Exercício 5. Encontre o valor de

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1 Lista de Exercícios do Encontro de Apresentação do Nível 3 Conteúdo: Diversos Exercício 1. Na figura abaixo, três circunferências de mesmo raio se intersectam em seis pontos. Em cada um destes pontos, existe um círculo menor, todos de mesmo raio. Coloque os números 1, 2, 3, 4, 5 e 6 nos círculos pequenos, de modo que os números escritos em cada uma das circunferências maiores seja 14. Exercício 2. João possui 30 barras de chocolate com os pesos: 2, 3 ou 4 quilos. A soma dos pesos das barras é 100 quilos. João possui mais barras de 2 Kg ou de 4 Kg? Exercício 3. Um grupo de oito pessoas pediu uma pizza. O garçom conseguiu dividi-la em oito pedaços fazendo apenas três cortes retos. Como ele conseguiu fazer isto? Exercício 4. O professor Piraldo conhece muitos truques de multiplicação. Certo dia, Juquinha perguntou quanto da e rapidamente o professor respondeu Após alguns minutos de euforia da turma ele decidiu explicar esse truque. O truque funciona ao multiplicar dois números de dois dígitos que possuem o mesmo digito nas dezenas e a soma das unidades e 10. No exemplo, os dois tem 6 nas dezenas e = 10. Ele explicou que o resultado possui até 4 dígitos, o produto das unidades define os 2 últimos dígitos e os 2 primeiros, quando existirem dois já que o resultado pode ter três dígitos no total, são o resultado do digito das dezenas multiplicado por seu sucessor. a) Usando o truque, calcule b) Usando o truque, calcule c) Agora vamos provar que o truque funciona. Considere dois números de dois dígitos ab = 10a +b e ac = 10a +c, com b +c = 10. Mostre que o produto b c determina os 2 dígitos finais e a (a +1) determina os 2 dígitos iniciais do produto ab ac. Exercício 5. Encontre o valor de fabiovinicius.mat.br 1 14 de janeiro de 2018

2 Lista de Exercícios do Encontro 1 da 2ª semana do Ciclo 1 Nível 3 Encontros de Aritmética Conteúdo: Paridades, sistema decimal, divisão Euclidiana, múltiplos e divisores e critérios de divisibilidade Exercício 1. Na divisão euclidiana de 802 por d > 0 o quociente é 14 e o resto é r. Quais são os possíveis valores para d e r? Exercício 2. O produto de um número de três algarismos por 7 termina (à direita) em 638. Qual é esse número? Exercício 3. Determine todos os algarismos x e y tais que o número 2x7y seja divisível por 4 e por 11. Exercício 4. Os inteiros de 1 a 10 estão escritos no quadro. Dois números quaisquer a e b são apagados e substituídos pelo número a b. Depois desse processo ser repetido diversas vezes, pode acontecer do único número restante no quadro ser zero? (Dorichenko, problema 20.7) Exercício 5. (Fomin, capítulo 1, problema 17) Pedro comprou um caderno com 96 folhas e numerou-as de 1 a 192. Vitor arrancou 25 folhas do caderno de Pedro e somou os 50 números que encontrou escritos nas folhas. Esta soma poderia ser igual a 1990? (Exercício 6, página 6, Apostila do PIC Encontros de Aritmética ) (Dica: Um problema muito parecido com este está resolvido no vídeo 20). Exercício 6. (Banco de Questões 2006, nível 1, lista 1, problema 3) Considere dois números naturais, cada um deles com três algarismos diferentes. O maior deles só tem algarismos pares e o menor só tem algarismos ímpares. Se a diferença entre eles é a maior possível, qual é esta diferença? (Exercício 20, página 13, Apostila do PIC Encontros de Aritmética ) Exercício 7. Na divisão de dois números inteiros, o quociente é 16 e o resto é o maior possível. Se a soma do dividendo e do divisor é 125, determine o resto. (Exercício 5, página 31, Apostila do PIC Encontros de Aritmética ) Exercício 8. (Fomin, capítulo 3, problema 10) Um inteiro é dito um quadrado perfeito quando é igual ao quadrado de um inteiro. a) Mostre que se um quadrodo perfeito é divisível por 3, então é divisível por 9. b) Um número escrito com cem algarismos iguais a 0, cem iguais a 1 e cem iguais a 2, pode ser um quadrado perfeito? (Dica para o item b: aplique os critérios de divisibilidade por 3 e por 9) fabiovinicius.mat.br 2 14 de janeiro de 2018

3 Lista de Exercícios do Encontro 2 da 4ª semana do Ciclo 1 Nível 3 Encontros de Aritmética Conteúdo: Máximo divisor comum (mdc), mínimo múltiplo comum (mmc), problemas de aplicação, algoritmo de Euclides para o cálculo do mdc Exercício 1. Em 1982 ocorreu uma conjunção entre os planetas Júpiter e Saturno, o que significa que podiam ser vistos bem próximos um do outro quando avistados da Terra. Admitindo que Júpiter e Saturno dão uma volta completa ao redor do Sol aproximadamente a cada 12 e 30 anos, respectivamente, determine qual foi o ano imediatamente anterior a 1982 em que ocorreu uma conjunção entre os dois planetas. Exercício 2. Quantos números entre 1 e 2012 são múltiplos de 6 ou de 15? (Exercício 22, página 84, Apostila do PIC Encontros de Aritmética ) Exercício 3. Determine a quantidade mínima de placas quadradas que são necessárias para cobrir uma superfície retangular de 12,8 m de comprimento por 9,6 m de largura. (Exercício 25, página 86, Apostila do PIC Encontros de Aritmética ) Exercício 4. Determine o menor número inteiro positivo de três algarismos que é divisível, ao mesmo tempo, por 4, 8 e 12. (Exercício 26, página 87, Apostila do PIC Encontgros de Aritmética ) Exercício 5. Mariana produziu 108 barras de chocolate branco e 162 barras de chocolate ao leite. a) Ela juntou toda a sua produção e colocou 18 barras em cada pacote. Quantos pacotes foram formados? b) Se forem colocadas quantidades iguais em cada pacote, sem misturar os tipos de chocolate, quantas barras, no máximo, poderá haver em cada pacote? Quantos pacotes de chocolate ao leito foram formados? Exercício 6. Vamos supor que precisamos remeter duas encomendas de sabonetes idênticos para dois compradores diferentes. Um pediu 420 sabonetes e o outro pediu 480 sabonetes. Queremos acondicionar os sabonetes em embalagens idênticas que sirvam para atender aos dois pedidos. Quantos sabonetes devem cabar em cada uma das embalagens para que possamos atender as duas demandas utilizando a menor quantidade possível de embalagens? (Exercício 2, página 65, Apostila do PIC Encontros de Aritmética ) Exercício 7. Duas engrenagens A e B têm 16 e 28 dentes, respectivamente. Elas estão encaixadas de modo que um motor ligado à engrenagem A a faz girar no sentido horário e esta faz a engrenagem B girar no sentido anti-horário. Se a engrenagem A realiza uma revolução por minuto, após quanto tempo de o motor ter sido ligado as duas engrenagens retornarão à posição inicial pela primeira vez? (Exercício 6, página 71, Apostila do PIC Encontros de Aritmética ) Exercício 8. Use o Algoritmo de Euclides para calcular mdc(2282, 7063). (Exercício 8, página 100, Apostila do PIC Encontros de Aritmética ) fabiovinicius.mat.br 3 14 de janeiro de 2018

