Exercício 5. Encontre o valor de

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1 Lista de Exercícios do Encontro de Apresentação do Nível 3 Conteúdo: Diversos Exercício 1. Na figura abaixo, três circunferências de mesmo raio se intersectam em seis pontos. Em cada um destes pontos, existe um círculo menor, todos de mesmo raio. Coloque os números 1, 2, 3, 4, 5 e 6 nos círculos pequenos, de modo que os números escritos em cada uma das circunferências maiores seja 14. Exercício 2. João possui 30 barras de chocolate com os pesos: 2, 3 ou 4 quilos. A soma dos pesos das barras é 100 quilos. João possui mais barras de 2 Kg ou de 4 Kg? Exercício 3. Um grupo de oito pessoas pediu uma pizza. O garçom conseguiu dividi-la em oito pedaços fazendo apenas três cortes retos. Como ele conseguiu fazer isto? Exercício 4. O professor Piraldo conhece muitos truques de multiplicação. Certo dia, Juquinha perguntou quanto da e rapidamente o professor respondeu Após alguns minutos de euforia da turma ele decidiu explicar esse truque. O truque funciona ao multiplicar dois números de dois dígitos que possuem o mesmo digito nas dezenas e a soma das unidades e 10. No exemplo, os dois tem 6 nas dezenas e = 10. Ele explicou que o resultado possui até 4 dígitos, o produto das unidades define os 2 últimos dígitos e os 2 primeiros, quando existirem dois já que o resultado pode ter três dígitos no total, são o resultado do digito das dezenas multiplicado por seu sucessor. a) Usando o truque, calcule b) Usando o truque, calcule c) Agora vamos provar que o truque funciona. Considere dois números de dois dígitos ab = 10a +b e ac = 10a +c, com b +c = 10. Mostre que o produto b c determina os 2 dígitos finais e a (a +1) determina os 2 dígitos iniciais do produto ab ac. Exercício 5. Encontre o valor de fabiovinicius.mat.br 1 17 de junho de 2017

2 Lista de Exercícios do Encontro 1 da 2ª semana do Ciclo 1 Nível 3 Encontros de Aritmética Conteúdo: Paridades, sistema decimal, divisão Euclidiana, múltiplos e divisores e critérios de divisibilidade Exercício 1. Na divisão euclidiana de 802 por d > 0 o quociente é 14 e o resto é r. Quais são os possíveis valores para d e r? Exercício 2. O produto de um número de três algarismos por 7 termina (à direita) em 638. Qual é esse número? Exercício 3. Determine todos os algarismos x e y tais que o número 2x7y seja divisível por 4 e por 11. Exercício 4. Os inteiros de 1 a 10 estão escritos no quadro. Dois números quaisquer a e b são apagados e substituídos pelo número a b. Depois desse processo ser repetido diversas vezes, pode acontecer do único número restante no quadro ser zero? (Dorichenko, problema 20.7) Exercício 5. (Fomin, capítulo 1, problema 17) Pedro comprou um caderno com 96 folhas e numerou-as de 1 a 192. Vitor arrancou 25 folhas do caderno de Pedro e somou os 50 números que encontrou escritos nas folhas. Esta soma poderia ser igual a 1990? (Exercício 6, página 6, Apostila do PIC Encontros de Aritmética ) (Dica: Um problema muito parecido com este está resolvido no vídeo 20). Exercício 6. (Banco de Questões 2006, nível 1, lista 1, problema 3) Considere dois números naturais, cada um deles com três algarismos diferentes. O maior deles só tem algarismos pares e o menor só tem algarismos ímpares. Se a diferença entre eles é a maior possível, qual é esta diferença? (Exercício 20, página 13, Apostila do PIC Encontros de Aritmética ) Exercício 7. Na divisão de dois números inteiros, o quociente é 16 e o resto é o maior possível. Se a soma do dividendo e do divisor é 125, determine o resto. (Exercício 5, página 31, Apostila do PIC Encontros de Aritmética ) Exercício 8. (Fomin, capítulo 3, problema 10) Um inteiro é dito um quadrado perfeito quando é igual ao quadrado de um inteiro. a) Mostre que se um quadrodo perfeito é divisível por 3, então é divisível por 9. b) Um número escrito com cem algarismos iguais a 0, cem iguais a 1 e cem iguais a 2, pode ser um quadrado perfeito? (Dica para o item b: aplique os critérios de divisibilidade por 3 e por 9) fabiovinicius.mat.br 2 17 de junho de 2017

