AULA 02 NÚMEROS INTEIROS PROBABILIDADES RACIONAIS. REAIS Números Inteiros e Racionais. Principais Conjuntos Numéricos. Uma breve história NÚMEROS

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1 INTEIROS PROBABILIDADES RACIONAIS Professora Rosana REAIS Relva Números Inteiros e Racionais rrelva@globo.com AULA 0 Uma breve história e administrar os seus bens de forma a não ser enganado. O homem sempre teve a necessidade de se organizar O surgimento dos sistemas de numeração: babilônios, egípcios e maias MAIAS Há um agrupamento de cinco em cinco Já os egípcios... Principais Conjuntos Numéricos IN = Números Naturais N = { 0,,,,... } agrupavam de dez em dez 5 6

2 F OPERAÇÕES SOMAR...SUBTRAIR...??? MULTIPLICAR...???? 6 X 0 = 0 DIVIDIR...????? 0 : 6 = 6 : 0 = FCC - Ao se dividir o número 76 por um número inteiro de dois algarismos, Natanael enganou-se e inverteu a ordem dos dois algarismos. Assim, como resultado, obteve o quociente e o resto. Se não tivesse se enganado e efetuasse corretamente a divisão, o quociente e o resto que ele obteria seriam, respectivamente, iguais a 7 8 a) e b) 8 e c) 0 e d) e 5 e) e REGRA DA DIVISÃO D = d.q + r Vamos supor que NATANAEL dividiu 76 por xy mas como ele se enganou, acabou dividindo por yx Logo D = 76 d = yx q = r = 0 TEREMOS D = d. q + r 76 = yx. + yx = 76 yx = 7 yx = 7/ yx = 57 Como Natanel trocou Deveria ter dividido por 75 e não 57 Vamos a divisão correta

3 Vamos então fazer a divisão a) e b) 8 e c) 0 e d) e 5 e) e CORREÇÃO a) e b) 8 e c) 0 e d) e 5 e) e C PROVA 0X75 = 760 RESTO = ENADE QUESTÃO ENADE FCC - As ex-alunas de uma turma que completou o curso de Ciências Contábeis há 0 anos se encontraram em uma reunião comemorativa. Várias delas haviam se casado e tido filhos. A distribuição das mulheres, de acordo com a quantidade de filhos, é mostrada no gráfico abaixo. 5 6 ENADE Um prêmio foi sorteado entre todos os filhos dessas ex-alunas. A probabilidade de que a criança premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é A) /. B) /. C) 7/5. D) 7/. E) 7/5. 7 ENADE TABELAS E GRÁFICOS Total de filhos = 5 Filhos únicos = 7. = 7 Probabilidade = 7/5 8 E

4 TRE- O produto de um número natural pela sua quarta parte é igual a 5. Qual é esse número? a) 0 b) 0 c) 0 d) 50 e) 00 COMO NÃO CONHEÇO O NÚMERO CHAMAREI DE X E SUA QUARTA PARTE DE X ENTÃO TEREMOS 0 X X. X X X 5 00 X COMO X É NATURAL ENTÃO X = 0 A CESGRANRIO,, e são quatro números naturais e consecutivos. 56,57,58 e 5, também. Se você pegar quatro números naturais consecutivos quaisquer, então a soma desses quatro números é sempre: a) Um número ímpar b) Menor do que quatro vezes o menor deles c) Maior do que três vezes o maior deles d) Um número par e) Igual a três vezes o maior deles SEJAM QUATRO CONSECUTIVOS: X, X+, X+ E X+ A SOMA SERÁ: X + X + + X + + X + = X + 6 LOGO QUALQUER QUE SEJA O VALOR DE X QUE MULTIPLICADO POR E SOMADO COM 6 ( X + 6) SEMPRE DARÁ UM NÚMERO PAR D

5 ENADE QUESTÃO 05 No retângulo abaixo, cada um dos quatro símbolos diferentes representa um número natural. Os números indicados fora do retângulo representam as respectivas somas dos símbolos na linha e nas colunas e : ENADE Conclui-se das informações que o símbolo X representa o número A) B) 5 C) 7 D) 8 E) 5 6 ENADE ENADE = = =7 + = + = 7 A 7 8 ( FCC)Uma senhora tinha entre trinta e quarenta ações de uma empresa para dividir igualmente entre todos os seus netos. Num ano, quando tinha netos, se a partilha fosse feita, deixaria ação sobrando. No ano seguinte, nasceu mais um neto e, ao dividir igualmente entre os quatro netos o mesmo número de ações, ela observou que sobrariam ações. Nesta última situação, quantas ações receberá cada neto? a) 6 b) 7 c) 8 d) e) 0 COMO TEM ENTRE 0 E 0 AÇÕES ESTE NÚMERO SÓ PODE SER,,,,5,6,7,8 OU QUANDO DIVIDIDO POR RESTA E QUANDO DIVIDIDO POR RESTA LOGO 0 5