4 Lista das Tarefas de Casa do Encontro 1 da 2ª semana do Ciclo 1 Nível 3 Encontros de Aritmética Conteúdo: Sistema decimal, divisão Euclidiana, múltiplos e divisores e critérios de divisibilidade Tarefa de casa 1. (Prova OBMEP ª Fase N3 Questão 2) A sequência 0, 3, 7, 10, 14, 17, 21, é formada a partir do número 0 somando-se alternadamente 3 ou 4 ao termo anterior, isto é: o primeiro termo é 0, o segundo é 3 mais o primeiro, o terceiro é 4 mais o segundo, o quarto é 3 mais o terceiro, o quinto é 4 mais o quarto e assim sucessivamente. a) Escreva os 20 primeiros termos desta sequência. b) Qual é o 1000º termo desta sequência? c) Algum termo desta sequência é igual a 2000? Por quê? Tarefa de casa 2. (Prova OBMEP ª Fase N3 Questão 2) A figura representa o traçado de uma pista de corrida. Os pontos A, B, C e D são usados para partidas e chegadas de todas as corridas. As distâncias entre pontos vizinhos, em quilômetros, estão indicadas na figura e as corridas são realizadas no sentido indicado pela flecha. Por exemplos, uma corrida de 17 km pode ser realizada com partida em D e chegada em A. a) Quais são os pontos de partida e chegada de um corrida de 14 quilômetros? b) E para uma corrida de 100 quilômetros, quais são esses pontos? c) Mostre que é possível realizar corridas com extensão igual a qualquer número inteiros de quilômetros? fabiovinicius.mat.br 4 14 de janeiro de 2018

5 Tarefa de casa 3. (Prova OBMEP ª Fase Questão 6) Dois grilos, Adonis e Basílio, pulam sempre para a frente; Adonis só dá pulos de 1 cm ou 8 cm e Basílio só dá pulos de 1 cm ou 7 cm. Eles percorrem qualquer distância com o menor número de pulos possível. Por exemplo, Adonis percorre 16 cm com apenas dois pulos de 8 cm cada, enquanto Basílio precisa de quatro pulos, sendo dois de 7 cm e outros dois de 1 cm. Por outro lado, para percorrer 15 cm, Adonis precisa de oito pulos, sendo um de 8 cm e sete de 1 cm, enquanto Basílio precisa de apenas tres pulos, sendo dois de 7 cm e um de 1 cm. Indicando por A(d) e B(d), respectivamente, o número de pulos que Adonis e Basílio dão para percorrer d d centímetros, temos A(15) = 8, B(15) = 3, A(16) = 2 e B(16) = 4. a) Complete a tabela abaixo: d: distância em cm A(d): número de pulos de Adonis B(d): número de pulos de Basílio b) Encontre um número d entre 200 e 240 tal que B(d) < A(d) (isto é, encontre uma distância entre 200 cm e 240 cm tal que, para percorrê-la, Basílio dá menos pulos do que Adonis). c) Encontre o maior número d tal que B(d) = A(d). fabiovinicius.mat.br 5 14 de janeiro de 2018

6 Lista das Tarefas de Sala de Aula do Encontro 2 da 4ª semana do Ciclo 1 Nível 3 Encontros de Aritmética Conteúdo: Paridades, sistema decimal, divisão Euclidiana, múltiplos e divisores e critérios de divisibilidade, Máximo divisor comum (mdc), mínimo múltiplo comum (mmc), problemas de aplicação, algoritmo de Euclides para o cálculo do mdc Valor obtido:... Tarefa de Sala 1. Seja a um número inteiro tal que a + 1 deixa resto 1 na divisão por 3. Explique por que 7a + 4 também deixa resto 1 na divisão por 3. Tarefa de Sala 2. Tenho 84 balas de coco e 144 balas de chocolate. Quero formar saquinhos de balas sem misturas sabores e sem que sobrem balas. Todos os saquinhos devem ter a mesma quantidade de balas, que deve ser a maior possível. Quantas balas devo colocar em cada saquinho e quantos saquinhos de cada tipo de bala devo formar? fabiovinicius.mat.br 6 14 de janeiro de 2018

7 Lista de Exercícios do Encontro 1 da 2ª semana do Ciclo 2 Nível 3 Métodos de Contagem e Probabilidade Conteúdo: Contagem Princípios aditivo e multiplicativo Exercício 1. De quantos modos 4 homens e 4 mulheres podem se sentar em 4 bancos de 2 lugares, sendo que em cada banco deve haver um homem e uma mulher? Exercício 2. O código Morse usa duas letras, ponto e traço. Quantas são as palavras do código Morse de no máximo 4 letras? Exercício 3. Você deseja comprar um computador, mas está em dúvida sobre qual marca, modelo e cor irá escolher. Há apenas duas marcas, que chamaremos de Marca A e Marca B, pelas quais você se interessa. A Marca A tem à disposição três modelos e cada um desses pode ser comprado em quatro possíveis cores. Já a Marca B oferece dois modelos, tais que, para cada um, há duas possíveis escolhas de cor. Quantas opções diferentes de compra você tem? Exercício 4. Quantos algarismos são escritos ao se escreverem os números inteiros de 1 a 100. Exercício 5. De quantos modos diferentes 6 pessoas podem ser colocadas em fila? Exercício 6. Quantos anagramas da palavra CEBOLA começam e terminam por vogal? Exercício 7. Quantos são os números de três algarismos distintos? Exercício 8. Quantos números inteiros positivos pares com quatro algarismos podem ser escritos com os algarismos 0, 1, 2 e 4? fabiovinicius.mat.br 7 14 de janeiro de 2018

