começar a preencher o diagrama pelo dado que possui maior número de informações, no caso: pessoas que praticam simultaneamente as atividades, e I. orreto. Pessoas que se inscreveram em pelo menos dois cursos: = II. Incorreto. Pessoas que não se inscreveram no curso : = 4 III. orreto. Pessoas que se inscreveram no curso : = 48 IV. Incorreto. O total de inscritos nos cursos: = 7 0 Retirando a parte hachurada de, temos: Portanto: ( ) = Matemática 9

10 GRITO 8) e) orreta., = ( ) 9) E Para resolver o exercício, devemos considerar e conjuntos distintos. ( ) = ( ) ( ) = ( ) = a) Incorreta., = = 0 ) Incorreta. ( ) ( ) b) Incorreta., = Portanto: ( ) ( ) 0. Incorreta. Observe o diagrama de Venn abaixo: ( ) c) Incorreta., = Portanto, 04. orreta. Observe: Se retirarmos os elementos do conjunto de, obteremos o próprio conjunto. Portanto, =. 08. orreta. d) Incorreta., = = ( ) ( ) 0 Matemática

11 GRITO Por outro lado, 4) ( ) Q N = R é falso, pois Q N = Q e Q R. 44) 0 0. orreta. Porque pode ser escrito da forma p q. ( ) Portanto, ( ) = ( ) 6. orreta. Portanto: ( ) ( ). orreta. ( ) Observe no diagrama de Venn que possui nenhum elemento em comum, ou seja, ( ) =. 4) a) 0; 4; 0 b) 0; 4; 6; 0 ; 4; 6 c) 0; 4; 6; 0 ; 4; 6;,8; 0,...;, ) D d) π; 7 e) Todos a) {0,,,, 4, } b) {0,,,, 4, } c) { 8, 4,,,,, 4, 8} d) {..., 9, 6,, 0,, 6, 9...} e) {, } De fato, 0,... = Incorreta. Seja a= ( R Q), elevando-se ao quadrado ambos os lados. a = ( ) a = (R Q) 04. orreta. De fato, sejam a = e b = a. b =. = 4 = Q 08. Incorreta. aso contrário Q, o que implicaria Q (R Q). O que é absurdo, pois Q (R Q) =. 6. Incorreta. Temos a equação x + 4 = 0 e como solução: x' = x" = Logo, x' e x" não pertencem aos conjuntos R e (R Q). 4) 0 I. Incorreta. π =,4... (R Q) II. Incorreta. Suponha que exista. Sejam p e q racionais não nulos. p q = 46) D onsidere o valor positivo sem perda de generalidade. p q = Portanto, concluímos que um racional é igual a um irracional. bsurdo, pois Q (R Q) =. a) Incorreto. Tome a = b =. a. b =. = 4 = Q b) Incorreto. Seja a = b (R Q) a + ( b) = a + ( a) = a a = 0 Q c) Incorreto. < 0 < < 4 Portanto, existe pelo menos dois irracionais entre e 4. d) orreto. Sejam a, b Q. Sem perda de generalidade suponha a < b. a b < 0 (somando a em ambos os lados) a b < a a < a + b Matemática

12 GRITO 47) a < a+ b Por outro lado, a < b 0 < b a (somando b em ambos os lados) b < b a a + b < b a+ b < b Logo: a < a+ b < b omo a+ b Q, então existe pelo menos um racional entre dois racionais. e) Incorreto. Tome a = e b = 0 Então, a b = (0) = + 0 = > 0 Seja x o valor procurado 64.x= 8 4 x= =. x= ) E 49) 0,99... = ,... = 9 0,... = 9 0,... = 9 9 0, ,... = , , = = ,66... = = Logo, p = 48 e q = = ) 0 ) E Errata: para resolver o item 6, deve-se considerar em vez de. 0. Incorreta. Seja a = e b = a b = = = = b a Logo, a b b a Portanto, não é comutativa. 0. Incorreta. = 0, orreta. Seja a um número real menor que zero. Pela definição do valor absoluto de um número negativo é a, ou seja, o oposto dele. 6. Incorreta. Temos que 47 =. Logo, 47 não é 9 primo.. orreta. 7 =. = = 0 Q a) Falsa. Tome x = 0 e y = x. y = 0. = 0 Q b) Falsa. Tome y = y. y =. = 4 = Q c) Falsa. Tome x = 0 e y = x + y = 0 + y = = y = (R Q) d) Falsa. Tome x = e y = + x y = + = Q e) Verdadeira. Suponha que seja racional. Então podemos escrever da forma p tal que p, q Z com q 0. q x + y = p q q. x + q. y = p. q. y = p q. x omo p Z e q. x Q, então (p qx) Q (Q é fechado na adição). bsurdo, pois temos um racional igual irracional. Portanto, x + y é irracional. Portanto, p q = = 9 Matemática