6 VERIFICAR QUAIS DEIXARAM ESTES RESTO DIVIDIDOS POR COM RESTO SÃO,, 7 DIVIDIDOS POR COM RESTO SÃO, 5, LOGO O NÚMERO SATISFAZ CADA NETO RECEBERÁ DIVIDIDO POR = 7 AÇÕES B TRT- A figura indica um quadrado de linhas e colunas contendo três símbolos diferentes: Sabe-se que: - cada símbolo representa um número - a soma dos correspondentes números representados na ª linha é 6 -a soma dos correspondentes números representados na ª coluna é 8 -a soma de todos os correspondentes números no quadrado é Nas condições dadas, o valor numérico do símbolo é: a) 8 b) 6 c) 5 d) e) a soma dos correspondentes números representados na ª linha é 6 Temos + = 6 a soma dos correspondentes números representados na ª coluna é 8 = 8 Logo cada vale

7 Voltando a equação + = 6 Substituindo por 6 teremos + 6 = 6 = 6-6 = 0 = 0 / = a soma de todos os correspondentes números no quadrado é O total de figuras é + + = = = = = 5 8 = 6 = 6 / 0 LOGO CADA VALE E FCC No almoxarifado de certa empresa há 68 pacotes de papel sulfite, dispostos em prateleiras. Se as quantidades de pacotes em cada prateleira corresponde a números pares e sucessivos, então, dos números seguintes, o que representa uma dessas quantidades é a) b) c) 8 d) e) 8 7

8 PODEMOS ESCREVER PARES CONSECUTIVOS COMO ª PRATELEIRA = X ª PRATELEIRA = X+ ª PRATELEIRA = X+ ª PRATELEIRA = X+6 ENTÃO TEREMOS DE ACORDO COM O ENUNCIADO ENTÃO TEREMOS DE ACORDO COM O ENUNCIADO X + X + + X + + X + 6 = 68 X = 68 X = 56 X = 56/ X = LOGO OS DE PACOTES SÃO, 6, 8, 0 C UFRJ A soma de quatro números inteiros primos é 08. O maior dos quatros é igual a um dos outros mais 0; esse é igual a outro mais 0, e esse é igual ao menor mais 0. Esses quatros números primos contêm o seguinte algarismo em comum: a) b) c) d) 5 e) SUPOR a, b, c e d OS PRIMOS ANTES VAMOS CITAR A DEFINIÇÃO DE PRIMOS UM NÚMERO É CHAMADO DE PRIMO QUANDO ELE POSSUI DOIS DIVISORES O NÚMERO E ELE MESMO

9 ,,5,7,,,7,... VOLTANDO AO EXERCÍCIO OBSERVEM QUE O NÚMERO NÃO É PRIMO E O NÚMERO É O ÚNICO PRIMO PAR PODEMOS ESCREVER QUE a + b + c + d = a + b + c + d = 08 O maior dos quatros é igual a um dos outros mais 0 Supor d = c + 0 esse é igual a outro mais 0 c = b + 0 e esse é igual ao menor mais 0 b = a a + b + c + d = 08 Se b = a + 0 Então c = b + 0 c = a c = a Se c = a + 0 Então d = c + 0 d = a d = a + 0 Substituindo em a + b + c + d = 08 a + a a a + 0 = 08 a = a = 8 a = 8/ a =

10 Como a = 7 Teremos b = a + 0 = 7 c = a + 0 = 7 E d = a + 0 = 7 Logo o algarismo em comum é o 7 INTEIROS Z = Números Inteiros Z = {..., -, -, 0,,,... } Todo número natural é inteiro, isto é, N é um subconjunto de Z OPERAÇÕES SOMA / SUBTRAÇÃO = - 8 MULTIPLICAÇÃO/ DIVISÃO (-).(-) = 8 (-). (+) = -8 (-0) / (-5) = CUIDADO!!! - (-) = - + = Números Racionais 0 0 -⅔ -⅓ 0 ⅓ ⅔ São todos os números que podem ser representados na forma de a b com a e b inteiros e b diferente de zero. Representado pela letra Q 0 0 -⅔ -⅓ 0 ⅓ ⅔