8 Lista de Exercícios do Encontro 2 da 4ª semana do Ciclo 2 Nível 3 Métodos de Contagem e Probabilidade Conteúdo: Contagem Probabilidades de eventos de espaços amostrais equiprováveis Exercício 1. Qual a probabilidade de se obter um resultado maior que 3, ao se lançar um dado honesto? Exercício 2. Qual a probabilidade de se obter uma soma igual a 7, ao se lançar três dados honestos? Exercício 3. Qual a probabilidade de se obter uma soma maior que 3, ao se lançar dois dados honestos? Exercício 4. Pedro e João combinaram de lançar uma moeda 4 vezes. Pedro apostou que, nestes 4 lançamentos, não apareceriam 2 caras seguidas; João aceitou a aposta. Quem tem maior chance de ganhar a aposta? Exercício 5. Laura e Telma retiram um bilhete cada de uma urna em que há 100 bilhetes numerados de 1 a 100 (sem reposição). Qual é a probabilidade de que o número retirado por Laura seja maior do que o de Telma? Exercício 6. Em uma urna há 5 bolas vermelhas e 4 pretas, todas de mesmo tamanho e feitas do mesmo material. Retiramos duas bolas sucessivamente da urna, sem repô-las. Qual é a probabilidade de que sejam retiradas duas bolas vermelhas? Exercício 7. Um casal planeja ter exatamente três crianças. Qual a probabilidade de que duas crianças sejam meninos e a outra, menina, sabendo que a probabilidade de nascer filho ou filha é equiprovável? Exercício 8. Em uma caixa há 4 bolas verdes, 4 azuis, 4 vermelhas e 4 brancas. Se tirarmos, sem reposição, bolas desta caixa, uma a uma, qual a probabilidade de tirarmos, nesta ordem, bolas nas cores verde, azul, vermelha e branca? fabiovinicius.mat.br 8 14 de janeiro de 2018

9 Lista das Tarefas de Casa do Encontro 1 da 2ª semana do Ciclo 2 Nível 3 Métodos de Contagem e Probabilidade Conteúdo: Contagem Princípios aditivo e multiplicativo, Probabilidades de eventos de espaços amostrais equiprováveis Tarefa de casa 1. (Prova OBMEP ª Fase N3 Questão 3) Juca quer pintar os algarismos do número 2013, como na figura abaixo, de modo que cada região seja pintada com uma das cores branca, cinza ou preta e que regiões vizinhas tenham cores diferentes. a) Observe que Juca pode pintar o algarismo 2 de maneiras diferentes. De quantas maneiras diferentes ele pode pintar o algarismo 1? b) De quantas maneiras diferentes Juca pode pintar o algarismo 3? c) De quantas maneiras diferentes Juca pode pintar o algarismo 0? d) Escreva uma expressão numérica que permita calcular de quantas maneiras Juca pode pintar o número Tarefa de casa 2. (Prova OBMEP ª Fase N3 Questão 5) Em uma caixa há 10 bolas idênticas, numeradas de 1 a 10. O número de cada bola corresponde a um dos pontos da figura, os quais dividem a circunferência em 10 partes iguais. Nos itens a seguir, considere que as bolas são retiradas ao acaso, uma a uma e sem reposição. a) Se forem retiradas duas bolas, qual é a probabilidade de que o segmento determinado pelos pontos correspondentes seja um diâmetro da circunferência? b) Se forem retiradas três bolas, qual é a probabilidade de que os pontos correspondentes sejam vértices de um triângulo retângulo? Um ângulo inscrito em uma circunferência é reto se, e somente se, o arco correspondente é uma semicircunferência. c) Se forem retiradas quatro bolas, qual é a probabilidade de que os pontos correspondentes sejam vértices de um retângulo? Tarefa de casa 3. (Prova OBMEP ª Fase N3 Questão 5) Em uma caixa há 9 bolas amarelas numeradas de 1 a 9 e, em uma segunda caixa, há 9 bolas brancas, também numeradas de 1 a 9. Todas as bolas são idênticas, exceto por sua cor e seu número. Uma bola amarela é sorteada e colocada na segunda caixa; a seguir, uma bola é sorteada da segunda caixa. a) Qual é a probabilidade de que a bola sorteada da segunda caixa seja amarela? b) Qual é a probabilidade de que as duas bolas sorteadas tenham o mesmo número? c) Qual é a probabilidade de que a bola sorteada da segunda caixa tenha o número 1? fabiovinicius.mat.br 9 14 de janeiro de 2018

10 Lista das Tarefas de Sala de Aula do Encontro 2 da 4ª semana do Ciclo 2 Nível 3 Métodos de Contagem e Probabilidade Conteúdo: Contagem Princípios aditivo e multiplicativo, Probabilidades de eventos de espaços amostrais equiprováveis Valor obtido:... Tarefa de Sala 1. (Banco de Questões Nível 3 - Questão 17) Papai Noel chegou à casa de Arnaldo e Bernaldo carregando dez brinquedos distintos e enumerados de 1 a 10 e disse a eles: o brinquedo número 1 é para você, Arnaldo, e o brinquedo número 2 é para você, Bernaldo. Mas esse ano, vocês podem escolher ficar com mais brinquedos contanto que deixem ao menos um para mim. Diga de quantos modos Arnaldo e Bernaldo podem dividir entre eles o restante dos brinquedos (deixando pelo menos um para Papai Noel). Tarefa de Sala 2. (Banco de Questões Nível 3 - Questão 16) André, Bianca, Carlos e Dalva querem sortear um livro entre si. Para isto, colocam 3 bolas brancas e 1 preta em uma caixa e combinam que, em ordem alfabética de seus nomes, cada um tirará uma bola, sem devolvê-la à caixa. Aquele que tirar a bola preta ganhará o livro. a) Qual é a probabilidade de que André ganhe o livro? b) Qual é a probabilidade de que Dalva ganhe o livro? Para sortear outro livro entre eles, André sugeriu usar 2 bolas pretas e 6 brancas. Como antes, o primeiro que tirar uma bola preta ganhará o livro; se as primeiras quatro bolas saírem brancas, eles continuarão a retirar bolas, na mesma ordem. Nesse novo sorteio: c) Qual é a probabilidade de que Dalva ganhe o livro? fabiovinicius.mat.br de janeiro de 2018