3 Lista de Exercícios do Encontro 2 da 4ª semana do Ciclo 1 Nível 3 Encontros de Aritmética Conteúdo: Máximo divisor comum (mdc), mínimo múltiplo comum (mmc), problemas de aplicação, algoritmo de Euclides para o cálculo do mdc Exercício 1. Em 1982 ocorreu uma conjunção entre os planetas Júpiter e Saturno, o que significa que podiam ser vistos bem próximos um do outro quando avistados da Terra. Admitindo que Júpiter e Saturno dão uma volta completa ao redor do Sol aproximadamente a cada 12 e 30 anos, respectivamente, determine qual foi o ano imediatamente anterior a 1982 em que ocorreu uma conjunção entre os dois planetas. Exercício 2. Quantos números entre 1 e 2012 são múltiplos de 6 ou de 15? (Exercício 22, página 84, Apostila do PIC Encontros de Aritmética ) Exercício 3. Determine a quantidade mínima de placas quadradas que são necessárias para cobrir uma superfície retangular de 12,8 m de comprimento por 9,6 m de largura. (Exercício 25, página 86, Apostila do PIC Encontros de Aritmética ) Exercício 4. Determine o menor número inteiro positivo de três algarismos que é divisível, ao mesmo tempo, por 4, 8 e 12. (Exercício 26, página 87, Apostila do PIC Encontgros de Aritmética ) Exercício 5. Mariana produziu 108 barras de chocolate branco e 162 barras de chocolate ao leite. a) Ela juntou toda a sua produção e colocou 18 barras em cada pacote. Quantos pacotes foram formados? b) Se forem colocadas quantidades iguais em cada pacote, sem misturar os tipos de chocolate, quantas barras, no máximo, poderá haver em cada pacote? Quantos pacotes de chocolate ao leito foram formados? Exercício 6. Vamos supor que precisamos remeter duas encomendas de sabonetes idênticos para dois compradores diferentes. Um pediu 420 sabonetes e o outro pediu 480 sabonetes. Queremos acondicionar os sabonetes em embalagens idênticas que sirvam para atender aos dois pedidos. Quantos sabonetes devem cabar em cada uma das embalagens para que possamos atender as duas demandas utilizando a menor quantidade possível de embalagens? (Exercício 2, página 65, Apostila do PIC Encontros de Aritmética ) Exercício 7. Duas engrenagens A e B têm 16 e 28 dentes, respectivamente. Elas estão encaixadas de modo que um motor ligado à engrenagem A a faz girar no sentido horário e esta faz a engrenagem B girar no sentido anti-horário. Se a engrenagem A realiza uma revolução por minuto, após quanto tempo de o motor ter sido ligado as duas engrenagens retornarão à posição inicial pela primeira vez? (Exercício 6, página 71, Apostila do PIC Encontros de Aritmética ) Exercício 8. Use o Algoritmo de Euclides para calcular mdc(2282, 7063). (Exercício 8, página 100, Apostila do PIC Encontros de Aritmética ) fabiovinicius.mat.br 3 17 de junho de 2017