11 FRACIONÁRIO , DECIMAL 5,5 0 DÍZIMA PERIÓDICA 5 FCC Cada um dos 78 funcionários de um Repartição Pública presta serviço em um único dos seguintes setores: administrativo (), processamento de dados () e serviços gerais (). Sabe-se que o número de funcionários do setor () é numericamente igual a /5 do número dos de (). Se os funcionários do setor () são numericamente iguais a /8 do total de pessoas que trabalham na Repartição, então a quantidade de funcionários do setor a) () é 80 b) () é 50 c)() é 80 d) () é 50 e) () é SERTOR = ADM = setor () são numericamente iguais a /8 do total SETOR = PD = setor () é numericamente igual a /5 do número dos de () SETOR = SG = 6 x.78 8 x x 5 x x x X X X X X X 7 X 50 6 SERTOR = ADM = SETOR = PD = SETOR = SG = x.78 8 x B (AOCP)Um prêmio em dinheiro foi dividido entre pessoas: a primeira recebeu / do valor do prêmio, a segunda recebeu / e a terceira ganhou R$.000,00. Então, o valor desse prêmio, em reais, era de: a).00,00 b).00,00 c).00,00 d).800,00 e).00,

12 primeira = / do valor do prêmio segunda = / do valor do prêmio terceira = R$.000,00 X X 000 X X X 000 X X X X 000 5X X 5 X 00 A DÍZIMAS PERIÓDICAS APRESENTAÇÃO 0,... 0, 0, FRAÇÃO GERATRIZ 0,... º CASO 0, , , FRAÇÃO GERATRIZ º CASO,... 5, ,... 7 FRAÇÃO GERATRIZ º CASO,... 0x 0x x, x 0 x 0 0

13 FCC- Considere os seguintes pares de números: I., e /5 II. 0, e 0/ III. 5 / e 6/ IV. 0,5 e ¼ Indique os itens em que os pares são formados por um número e seu respectivo inverso a) III e IV b) I e II c) I e IV d) II e III e) todos 7 I., e /5 6 5, O inverso de 5/ é /5 verdadeira 7 5 II. 0, e 0/ 0, x x 0x, x 0x 6 x 0 0 O inverso de /0 é 0/ verdadeira III. 5 / e 6/ 5 6 O inverso de 6/ é /6 falsa IV. 0,5 e / 5 0,5 00 O inverso de / é / ou falsa SÃO VERDADEIRAS APENAS OS ITENS I e II B

14 (AOCP) O número (0,...) / é a) Natural b) inteiro positivo c) Inteiro d) Irracional e) decimal periódico E 0, ,... 0, FCC - Os números de identificação utilizados no cotidiano (de contas bancárias, de CPF, de Carteira de Identidade etc.) usualmente possuem um dígito de verificação, normalmente representado após o hífen, como em 76-. Esse dígito adicional tem a finalidade de evitar erros no preenchimento ou digitação de documentos. Um dos métodos usados para gerar esse dígito utiliza os seguintes passos: 80 Multiplica-se o último algarismo do número por, o penúltimo por, o antepenúltimo por, e assim por diante, sempre alternando multiplicações por e por. Soma-se a cada um dos resultados dessas multiplicações que for maior do que ou igual a 0. Somam-se os resultados obtidos. Calcula-se o resto da divisão dessa soma por 0, obtendo-se assim o dígito verificador. O dígito de verificação fornecido pelo processo acima para o número 685 é (A). (B). (C). (D)6. (E) Multiplica-se o último algarismo do número por, o penúltimo por, o antepenúltimo por, e assim por diante, sempre alternando multiplicações por e por. 5X 8X 6X X X 8 Soma-se a cada um dos resultados dessas multiplicações que for maior do que ou igual a 0. 5X= 5 8X= 6 + 6X= 6 X= 8 X= 8

15 Somam-se os resultados obtidos. 5X= 5 8X= 6 + = 7 6X= 6 X= 8 X= TOTAL = = 8 ENADE Calcula-se o resto da divisão dessa soma por 0, obtendo-se assim o dígito verificador. 8 : 0 RESTO 8 E ENADE ENADE FCC - Um trabalhador tinha em seu portaníqueis apenas moedas de R$ 0,50 e de R$ 0,0 em quantidades iguais. Após pagar R$,0 pela passagem de ônibus, usando as moedas que possuía e sem receber troco, ficou com R$,60. O número de moedas que restaram a esse trabalhador, após isso acontecer, passou a ser A. 6 ou 0 B. ou 5 C. ou D. 0 ou E. 8 ou Total =,0 +,60 = 6,00 Moedas em quantias iguais 0 moedas 0 moedas Como pagar,0 D Em uma repartição pública que funciona de ª a 6ª feira, novos funcionários foram contratados. Em relação aos contratados, é necessariamente verdade que. sobra e = 0 ou 8 e 6 =

16 a) Todos fazem aniversário em meses diferentes b) Ao menos dois fazem aniversário no mesmo mês c) Ao menos dois começaram a trabalhar no mesmo dia do mês d) Ao menos três começaram a trabalhar no mesmo dia da semana e) Algum começou a trabalhar em uma ª feira Atente para a sucessão de figuras seguintes e determine o valor de x: a) b) c) 8 d) 6 e) 0 E Evite desencorajar-se: mantenha ocupações e faça do otimismo a maneira de viver. Isso restaura a fé em. 6