11 Lista de Exercícios do Encontro 1 da 2ª semana do Ciclo 3 Nível 3 Geometria Conteúdo: Ângulo, triângulo, quadrilátero (paralelogramos e trapézios), congruência de triângulos, perímetro e área de triângulos, paralelogramos e trapézios. Exercício 1. (OBMEP 2009 N1Q10 1ª Fase) Na figura, o quadrado ABCD tem área 40 cm 2. Os pontos P, Q, R e S são pontos médios dos lados do quadrado e T é o ponto médio do segmento RS. Qual é a área do triângulo PQT? Exercício 2. (Banco de Questões 2011 N1Q11 Página 15) O Tio Mané é torcedor doente do Coco da Selva Futebol Clube e resolveu fazer uma bandeira para apoiar seu time no jogo contra o Desportivo Quixajuba. Para isto, comprou um tecido branco retangular com 100 cm de largura e 60 cm de altura. Dividiu dois de seus lados em cinco partes iguais e os outros dois em três partes iguais, marcou o centro do retângulo e pintou o tecido da forma indicada na figura. Qual é a área do tecido que Tio Mané pintou? Exercício 3. (Banco de Questões 2011 N1Q12 Página 15) As flores de Geometrix têm formatos muito interessantes. Algumas delas possuem a forma mostrada na figura, na qual há seis quadrados e doze triângulos equiláteros. Uma abelha pousou no ponto destacado e andou sobre a borda da flor no sentido horário até voltar ao ponto inicial. Sabendo que a região cinza tem 24 cm 2 de área, qual é a distância percorrida pela abelha? fabiovinicius.mat.br de janeiro de 2018

12 Exercício 4. (OBMEP 2009 N2Q18 1ª Fase) Na figura, ABCD é um paralelogramo e o segmento EF é paralelo a AB. Qual é a soma das áreas dos triângulos sombreados? Exercício 5. Na figura plana a seguir, sobre o quadrado cinza ABCD com 25 cm 2 de área foi desenhado um losango branco PQCD com 20 cm 2 de área. Determine a área cinza do quadrado que não ficou encoberta pelo losango. Exercício 6. (Banco de Questões 2013 N3Q23) Nos lados AB e BC de um triângulo equilátero ABC, fixam-se dois pontos D e E, respectivamente, de modo que AD = BE. Se os segmentos AE e CD se cortam no ponto P, determine o ângulo APC. Exercício 7. (OBMEP 2006 N3Q3 2ª fase) Na figura, os triângulos ABC e BDE são congruentes e os ângulos BAC e BDE são retos. a) Ache a razão entre a área do triângulo BDF e a área do quadrilátero AEFC. b) Determine a medida do ângulo BFE. Exercício 8. (Banco de Questões 2008 N2Q5 Lista 6) Na figura, o trapézio ABCD é isósceles, AB é paralelo a CD e as diagonais AC e BD cortam-se no ponto P. Se as áreas dos triângulos ΔABP e ΔPCD são 4 cm 2 e 9 cm 2, respectivamente, qual é a área do triângulo ΔPBC? fabiovinicius.mat.br de janeiro de 2018

13 Lista de Exercícios do Encontro 2 da 4ª semana do Ciclo 3 Nível 3 Geometria Conteúdo: Círculo: definição, ângulo central e ângulo inscrito, perímetro e área de círculos. Exercício 1. Na figura a seguir a reta AB é tangente a circunferência de centro O no ponto P. Se Q é um ponto da circunferência tal que QP B = 52, determine a medida do ângulo x = PO Q. Exercício 2. Na figura a seguir, AB é um segmento tangente às circunferências de raio 2 cm e 5 cm. Se o comprimento do segmento AB é igual a 10 cm, determine a distância entre os centros das circunferências. Exercício 3. (Banco de Questões 2016 N2Q4) Duas tangentes são desenhadas de um ponto A a um círculo de centro O, tocandoo em B e C. Seja H o ortocentro do triângulo ABC, sabendo que o ângulo BAC = 40, encontre o valor do ângulo HCO. Exercício 4. (Banco de Questões 2010 N2Q215) A figura a seguir é formada por quatro círculos tangentes de raio a. Determine o comprimento do contorno externo, que está com o traçado destacado. fabiovinicius.mat.br de janeiro de 2018

14 Exercício 5. (Banco de Questões 2010 N3Q72) Na figura, os três círculos são concêntricos, e a área do menor círculo coincide com a área do maior anel, destacado em cinza. O raio do menor círculo é 5 cm e do maior 13 cm. Qual é o raio (em cm) do círculo intermediário? Exercício 6. (OBMEP 2008 N2Q2 Lista 2) Na figura, O é o centro do semicírculo de diâmetro PQ, e RM é perpendicular a PQ. Se o arco PR é o dobro do arco RQ qual é a razão entre PM e MQ? Exercício 7. (OBMEP N3Q8 1ª Fase) A figura mostra um círculo de área 36 cm 2 sobre o qual estão desenhados quatro triângulos equiláteros com um vértice comum no centro do círculo. Qual é a área da região sombreada? Exercício 8. (OBMEP 2006 N3Q12 1ª Fase) Na figura os quatro círculos são tangentes e seus centros são vértices de um quadrado de lado 4 cm. Qual é o comprimento, em centímetros, da linha destacada? fabiovinicius.mat.br de janeiro de 2018

15 Lista das Tarefas de Casa do Encontro 1 da 2ª semana do Ciclo 3 Nível 3 Geometria Conteúdo: Ângulo, triângulo, quadrilátero (paralelogramos e trapézios), congruência de triângulos, perímetro e área de triângulos, paralelogramos e trapézios. Círculo: definição, ângulo central e ângulo inscrito, perímetro e área de círculos. Tarefa de Casa 1. (Prova OBMEP 2008 N3Q4 2ª Fase) Quando um raio de luz incide sobre um espelho plano, ele é refletido de modo a fazer ângulos iguais com o espelho, conforme ilustrado na figura 1. A figura 2 mostra dois espelhos que se encontram formando um ângulo α. Um raio de luz, paralelo ao espelho I, atinge o espelho II no ponto A e é refletido três vezes, até incidir perpendicularmente ao espelho I no ponto D. a) Qual é a medida do ângulo α? b) Seja AB perpendicular ao espelho I, como na figura 2. Se AB = 10 cm, qual é o comprimento de CD? Tarefa de Casa 2. (Prova OBMEP 2015 N3Q5 2ª Fase) Nas figuras, ABC é um triângulo isósceles, retângulo em A. A altura do triângulo em relação à base BC mede 1 e a circunferência de centro O tem raio 1. A circunferência gira, sem deslizar, pela base do triângulo. Ao girar, o ponto de tangência T (da circunferência com a base BC) move-se ao longo do lado BC. A Figura 1 ilustra a situação em que T é o ponto médio de BC. A Figura 2 ilustra uma posição genérica do ponto T. Em ambas as figuras, P e Q são os pontos de interseção dos lados AB e AC, respectivamente, com a circunferência. fabiovinicius.mat.br de janeiro de 2018

