2ª série do Ensino Médio

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1 2ª série do Ensino Médio Instruções: 1. Você deve estar recebendo um caderno com 8 questões. Verifique, portanto, se está completo, e, caso haja algum problema, solicite outro ao fiscal da sala. 2. Em todas as questões cuja resposta não pode ser obtida de forma direta, deve aparecer a justificativa escrita ou os cálculos que justificam a resposta encontrada. Lembre-se ainda que clareza na justificativa é critério de desempate. 3. É permitido o uso de calculadora. NÃO é permitido consulta a anotações, livros ou colegas. 4. NÃO é permitido destacar ou recortar nenhuma parte da prova. 5. As respostas de cada questão serão divulgadas no site do Colégio Sinodal a partir de 06 de junho de Após essa data as escolas serão contatadas para a devolução das provas. 6. Todos os participantes receberão certificado e os 3 melhores colocados em cada série receberão medalhas em data solene, a ser marcada. 7. É PROIBIDO o uso de telefone celular. 8. Anote seu nome completo e legível no espaço abaixo para a confecção dos certificados. Além disso, anote o telefone solicitado para possíveis contatos. 9. Boa prova! Colégio: Nome: Telefone residencial: Celular: Nome: Telefone residencial: Celular:

2 9ª Olimpíada de Matemática 2º ano 1. Um corredor usa uma pista de atletismo de 400m para realizar seu condicionamento físico. Os tempos abaixo foram obtidos em cada uma das 5 voltas que ele deu: Volta nº Tempo Sendo assim, qual foi o tempo médio gasto por esse corredor para dar cada volta na pista? Obs.: significa 2 minutos 04 segundos 45 centésimos de segundo Resposta: ANA: Eu sou a mais velha. BEATRIZ: Eu não sou nem a mais velha e nem a mais nova. CAROLINA: Eu não sou a mais nova. DIANA: Eu sou a mais nova. Apenas uma das quatro amigas não está dizendo a verdade. Qual delas é a mais velha? Qual delas é a mais nova? Resposta: Diana é a mais nova e Carolina é a mais velha. 2ª série 2

3 3. Um número é dito primo se ele for divisível somente por 1 e por ele mesmo. Assim, 7 é primo mas 9 não é, pois 9 é divisível por 1, por 3 e por 9. Um dos grandes desafios dos matemáticos é encontrar um algoritmo (fórmula) que gere todos os números primos. Um aluno conjecturou que a fórmula P = n 2 + n + 11, em que n é um número natural (inteiro e positivo) geraria somente números primos. Perceba que para n = 2, temos P = = 17, que é primo. No entanto, esse aluno estava enganado, pois a fórmula não gera somente números primos. Mostre um número gerado pela fórmula que não seja primo e aponte pelo menos 3 divisores desse número para confirmar sua resposta. Resposta: Um possível é P = 121 (n = 10). Os divisores são 1, 11 e Um computador executa um pequeno programa de cálculo seguindo o fluxograma abaixo: Obs.: Em computação, a palavra loop significa operações realizadas repetidas vezes Qual o 5º número que aparecerá na tela, considerando que o primeiro seja x. 3 5x Resposta: 2 3x 2ª série 3

4 5. Os números de identificação utilizados no cotidiano (de contas bancárias, de CPF, de Carteira de Identidade etc) usualmente possuem um dígito de verificação, normalmente representado após o hífen, como em Esse dígito adicional tem a finalidade de evitar erros no preenchimento ou digitação de documentos. Um dos métodos usados para gerar esse dígito utiliza os seguintes passos: - multiplica-se o último algarismo do número por 1, o penúltimo por 2, o antepenúltimo por 1, e assim por diante, sempre alternando multiplicações por 1 e por 2. - soma-se 1 a cada um dos resultados dessas multiplicações que for maior do que ou igual a somam-se os resultados obtidos. - calcula-se o resto da divisão dessa soma por 10, obtendo-se assim o dígito verificador. Qual é o dígito de verificação fornecido pelo processo acima para o número 24685? Resposta: 8 6. Os contribuintes e segurados da Previdência Social devem ficar atentos às novas regras da aposentadoria. Segundo a proposta enviada pelo governo federal ao Congresso Nacional, para obter aposentadoria integral, será preciso satisfazer às duas condições abaixo: I. Ter contribuído por um tempo mínimo de 30 anos (para as mulheres) ou de 35 anos (para os homens) II. Na ocasião do pedido de aposentadoria, a soma da idade com o tempo de contribuição para a previdência deve resultar em, no mínimo, 95 anos, para os homens e, em 85 anos, para as mulheres. Fonte: Folha Online Acessado em 27/08/2009 Adaptado. Leila começou a trabalhar com 23 anos. Com quantos anos de idade, no mínimo, ela poderá solicitar a sua aposentadoria? Resposta: Com 54 anos ela já poderá pedir sua aposentadoria, pois terá trabalhado 31 anos ( = 85). 2ª série 4

5 7. Uma pousada oferece pacotes promocionais para atrair casais a se hospedarem por até oito dias. A hospedagem seria em apartamento de luxo e, nos três primeiros dias, a diária custaria R$ 150,00, preço da diária fora da promoção. Nos três dias seguintes, seria aplicada uma redução no valor da diária, cuja taxa média de variação, a cada dia, seria de R$ 20,00. Nos dois dias restantes, seria mantido o preço do sexto dia. Nessas condições, um modelo para a promoção idealizada é apresentado no gráfico a seguir, no qual o valor da diária é função do tempo medido em número de dias. De acordo com os dados e com o modelo, comparando o preço que um casal pagaria pela hospedagem por sete dias fora da promoção, um casal que adquirir o pacote promocional por oito dias fará uma economia de quantos reais? Resposta: 7 dias(fora da promoção) = 7.150,00 = 1050,00 8 dias (na promoção) = = 960 Economia: = 90,00 8. A figura construída segundo a sequência a seguir é denominada Esponja de Sierpinski ou Esponja de Menger e representa um fractal gerado a partir de um cubo. Partindo-se do cubo inicial, obteremos outros cubos menores, com arestas iguais a 1/3 da aresta deste. O cubo central e os cubos do centro de cada face são removidos. O procedimento se repete em cada um dos cubos menores restantes. O processo é iterado infinitas vezes, gerando a esponja. Se o cubo inicial tem volume igual a 27cm 3, qual o volume do sólido da figura 2? Resposta: 20 cm 3 2ª série 5