13 GRITO ) ) Temos que: x< y y< y < 0 () i () ii Multiplicando membro ((i) e (ii)), temos: x.( y ) < y.0 xy x < 0 xy < 0 Temos ainda, 0 < x ( iii) 0 < y ( iv) Multiplicando membro a membro ((iii) e (iv)), temos: 0 < x. y Logo, 0 < x. y < x a) Incorreta. Tome x = x = ( ) = 4 = = = x. b) Incorreta. Pois pela definição de módulo x 0, x R. c) orreta. Sejam a, b R, tal que a e b possuem mesmo sinal. Se a, b 0 a + b a + b (desigualdade triângulo) omo a e b mesmo sinal, vale a igualdade. Portanto, a + b = a + b Se a, b < 0 a b = (a + b) =. a + b = a + b a b = a + b 4) 08 d) Incorreta. Tome a = e b = a + b = = 0 e) Incorreta. Tome x =. x = = = x 0. Incorreta.. ( ) = Uma parcela (dívida) de R$,00 que foi paga (passado) vezes, resultou um valor pago de R$, Incorreta. Falta o conjunto dos números irracionais. 04. Incorreta. existência do inverso multiplicativo já é garantido no conjunto dos números racionais. ) E 6) E 7) 8) 08. orreta. Sejam x: idade do filho y: idade do pai z: idade do avô No dia do nascimento do filho a soma das idades do pai e do avô é: y + z = 7 No último aniversário, a idade do pai é x + y e do avô é x + y, então a soma das idades do filho, pai e avô é: x + x + y + x + z = 90 x + y + z = 90 x + 7 = 90 x = 90 7 x = x = x = anos 6. Incorreta. Por exemplo, em cálculo de volume que é muito comum. I. Verdade. x + 4 = 0 x = 4 x' = 4 ou x" = 4 x' = i ou x" = i Logo, x' e x" pertencem ao conjunto dos números complexos. II. Verdade. x 4 = 0 x' = 4 ou x" = 4 x' = ou x" = Logo, x' e x" pertencem ao conjunto dos números racionais. III. Verdade. 0,x = 0, x = 0, x = 0, Logo, x pertence ao conjunto dos números racionais. Portanto, II e III são números racionais. O número que procuramos é N = 49. De fato, x = 4. 9 = 6 y = = N = x + y = 6 + = 49 Substituindo c = a b em a + b + c, temos: a + b + c = a + b + a b = a Tome a = e b = a. b =. =. = 6 = 6 Q. Matemática

14 GRITO 9) 06 Temos: = {, } = {,, 4} 0. Incorreta. Pois e. 0. orreta. = {,,, 4}. 04. orreta. = {}. 08. Incorreta., pois. 6. Incorreta. Pois os elementos de = {,, 4}. b) ) = {..., 6, 4,, 0,, 4, 6,...} = {...,,,,,,,...} Logo = ] 4, ] [, ]. 64) a) = {x R/0 x } b) = {x R/ < x < } 6) I. Incorreta. = {0} II. orreta. asta observar os elementos do conjunto. III. orreta. = {...,, 4,,,, 0,,,, 4,,...} Portanto, = Z a) 0 I. Falsa. Pois U. II. Verdadeira. O conjunto em qualquer conjunto e para encontrar n(u) basta contar o número de elementos de U. Portanto, U e n(u) = 0. III. Verdadeira. b) 0 e { } elemento conjunto IV. Falsa. Pois {0,,, } {} = {}. 4 6) D [a; b] simboliza um intervalo real fechado nos dois extremos, isto é, inclui a e b. Logo, [a; b] = {x R/a x b}. 6) a) = {x R/0 < x < } b) = {x R/ 4 < x ou x } a) 0 6) a) ]0, ] b) [, 7] Logo, = ], [ M = ]0, [ S = ], 7[ a) M Logo, = ]0, [ 0 Logo, M = ]0, ] 4 Matemática