16 a) Na situação da Figura 1, quantos graus mede o arco determinado pelos pontos P e Q que contém o ponto T? b) Na situação da Figura 2, seja D o ponto em que o prolongamento do cateto BA intersecta a circunferência. Mostre que AD = AQ. c) Explique por que, para qualquer posição de T, o comprimento do arco determinado pelos pontos P e Q que contém o ponto T é sempre o mesmo. Tarefa de Casa 3. (Prova OBMEP 2011 N3Q6 2ª Fase) Em todas as figuras desta questão, vemos um triângulo ABC dividido em quatro partes; nesses triângulos, D é ponto médio de AB, E é ponto médio de AC e FG mede 1 2 BC. a) Os quadriláteros DJMA e ELNA são obtidos girando de 180 os quadriláteros DHFB e EIGC em torno de D e E, respectivamente. Explique por que os pontos M, A e N estão alinhados, ou seja, por que a medida do ângulo MAN é igual a 180. b) Na figura, o ponto K é a interseção das retas JM e LN. Explique por que os triângulos FGI e MNK são congruentes. Os itens acima mostram que HJKL é um retângulo formado com as quatro partes em que o triângulo ABC foi dividido. c) Mostre que LH = EF. d) Na figura o triângulo ABC tem área 9 e HJKL é um quadrado. Calcule o comprimento de EF. fabiovinicius.mat.br de janeiro de 2018

17 Lista das Tarefas de Sala de Aula do Encontro 2 da 4ª semana do Ciclo 3 Nível 3 Geometria Conteúdo: Ângulo, triângulo, quadrilátero (paralelogramos e trapézios), congruência de triângulos, perímetro e área de triângulos, paralelogramos e trapézios. Círculo: definição, ângulo central e ângulo inscrito, perímetro e área de círculos. Valor obtido:... Tarefa de Sala 1. Na figura, o triângulo ABC e o retângulo PQRS têm a mesma área e a mesma altura 1. Qual é a razão entre AB e PQ? Tarefa de Sala 2. As medidas em graus dos ângulos BAD, DAC, ABD e DBC estão indicadas na figura. O ponto E é a interseção de BC com o prolongamento de AD, e o ponto F é a interseção de AB com a perpendicular a BD por E. a) Qual é a medida do ângulo BDE? b) Mostre que os triângulos ACE e AFE são congruentes. fabiovinicius.mat.br de janeiro de 2018

18 Lista de Exercícios do Encontro 1 da 2ª semana do Ciclo 4 Nível 3 Aritmética Conteúdo: Números primos e fatoração em primos; Cálculo do mdc e mmc usando a fatoração em primos. Exercício 1. Uma empresa de logística é composta de três áreas: administrativa, operacional e vendedores. A área administrativa é composta de 30 funcionários, a operacional de 48 e a de vendedores com 36 pessoas. Ao final do ano, a empresa realiza uma integração entre as três áreas, de modo que todos os funcionários participem ativamente. As equipes devem conter o mesmo número de funcionários de uma mesma área com o maior número possível. Determine quantos funcionários devem participar de cada equipe e o número possível de equipes. Exercício 2. Apresente dois números naturais que multiplicados por 168 e 180, respectivamente, resultam o mesmo número natural. Agora determine os menores números naturais com esta propriedade. Exercício 3. Determine o menor número inteiros n > 1 tal que n deixa resto 1 quando dividido por 156 e n também deixa resto 1 quando dividido por 198. Exercício 4. Mostre que os únicos números primos que dividem o número N = são 2 e 13. Exercício 5. Um médico, ao prescrever uma receita, determina que três medicamentos sejam ingeridos pelo paciente de acordo com a seguinte escala de horários: remédio A, de 6 em 6 horas, remédio B, de 8 em 8 horas e remédio C, de 12 em 12 horas. Caso o paciente utilize os três remédios às 8 horas da manhã, qual será o próximo horário de ingestão simultânea dos mesmos? Exercício 6. Quantos divisores positivos possui o número Exercício 7. Quantos zeros existem no final da representação decimal do número 100!. Exercício 8. Considere p = N 2 1, sendo N um inteiro. Sabendo que p é um número primo, determine o valor de p. (Sugestão: use que N 2 1 = (N 1)(N + 1)). fabiovinicius.mat.br de janeiro de 2018

19 Lista de Exercícios do Encontro 2 da 4ª semana do Ciclo 4 Nível 3 Aritmética Conteúdo: Progressões Aritméticas e Geométricas. Exercício 1. Um jardim tem uma torneira e dez roseiras dispostas em linha reta. A torneira dista 50 metros da primeira roseira e cada roseira dista 2 metros da seguinte. Um jardineiro, para regar as roseiras, enche um balde na torneira e despeja seu conteúdo na primeira. Volta à torneira e repete a operação para cada roseira seguinte. Após regar a última roseira e voltar à torneira para deixar o balde, quantos metros ele terá andado? Exercício 2. Várias tábuas iguais estão em uma madeireira. A espessura de cada tábua é 0,5 cm. Forma-se uma pilha de tábuas colocando-se uma tábua na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já estejam na pilha. Ao final de nove dessas operações, a) quantas tábuas terá a pilha? b) qual será a altura da pilha? Exercício 3. Uma exposição de arte deseja arrecadar fundos para uma creche. No primeiro dia de exposição, 2 pessoas visitaram a exposição. A partir do segundo dia, a cada dia o número de pessoas que visitam a exposição é igual ao dobro do número de pessoas que a visitaram no dia anterior. Se de cada pessoa é cobrado um ingresso de 3,00 reais, qual é o menor número de dias que a exposição deve permanecer aberta a fim de que o total arrecadado atinja pelo menos o valor de 6138,00 reais? Exercício 4. Larga-se uma bola de uma altura de 5 metros. Após cada choque com o solo, ela recupera apenas 4 9 da altura anterior. a) Calcule a distância total percorrida pela bola. b) Sabendo que o tempo que uma bola gasta, partindo do repouso, para cair de uma altura h é igual a 2h g e quando uma bola é lançada do solo verticalmente para cima, o tempo gasto na subida é igual ao tempo da descida, calcule o tempo gasto pela bola até parar, supondo g = 10 m/s 2. (Observação: o item (b) é opcional, ou seja, o professor pode escolher abordar ou não esse item) Exercício 5. Um carro, cujo preço final é 24000,00 reais, pode ser adquirido dando-se uma entrada e o restante em 5 parcelas que se encontram em progressão geométrica. Um cliente que optou por esse plano, ao pagar a entrada, foi informado que a segunda parcela seria de 4000,00 reais e a quarta parcela de 1000,00 reais. Quanto esse cliente pagou de entrada na aquisição desse carro? Exercício 6. Quatro números são tais que os três primeiros formam uma progressão aritmética de razão 6, os três últimos uma progressão geométrica e o primeiro número é igual ao quarto. Determine os quatro números. Exercício 7. Um garrafão contém p litros de vinho. Retira-se 1 litro de vinho do garrafão e acrescenta-se 1 litro de água, obtendo-se uma mistura homogênea; retira-se, a seguir, 1 litro da mistura e acrescenta-se 1 litro de água, e assim por diante. Qual a quantidade de vinho que restará no garrafão após n dessas operações? Exercício 8. Calcule a soma dos divisores positivos de fabiovinicius.mat.br de janeiro de 2018

