A adição de números naturais é associativa, ou seja, resultado da soma de três números naturais independe da ordem da soma dos números.

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1 . Números Naturais Para qualquer cidadão, contar faz parte da rotina da vida. Por exemplo: contamos dinheiro, contamos pessoas, contamos os itens para saber o que precisamos comprar, contamos objetos em diversas situações. Faça o seguinte experimento. Quantas pessoas há agora na sua sala? Veja que foi preciso contar para responder à esta pergunta. Os Números estão relacionadas a situações práticas e úteis de contagem no nosso dia-a-dia. Como por exemplos, o motorista de um ônibus tem que contar os passageiros em cada parada, para verificar se não está faltando algum passageiro. Para contar objetos, é muito prático formar grupos. Como o sistema de numeração que utilizamos é o decimal (ou seja, de base dez), vamos fazer agrupamentos de 0 em 0 unidades. Cada grupo de 0 unidades podemos agrupar em 0 grupos de dezenas. Cada grupo de 0 dezenas podemos agrupar em 0 grupos de centenas. Portanto temos que: dezena = 0 unidades centena = 0 dezenas = 00 unidade Exemplo Como contar o conjunto de bolinhas da figura abaixo? Vamos agrupa-las em 0 em 0, temos 3 grupos de 0 bolinhas, mais 5 bolinhas; ou seja, grupo de 0 grupos de 0 bolinhas, mais 3 grupos de 0 bolinhas, mais 5 bolinhas, ou centena de bolinhas (00 bolinhas) mais 3 dezenas de bolinhas (0 bolinhas) mais 5 bolinhas Observação: Quando escrevemos 203, o símbolo 0 (zero) indica que não há dezenas. Note cada algarismo tem um valor de acordo com a posição que ele ocupa na representação do numeral. Para contar quantidades maiores que 0, não há necessidade de outros algarismos (0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Os números utilizados para contar, chamamos de Números Naturais (N). N = {, 2, 3, 4,..., 3000,... } O número zero é um numero natural? Adição e contagem A adição ou soma é a primeira das operações matemáticas. Ela está relacionada com a construção dos números e com o ato de contar. Verifique que se uma pessoa não sabe somar um número natural, ela irá contar os números! Um exemplo básico é quando temos uma certa quantidade de objetos que queremos somar com. Então somar qualquer número natural com significa tomar o sucessor deste número. Exemplo = = = 00 Exemplo 3 Como + + = 3 então podemos somar os números naturais 4 e 3 é = = = 6 + = 7 A adição de números naturais é comutativa, ou seja, resultado da soma independe da ordem das parcelas. Exemplo 4 Sabemos que = 7 e = 7, logo = A adição de números naturais é associativa, ou seja, resultado da soma de três números naturais independe da ordem da soma dos números.

2 Exemplo 5 Sabemos que (4 + 3) + 2 = = 9 e 4 + (3 + 2) = = 9, logo (4 + 3) + 2 = 4 + (3+2) Vamos agora praticar somas com números maiores. Observe com este exemplo. Exemplo 6 Calcular Como é feita a conta: O que dizemos 8 mais 5 são 3. Vai. mais 7 são 8 e mais 6 são 4. Resposta: 43 (cento e quarenta e três). "Ao ouvir uma criança recitar a tal série de ações, muita gente respira aliviado e conclui: "Que bom, esse aluno já sabe somar". Será mesmo? O resultado pode estar certo, mas o pequeno consegue explicar o que significa o tal "vai "? É capaz de entender o raciocínio por trás da técnica que memorizou? Podemos utilizar a decomposição decimal para analisar o significado do "vai ". Exemplo 7 Calcular Sabemos que = 78 e = 65 então temos = (70 + 8) + (60 + 5) = 70 + (8 + 60) + 5 = 70 + (60 + 8) + 5 = = ( ) + (8 + 5) = ( ) + 3 = ( ) + (0 + 3) = ( ) + 3 = = (30 + 0) + 3 = = 43 A multiplicação como soma de parcelas iguais A multiplicação nada mais é que uma soma de parcelas iguais. Na soma = 66 os números 25, 3 e 0 são chamados parcelas da soma. Quando temos uma soma em que as parcelas são iguais, como = 75 podemos usar a multiplicação. Dizemos então 3 vezes 25 e representamos 3 25 ou seja, estamos somando o número 25 três vezes: = 3 25 Exemplos 8 Se uma sala de aula tem 5 fileiras de carteiras, com 6 carteiras cada. Qual o total de carteiras nesta sala? 5 6 = = 30 carteiras Em uma biblioteca, todas as estantes são do mesmo tamanho. Cada estante tem 4 prateleiras, e em cada prateleira são arrumados 50 livros = 4 50 = 200 livros Agora, imagine que essa biblioteca possui 0 estantes como esta. Então, lá existem ao todo: = livros O resultado da multiplicação é também chamado de produto, e cada um dos números multiplicados é chamado de fator. A multiplicação de números naturais é comutativa, ou seja, a ordem dos fatores não altera o produto. Exemplo 9 Sabemos que 4 6 = 24 e 6 4 = 24, então, que 4 6 = 6 4. A multiplicação de números naturais é associativa, ou seja, resultado da multiplicação de três números naturais independe da ordem da multiplicação dos números.