4 Lista das Tarefas de Casa do Encontro 1 da 2ª semana do Ciclo 1 Nível 3 Encontros de Aritmética Conteúdo: Sistema decimal, divisão Euclidiana, múltiplos e divisores e critérios de divisibilidade Tarefa de casa 1. (Prova OBMEP ª Fase N3 Questão 2) A sequência 0, 3, 7, 10, 14, 17, 21, é formada a partir do número 0 somando-se alternadamente 3 ou 4 ao termo anterior, isto é: o primeiro termo é 0, o segundo é 3 mais o primeiro, o terceiro é 4 mais o segundo, o quarto é 3 mais o terceiro, o quinto é 4 mais o quarto e assim sucessivamente. a) Escreva os 20 primeiros termos desta sequência. b) Qual é o 1000º termo desta sequência? c) Algum termo desta sequência é igual a 2000? Por quê? Tarefa de casa 2. (Prova OBMEP ª Fase N3 Questão 2) A figura representa o traçado de uma pista de corrida. Os pontos A, B, C e D são usados para partidas e chegadas de todas as corridas. As distâncias entre pontos vizinhos, em quilômetros, estão indicadas na figura e as corridas são realizadas no sentido indicado pela flecha. Por exemplos, uma corrida de 17 km pode ser realizada com partida em D e chegada em A. a) Quais são os pontos de partida e chegada de um corrida de 14 quilômetros? b) E para uma corrida de 100 quilômetros, quais são esses pontos? c) Mostre que é possível realizar corridas com extensão igual a qualquer número inteiros de quilômetros? fabiovinicius.mat.br 4 17 de junho de 2017

5 Tarefa de casa 3. (Prova OBMEP ª Fase Questão 6) Dois grilos, Adonis e Basílio, pulam sempre para a frente; Adonis só dá pulos de 1 cm ou 8 cm e Basílio só dá pulos de 1 cm ou 7 cm. Eles percorrem qualquer distância com o menor número de pulos possível. Por exemplo, Adonis percorre 16 cm com apenas dois pulos de 8 cm cada, enquanto Basílio precisa de quatro pulos, sendo dois de 7 cm e outros dois de 1 cm. Por outro lado, para percorrer 15 cm, Adonis precisa de oito pulos, sendo um de 8 cm e sete de 1 cm, enquanto Basílio precisa de apenas tres pulos, sendo dois de 7 cm e um de 1 cm. Indicando por A(d) e B(d), respectivamente, o número de pulos que Adonis e Basílio dão para percorrer d d centímetros, temos A(15) = 8, B(15) = 3, A(16) = 2 e B(16) = 4. a) Complete a tabela abaixo: d: distância em cm A(d): número de pulos de Adonis B(d): número de pulos de Basílio b) Encontre um número d entre 200 e 240 tal que B(d) < A(d) (isto é, encontre uma distância entre 200 cm e 240 cm tal que, para percorrê-la, Basílio dá menos pulos do que Adonis). c) Encontre o maior número d tal que B(d) = A(d). fabiovinicius.mat.br 5 17 de junho de 2017

6 Lista das Tarefas de Sala de Aula do Encontro 2 da 4ª semana do Ciclo 1 Nível 3 Encontros de Aritmética Conteúdo: Paridades, sistema decimal, divisão Euclidiana, múltiplos e divisores e critérios de divisibilidade, Máximo divisor comum (mdc), mínimo múltiplo comum (mmc), problemas de aplicação, algoritmo de Euclides para o cálculo do mdc Valor obtido:... Tarefa de Sala 1. Seja a um número inteiro tal que a + 1 deixa resto 1 na divisão por 3. Explique por que 7a + 4 também deixa resto 1 na divisão por 3. Tarefa de Sala 2. Tenho 84 balas de coco e 144 balas de chocolate. Quero formar saquinhos de balas sem misturas sabores e sem que sobrem balas. Todos os saquinhos devem ter a mesma quantidade de balas, que deve ser a maior possível. Quantas balas devo colocar em cada saquinho e quantos saquinhos de cada tipo de bala devo formar? fabiovinicius.mat.br 6 17 de junho de 2017