20 Lista das Tarefas de Casa do Encontro 1 da 2ª semana do Ciclo 4 Nível 3 Aritmética Conteúdo: Números primos e fatoração em primos; Cálculo do mdc e mmc usando a fatoração em primos. Progressões Aritméticas e Geométricas. Tarefa de casa 1 (Prova OBMEP a Fase N3 Questão 6) Capitu cortou uma folha de papel retangular em 9 quadrados de lados 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 e 18 centímetros cada um. a) Qual era a área da folha antes de ser cortada? b) Quais eram as medidas da folha antes de ser cortada? c) Capitu precisa montar a folha de novo. Ajude-a mostrando, com um desenho, como fazer esta montagem. Tarefa de casa 2 (Prova OBMEP a Fase N3 Questão 1) Uma calculadora diferente tem apenas as teclas numéricas de 0 a 9 e duas teclas especiais A e B. Quando a tecla A é apertada, o número que aparece no visor é elevado ao quadrado; quando a tecla B é apertada, soma-se 3 ao número que aparece no visor. Nessa calculadora é possível obter 22 a partir do 1 apertando as teclas A e B na ordem BABB como ilustrado abaixo: a) Com o 3 no visor, qual é o número que vai aparecer apertando as teclas A e B na ordem BBAB? b) Mostre como obter 55 a partir do 1 usando as teclas A e B. c) Explique por que não é possível obter 54 a partir do 2 usando as teclas A e B. Tarefa de casa 3 (Prova OBMEP a Fase N3 Questão 6) Uma figura é construída por fileiras horizontais de quadradinhos 1 1, dispostos lado a lado, sem sobreposição e sem espaçamento. Cada fileira, com exceção da primeira, está encostada inteiramente na fileira de baixo. A primeira fileira possui um número ímpar de quadradinhos e cada uma das demais possui dois quadradinhos a menos do que a fileira imediatamente abaixo. A última fileira sempre contém um único quadradinho. Abaixo, vemos uma figura na qual a primeira fileira contém 11 quadradinhos. a) Encontre a área e o perímetro de uma figura com 13 quadradinhos na primeira fileira. b) Mostre que, independentemente do número de quadradinhos da primeira fileira, o número total de quadradinhos de uma figura é o quadrado de um número natural. c) Mostre que, independentemente do número de quadradinhos da primeira fileira, a área A e o perímetro p da fi gura satisfazem a igualdade (p + 2) 2 = 36A. fabiovinicius.mat.br de janeiro de 2018

21 Lista das Tarefas de Sala de Aula do Encontro 2 da 4ª semana do Ciclo 4 Nível 3 Aritmética Conteúdo: Números primos e fatoração em primos; Cálculo do mdc e mmc usando a fatoração em primos. Progressões Aritméticas e Geométricas. Valor obtido:... Tarefa de Sala 1. Determine o menor inteiro positivo n para que 2940n = m 3, para algum inteiro m. Tarefa de Sala 2. Sendo (40, x, y, 5) uma progressão geométrica de razão q e (q, 8 a, aritmética, determine o valor de a. 7 2 ) uma progressão fabiovinicius.mat.br de janeiro de 2018

22 Lista de Exercícios do Encontro 1 da 2ª semana do Ciclo 5 Nível 3 Geometria Conteúdo: Teorema de Tales, Semelhança de triângulos, Teorema de Pitágoras. Exercício 1. Determine o valor de x na figura abaixo, sabendo que a reta r é paralela à reta s e que a reta s é paralela à reta t. Exercício 2. Na figura abaixo, determine as medidas de x e y, sabendo que AR é bissetriz do triângulo ABC e que BC = 15. Exercício 3. Três terrenos têm frente para a rua A e para a rua B, como na figura abaixo. As divisas laterais são perpendiculares à rua A. Qual a medida de frente de cada lote para a rua B, sabendo que a frente total para essa rua tem 180 m? fabiovinicius.mat.br de janeiro de 2018

23 Exercício 4. Determine se os triângulos KLM e MPQ, definidos na figurar que segue, são semelhantes. Exercício 5. Na figura abaixo, BC = 12 cm e AH = 8 cm, sendo AH altura do triângulo ABC. Determine o lado do quadrado MNPQ. Exercício 6. Sabendo que AB = 15, BC = 20, AD = 10 e DC = 15, determine a medida de DE na figura abaixo. Exercício 7. O triângulo ABC é retângulo em A. Sua hipotenusa mede 15 cm e um dos catetos é 3 cm maior do que o outro. Uma das bissetrizes internas de ABC intersecta o maior cateto (AC) no ponto D. Determine a medida do segmento BD. Exercício 8. Na figura abaixo, temos AC = CB = 10 cm, AB = 6 cm e AM = MB. Além disso, a altura BH tangencia a semicircunferência com centro em M. Determine o raio dessa semicircunferência. fabiovinicius.mat.br de janeiro de 2018

24 Lista de Exercícios do Encontro 2 da 4ª semana do Ciclo 5 Nível 3 Geometria Conteúdo: Volume do bloco retangular e Exemplos de cálculos de áreas e perímetros. Exercício 1. A parte superior de um palco tem a forma de um trapézio isósceles com 112 m de perímetro e cujos lados paralelos medem 24 m e 48 m. Se a superfície do palco for inteiramente revestida de uma camada de borracha, ao preço de R$ 13,00 o metro quadrado. Qual é o valor final da obra? Exercício 2. Na figura que segue temos um quadrilátero ABCD, no qual AB = 6 cm, AD = 8 cm, CD = 24 cm. Além disso, o segmento AB é perpendicular ao segmento AD e o segmento BD é perpendicular ao segmento CD. Determine o perímetro do quadrilátero ABCD. Exercício 3. Aumentando em 10% o comprimento de um retângulo e diminuindo em 10% sua largura, determine sua nova área, sabendo que a área inicial era 100 cm². Exercício 4. O retângulo da figura foi repartido por meio de três segmentos em várias regiões, algumas retangulares e outras triangulares. A linha não paralela aos lados é uma diagonal e os números indicam as áreas em m² das regiões brancas em que se encontram. Qual é a do retângulo original? fabiovinicius.mat.br de janeiro de 2018