3 Exemplo 0 Sabemos que (5 2) 3 = 0 3 = 30 e 5 (2 3) = 5 6 = 30, logo (5 2) 3 = 5 (2 3) Exemplo Na janela da figura abaixo, cada retângulo representa pedaço de vidro. Quantos pedaços de vidro há em 5 janelas iguais a esta? Podemos resolver o problema de dois modos. Primeiro, calculamos quantos pedaços de vidro existem em cada janela. A resposta é 3 2 = 6. Como essa situação aparece repetida cinco vezes, o número total de pedaços de vidro é: 5 (3 2) = 5 6 = 30 De outro modo, sabemos que, para fazer o cálculo, qualquer multiplicação pode ser feita primeiro, então: (5 3) 2 = 5 2 = 30 Portanto, independentemente do modo que o problema é resolvido, concluímos que existem 30 pedaços de vidro. Numa expressão podem conter operações de soma e multiplicação, qual devemos fazer primeiro? Por exemplo, como podemos resolver a conta: ? Como a multiplicação é uma soma de parcelas iguais, então 5 3 = = 5 logo = 6 + ( ) = = 2 Portanto, devemos fazer primeiro a multiplicação e, depois, a soma. Agora veja a figura ao lado. Existe duas maneiras de dizer o total de quadradinhos, além de conta-los. Uma delas é multiplicar as duas parcelas e, depois, soma-las ou seja: (4 2) + (4 3) = = 20 Mas também podemos somar as duas parcelas e depois a multiplicamos o resultado da soma, ou. seja: 4 (2 + 3) = 4 5 = 20 Com este exemplo, descobrimos que: (4 2) + (4 3) = 4 (2 + 3) Esta é propriedade distributividade da multiplicação em relação à soma, ou seja, se um número multiplica uma soma, então ele multiplica cada parcela dessa soma. Agora vamos praticar multiplicações com números maiores. Observe alguns exemplos. Exemplo 2 Calcular 8 27 = Como é feita a conta: O que dizemos 8 vezes 7 são 56. Escrevemos o 6 e "vão 5 ". 8 vezes 2 são 76 e mais 5 são 2. Resposta: 26 (duzentos e dezesseis). Agora vamos explicar porque a conta é feita deste modo. Exemplo 3 Calcular 8 27 = 26 Vamos utilizar a decomposição decimal para decompor o número 27 em 2 dezenas e 7 unidades, ou seja, = 27 portanto, a conta 8 27 = 8 (20 + 7). Vamos então usar a propriedade distributiva, logo: 8 27 = 8 (20 + 7) = = = ( ) + (50 + 6) =