15 GRITO b) S M M 0 S 7 S M 7 Logo, S M = ]0, 7[. 66) [; ] [7; 0] 7 0 ( ) ( ) Portanto ( ) ( ) = = [, [ ] ]7, 0] ) 68) Verifica-se que todo elemento de {, 4} também é elemento de [, 4]; logo, {, 4} [, 4]. Logo, = [, [ e a b = R Matemática

16 GRITO 0. orreto. Pois = [, [. 0. Incorreto. Pois 6, então {, 6}. 04. orreto. = ], ] 08. orreto. Pois é um intervalo fechado em três até o infinito positivo. 6. Incorreto. = R 08. Verdadeiro. R = R, pois R. 69) = ], + [; =], [ [, [; =[, [ 0. Verdadeiro. o que está em e não está em : R = [, [ 6. Falso. Representação na reta real: = 0. Verdadeiro. Representação na reta real: 70) = [, ) Se x não pertence ao intervalo aberto de extremos e, então x pertence ao complementar desse conjunto, cuja representação aparece abaixo: segunda representação provém do fato de que x < 0 ou x >. Fazendo a intersecção entre os dois intervalos, temos o intervalo: Logo, ( ) = = [, [ [, [. 04. Falso. Representação na reta real: oncluímos então que x ou x >. 7) a) 700 b) 000 Sejam U: conjunto dos candidatos que realizaram a prova. : conjunto dos candidatos que obtiveram nota inferior ou igual a 4,0. : conjunto dos candidatos que obtiveram nota inferior ou igual a 6,0. = R [, [ Logo, U = 000, = 00 e = Matemática

17 GRITO a) U = = 700 candidatos. b) omo o número de candidatos que obtiveram notas maiores ou iguais a 4,0 é 00, então o número de candidatos que obtiveram nota inferior a 4,0 é dado por = 700 candidatos. Para obter o número de candidatos que obtiveram notas maiores 6,0 procedemos com o raciocínio análogo acima, = ) 4 Faremos a intersecção de com : ( ) = [, 0) Nota 4,0 6,0 omo o total de candidatos é 000, então o número de candidatos que obtiveram notas entre 4,0 e 6,0 é dado por: = 000. = ], 4[ = ] 4, [ 0. orreta. Logo,. 4 7) 7) 74) D O conjunto toma apenas os elementos inteiros compreendidos entre e 7 (este inclusive) e que ao mesmo tempo são naturais e ímpares. = {,, 7, 9,,,, 7} Por outro lado, = [9, 8] ( ) elementos que pertencem a e não pertencem a. ( ) = {,, 7} soma dos elementos: =. = {,,, 7, 9,,,...} = {, 0,,,, 4, 6, 7, 8, 9} = [, 00) = {,,, 7, 9} O elemento que pertence e não pertence a c é: ( ) = {, } Portanto, o produto dos elementos de ( ) é dado por:. = Representando geometricamente os intervalos e : 0. orreta. 6 = 6 = 0, , Logo, Incorreta. 0 =. 08. Incorreta. 7 =,.... 4,... Logo, Incorreta.,. 0 = 0,00 4 0,00... Logo,,. 0.. orreta. 4 4 Logo, = ], [ = {x R/ < x < }. Matemática 7

18 GRITO 64. Incorreta Logo, = ] 4, 4[ = {x R/ 4 < x < 4}. 76) /8 /8 /4 Segue, /8 /8 / ( ) /8 / Logo, ( ) = x R/ x< 8. 8 Matemática