25 Exercício 5. No desenho abaixo, as retas r e s são paralelas. Se o segmento IJ é o dobro do segmento EG, determine a razão entre as áreas dos triângulos FEG e HIJ. Exercício 6. No desenho abaixo, a área do triângulo ABD é 30 m² e a área do triângulo ADC é 10 m². Determine a razão entre os comprimentos dos segmentos BD e DC. Exercício 7. Determine a aresta de um cubo cujo volume é oito vezes o volume de um cubo que tem aresta medindo 2 cm. Exercício 8. No cubo da figura abaixo, cuja aresta mede 30 cm, estão uma formiga e uma abelha no ponto A. As duas partem na direção do ponto B, sendo que a abelha voa em uma linha reta e a formiga vai andando pela superfície passando antes pelo ponto C que é ponto médio da aresta. Qual a distância percorrida pela abelha e pela formiga? fabiovinicius.mat.br de janeiro de 2018

26 Lista das Tarefas de Casa do Encontro 1 da 2ª semana do Ciclo 5 Nível 3 Geometria Conteúdo: Teorema de Tales, Semelhança de triângulos, Teorema de Pitágoras, Volume do bloco retangular e Exemplos de cálculos de áreas e perímetros. Tarefa de casa 1 (Prova OBMEP a Fase N3 Questão 6) Uma folha de papel retangular ABCD de 12 cm por 16 cm (figura 1) é cortada ao longo da diagonal AC (figura 2). O triângulo ABC é dobrado pelo segmento BM (figura 3), sendo M o ponto de encontro das diagonais do retângulo ABCD. Finalmente, é feita uma dobra ao longo de MP, onde P é escolhido de modo que CM coincida com AM (figura 4). a) Explique porque o ângulo BMP na figura 4 é reto. b) Mostre que o triângulo PMB da figura 4 é semelhante ao triângulo ABC da figura 2. c) Calcule a área do triângulo BMP da figura 4. d) Calcule a área do quadrilátero ABMP da figura 4. Tarefa de casa 2 (Prova OBMEP a Fase N3 Questão 4, itens a e b) Na figura, os lados do triângulo DEF são paralelos aos lados do triângulo retângulo ABC. Os pontos H, D, F e G estão alinhados e 0 x 5. a) Calcule o comprimento de GH em função de x. b) Mostre que CG = FG = 5x 4 cm. fabiovinicius.mat.br de janeiro de 2018

27 Tarefa de casa 3 (Prova OBMEP a Fase N3 Questão 1) Quincas Borba uniu quatro blocos retangulares de madeira, cada um com 4 cm de comprimento, 1 cm de largura e 1 cm de altura, formando o objeto mostrado na figura. a) Qual é o volume deste objeto? b) Quantas arestas tem este objeto? c) Qual a área da superfície deste objeto? fabiovinicius.mat.br de janeiro de 2018

28 Lista das Tarefas de Sala de Aula do Encontro 2 da 4ª semana do Ciclo 5 Nível 3 Geometria Conteúdo: Teorema de Tales, Semelhança de triângulos, Teorema de Pitágoras, Volume do bloco retangular e Exemplos de cálculos de áreas e perímetros. Valor obtido:... Tarefa de Sala 1. Num triângulo ABCD, os lados AB e BC medem 20 cm e 12 cm, respectivamente. Sejam M o ponto médio do lado AB e E o ponto de interseção da diagonal BD de ABCD com o segmento de reta CM. Seja F o ponto do lado AB tal que a reta EF seja perpendicular ao lado AB. a) Mostre que BF = 5 EF e FM = 5 EF. b) Calcule o comprimento do segmento de reta EF. 3 6 Tarefa de Sala 2. As bases BC e AD do trapézio isósceles ABCD da figura abaixo medem 9 cm e 4 cm, respectivamente. O lado CD de ABCD mede 34 cm. a) Calcule a medida do lado AB de ABCD. b) Calcule a medida da diagonal BD de ABCD. fabiovinicius.mat.br de janeiro de 2018

29 Lista de Exercícios do Encontro 1 da 2ª semana do Ciclo 6 Nível 3 Álgebra Conteúdo: Fatoração de expressões algébricas, identidades algébricas notáveis, equações e inequações lineares, sistemas de duas equações lineares em duas variáveis. Exercício 1. O preço a ser pago por um corrida de táxi inclui uma parcela fixa, denominada bandeirada, e uma parcela que depende da distância percorrida. Se a bandeirada custa R$ 3,50 e cada quilômetro rodado custa R$ 0,50, determine que distância pode-se percorrer com um valor entre R$ 20,00 e R$ 30,00. Exercício 2. Em um teste de 25 questões, cada acerto vale 4 pontos e cada erro vale 1 ponto. Daniel respondeu todas as questões e marcou 65 pontos. Quantas questões ele acertou? Exercício 3. Em um complexos de salas de cinema, há um dia da semana em que os ingressos têm preços reduzidos de modo que o preço da meia entrada é igual a R$ 7,50 e o preço da inteira é igual a R$ 15,00. Sabendo que, em uma determinada sessão desse dia, foram ocupados 240 lugares e foram arrecadados R$ 2.370,00, qual é o número de espectadores de cada categoria de ingresso? Execício 4. O que é maior, ou ? Qual é a diferença entre eles? (Dica: primeiro, compare os números e ) Exercício 5. Quais são os valores de x que satisfazem 1 x 2 4? Exercício 6. Encontre os valores positivos de x que satisfazem (Banco de Questões 2006, nível 3, lista 9, questão 1) Exercício 7. Seja n inteiro positivo e considere Calcule o valor de f(1) + f(2) + f(3) + + f(40). (Banco de Questões 2011, nível 3, questão 83) (x 1) (x 2) (x 3) < 0. f(n) = 4n + 4n2 1 2n n 1 Exercício 8. A diferença de idade entre dois irmãos é de três anos. Um ano atrás, a idade do pai desses irmãos era o dobro da soma das idades dos irmãos e, dentro, de vinte anos, a idade do pai será a soma das idades desses dois irmãos. Qual é a idade de cada um dos irmãos? (Banco de Questões 2010, níveo 3, questão 199) fabiovinicius.mat.br de janeiro de 2018