4 = 00 + ( ) + 6 = = 00 + (00 + 0) + 6 = = ( ) = = 26 Veja agora como multiplicar um número de mais de um algarismo por outro de dois algarismos. Exemplo 4 Calcular 32 = Como é feita a conta: O que 8 vezes 3 vezes 4 é 2 e "vai ". Escreva 2 dizemos é 08. na casa das dezenas! Resposta: 728 (mil setecentos e vinte e oito) vezes 5 são 5 e mais são Somando 08 com 62. Agora vamos explicar porque a conta é feita deste modo. Exemplo 5 Calcular 32 = Sabendo que, = 32 portanto, a conta = (30 + 2). Utilizando a propriedade distributiva, temos: = (30 + 2) = Note que 2 = 08 e que 30 = 3 0. Assim, temos: = (30 + 2) = = = = = = =.728 Assim podemos ver perfeitamente por que, na conta armada, o 62 apareceu deslocado para a esquerda. Para verificar se a multiplicação está correta vamos usar a propriedade comutativa para trocar a ordem dos fatores. Se encontrarmos o mesmo resultado, a conta provavelmente estará certa. Por exemplo para verificar se 32 =.728 está certo é só calcular. Não é um método absolutamente seguro, porque podemos errar nas duas contas. Mas, de qualquer maneira, é um modo de encontrar um possível erro. A subtração A subtração é uma operação inversa à operação de adição, ou seja, a operação subtração desfaz o que a operação adição. Observe: = 4 e 4 7 = = 8 e 8 3 = = 72 e 72 2 = 70 Exemplo 6 Se você vai fazer um suco com uma dúzia (uma dúzia = 2 unidades) de laranjas e só espremeu duas, utiliza a subtração para saber quantas faltam para completar a tarefa. 2 2 = 0 Exemplo 7 Uma pessoa precisa empacotar 65 mercadorias. Já conseguiu empacotar 43. Quantas faltam ainda? Para entendermos melhor, vamos representar essas quantidades. 65 = 6 dezenas e 5 unidades 43 = 4 dezenas e 3 unidades A operação de subtração foi feita separadamente nas colunas das unidades e das dezenas. Esta operação é indicada assim: = 22

5 Como é feita a conta: O que dizemos 5 menos 3 são 2. 6 menos 4 são 2. Resposta: 22 (vinte e dois). Exemplo 8 Sempre que, em uma coluna, o número de cima for menor que o de baixo, devemos pedir emprestadas 0 unidades na casa da esquerda. Observe como calcular 92 Como é feita a conta: \ / 92 O que Como não é possível tirar 8 de 2, tiramos dizemos dezena das 9 e emprestamos às unidades. Resposta: 64 (sessenta e quatro). 8 2 \ / menos 8 é 4. No lugar do 9, temos \ / menos 2 é 6 Podemos utilizar a decomposição decimal para analisar o significado do "empresta ". Exemplo 9 Calcular 92 Sabemos que (80 + 0) + 2 = = 92 e = 28 então temos = [(80 + 0) + 2] (20 + 8) = [80 + (0 + 2)] (20 + 8) = [80 + 2] (20 + 8) = = [80 + 2] 20 8 = 70 + (8 + 60) + 5 = (80 20) + (2 8) = (80 20) + 4 = = 64 Mas nem todos os números são resultados da soma de dois números naturais. Deste modo a operação de subtração só pode ser efetuada em alguns pares de números naturais. Por exemplo, a subtração 3 4 não tem resultado dentro dos números naturais. A divisão A inversa dá operação de multiplicação é a operação de divisão. Usamos a tabuada e vimos que: 8 4 = 32 Portanto a operação de divisão faz: 32 4 = 8 (32 dividido por 4 é 8) ou 32 8 = 4 (32 dividido por 8 dá 4) Observe as figuras e pense nas situações que elas representam. Se você tem 32 bolinhas para dividir igualmente por 4 pessoas, cada pessoa receberá 8 bolinhas. Exemplo 20 Um motorista vai fazer uma viagem de 320 quilômetros. Ele sabe que seu carro consome litro de álcool a cada 8 quilômetros. Quantos litros de álcool ele gastará no total? Precisamos saber quantos pedaços de 8 km cabem em 320 km. Assim, fazemos a divisão = 40. Portanto, o carro irá consumir 40 litros de álcool. No entanto, nem sempre trabalhamos com números pequenos.

6 Exemplo 2 Vamos dividir 658 por 2. Como é feita a 2 conta: -4 2 O que Como 5 2 não 2 2 = 4 e escreva dizemos dá. Mas 4 2 = 2, esse resultado e escreva esse embaixo do resultado embaixo da chave. número que está sendo dividido. Resposta: 58 (cinqüenta e oito) Feita a subtração 5 4 = Abaixamos o próximo algarismo, o Como 8 2 = 9 e como 9 2 = 8 e 8 8 = 0. Esse método é conhecido como método da chave e é baseado na inversão do método da multiplicação, pois: 29 2 = (20 + 9) 2 = (20 2) + (9 2) = = 58. Mas nem todos os números são resultados de uma multiplicação de dois números naturais. Deste modo a operação de divisão só pode ser efetuada em alguns pares de números naturais. Por exemplo, a divisão 3 4 não tem resultado dentro dos números naturais, pois, 3 é menor que 4 e assim não pode ser dividido por 4. Em alguns podemos fazer uma divisão com resto. Exemplo 22 Como dividir 253 por 5. Assim: dividendo divisor quociente 03 resto Abaixamos o 3. Como 3 é menor que 5, não podemos, continuar a divisão. Dizemos que restam 3. Cuidado alguns alunos das series iniciais podem cometer alguns erros neste exercício. Para conferir o resultado de temos sempre duas verificações a fazer: se o resto é menor que o divisor; se quociente vezes o divisor mais o resto é igual ao dividendo. Por exemplo, 3 é menor que 5 e = = 253 Exercícios ) Some e verifique o número que vem logo depois de: a) 00 + = b) = c) 99 + = d) = e) = 2) Subtraia e verifique qual o número que vem imediatamente antes de: a) 00 = b) 253 = c) 99 = d) 003 = e) 999 = 3) Dê o resultado das somas: a) = = b) (2 + 6) + 4 = 2 + (6 + 4) = c) = = f) (5 + 2) + 6 = 5 + (2 + 6) = 4) Calcule utilizando os dois métodos vistos em aula. a) = b) = c) = 5) Faça esta conta de duas formas diferentes: 5 (2 + 6).

7 6) Precisamos adquirir habilidades e rapidez para multiplicar números com apenas um algarismo.. Complete a tabuada abaixo Só assim será bem fácil fazer qualquer multiplicação. As multiplicações envolvendo números de um algarismo costumam ser apresentadas em tabelas conhecidas como tabuadas. Logo se você quer saber o resultado de 8 4, você vai encontrar 32. 7) Calcule: a) = b).96 4 = c) = d) = e) = f) = g) = h) = 8) Faça as subtrações. a) = b) = c) 025 ( ) = 9) Complete os espaços: a) Kátia tem 8 notas de 5 reais. Ela tem reais. b) José comprou 8 caixas com 6 canetas. Ele comprou canetas. 0) João recebe R$ 800,00 por mês. Neste mês, ele precisou fazer dois vales: um de R$ 20,00 e outro de R$ 50,00. Quanto ainda tem para receber no fim do mês? ) Complete os espaços: a) Kátia tem 8 notas de 5 reais. Ela tem reais. b) José comprou 8 caixas com 6 canetas. Ele comprou canetas. c) Marina comprou 3 cartelas de botões. Cada cartela tem dúzia (2) de botões. Ela comprou botões. d) Vanda recebeu 5 reais em notas de 5 reais. Ela tem notas de 5 reais. e) Gabriel encaixotou 72 livros. Cada caixa ficou com 8 livros. Existem então caixas. f) Uma quantia de 42 reais deve ser repartida igualmente entre 6 pessoas. Cada pessoa receberá reais. 2) Uma fábrica de sabão em pedra embala os produtos em caixas de 4 dúzias. Quantas caixas são usadas para embalar pedras de sabão? 3) Faça as divisões: a) = b) = c) 48 8 = d) = e) 2 2 = f) = g) 24 4 = h) 32 4 = 4) Cinco jogadores ganharam um sorteio. O prêmio foi de R$ 25,00. Quanto caberá a cada uma dessas pessoas?