30 Lista de Exercícios do Encontro 2 da 4ª semana do Ciclo 6 Nível 3 Funções Conteúdo: Coordenadas no plano, conceito de função e seu gráfico, proporcionalidade e porcentagem, função afim e seu gráfico. Exercício 1. Usando 9 caminhões basculantes por 12 horas diárias, uma empresa costuma transportar 216 toneladas de terra por dia para a construção de uma enorme barragem. Como a empreiteira que administra a obra está interessada em acelerar o trabalho, a empresa terá que passar a transportar 272 toneladas diárias. Por outro lado, em virtude de um acordo com o sindicato dos motoristas, a empresa deverá operar os caminhões por 8 horas por dia. Diariamente, quantos caminhões devem ser usados para transportar terra à barragem? Exercício 2. Dois caminhões-tanque carregam o mesmo volume de misturas de álcool e gasolina. A mistura de contém 3% de álcool, e a do outro, 5% de álcool. Os dois caminhões descarregam suas cargas em um reservatório que estava vazio. Qual é a razão do volume de álcool para o de gasolina na mistura formada no reservatório, após os caminhões terem descarregado? Exercício 3. De modo geral, a lei que rege as transações comerciais é V = L + C, onde V é o preço de venda do produto, C é o custo do produto e L é o lucro obtido na transação. Para produzir um objeto, uma firma tem o custo de R$ 1,20 por unidade. Além disso, há um custo fixo de R$ 4000,00, independente da quantidade produzida. O preço de venda é de R$ 2,00 por unidade. Admitindo que todas as unidades produzidas são vendidas, qual é o número mínimo de unidades que devem ser produzidas partir do qual a firma começa a ter lucro? Exercício 4. O valor total cobrado por um eletricista A inclui uma parte fixa, como visita, transporte, etc., e outra que depende da quantidade de metros de fio requerida pelo serviço. O gráfico abaixo representa o valor do serviço efetuado em função da quantidade de fio utilizada, em metros. a) Qual é o valor da parte fixa cobrado pelo eletricista A? b) O preço cobrado por um eletricista B depende unicamente do número de metros de fio utilizado, não sendo cobrada a parte fixa. Se o preço do serviço é de R$ 4,50 por metro de fio utilizado, a partir de quantos metros deve o consumidor preferir o eletricista A ao eletricista B? fabiovinicius.mat.br de janeiro de 2018

31 Exercício 5. Uma piscina vazia foi abastecida de água por duas torneiras A e B, ambas com vazão constante. Durante 4 horas, as duas torneiras ficaram abertas e encheram 50% da piscina. Em seguida, a torneira B foi fechada e durante 2 horas a torneira A encheu 15% do volume da piscina. Após este período a torneira A foi fechada e a torneira B aberta. Durante quanto tempo esta torneira teve de ficar aberta para que ela sozinha terminasse de encher a piscina? (Banco de Questões 2009, nível 3, lista 4, questão 1) Exercício 6. Se 15% dos membros de uma população foram afetados por uma doença e 8% dos afetados morreram, qual é a porcentagem da mortalidade em relação à população inteira? (Banco de Questões 2010, nível 3, questão 94) Exercício 7. Um carro é denominado flex se ele pode ser abastecido com gasolina ou com álcool. Considere que os preços do álcool e da gasolina sejam, respectivamente, R$ 1,59 e R$ 2,49 por litro. a) Suponha que um carro flex rode 12,3 km por litro de gasolina, que indicamos 12,3 km/l. Qual deve ser a relação km/l desse carro, para o álcool, para que a utilização do álcool seja financeiramente mais vantajosa que a de gasolina? b) Se o desempenho de um carro flex é de x km/l com gasolina e de ( x + 1) km/l com álcool, escreva a expressão 2 da função g(x) que fornece o custo desse carro rodar 100 km utilizando gasolina e a expressão da função a(x) que fornece o custo desse carro rodar 100 km utilizando álcool. c) Para que o custo seja o mesmo, tanto com álcool como com gasolina, qual deve ser a relação km/l para a gasolina e para o álcool? d) Em que condição o uso do álcool é mais vantajoso, financeiramente, que o da gasolina? Dê um exemplo numérico que satisfaça a condição. (Banco de Questões 2009, nível 3, lista 3, questão 1) Exercício 8. Uma formiga anda sobre o contorno de um retângulo ABCD. Ela parte do ponto A, anda 20 cm até chegar em B, depois anda mais 10 cm até chegar em C e finaliza seu trajeto em D. Após andar x centímetros, a formiga está em um ponto F do contorno. a) Quantos centímetros a formiga anda em seu trajeto de A até D? b) Calcule a área do triângulo ADF quando x = 22 cm. c) Qual é a maior área possível para um triângulo ADF? d) Esboce, no plano cartesiano Oxy, o gráfico da função que associa ao comprimento x o valor da área do triângulo ADF. (Prova da 2ª Fase da OBMEP, 2014, questão 2) fabiovinicius.mat.br de janeiro de 2018

32 Lista das Tarefas de Casa do Encontro 1 da 2ª semana do Ciclo 6 Nível 3 Álgebra e Funções Conteúdo: Fatoração de expressões algébricas, identidades algébricas notáveis, equações e inequações lineares, sistemas de duas equações lineares em duas variáveis. Coordenadas no plano, conceito de função e seu gráfico, proporcionalidade e porcentagem, função afim e seu gráfico. Tarefa de casa 1 (Prova OBMEP a Fase N3 Questão 2, itens a e c) Um número inteiro n é simpático quando existem inteiros positivos a, b e c tais que a < b < c e n = a 2 + b 2 c 2. Por exemplo, os números 1 e 2 são simpáticos, pois 1 = e 2 = a) Verifique que (3x + 1) 2 + (4x + 2) 2 (5x + 2) 2 é igual a 2x + 1, qualquer que seja x. b) Mostre que o número 4 é simpático. Tarefa de casa 2 (Prova OBMEP a Fase N3 Questão 3) A figura mostra um polígono ABCDE em que todos os lados, exceto AE, são horizontais ou verticais e têm os comprimentos indicados na figura. Considere, agora, uma reta vertical distante x do vértice A, com 0 < x 5. Ela divide o polígono ABCDE em dois polígonos, um situado à direita da reta e outro à esquerda. Considere a função f que associa a cada valor de x o perímetro do polígono situado à esquerda da reta. Por exemplo, f(3) é o perímetro do triângulo AHE, enquanto f(5) é o perímetro do polígono ABCDE. a) Calcule f(3). b) Calcule f(5). c) Escreva as expressões de f(x) para 0 < x 3 e para 3 < x 5. d) Esboce o gráfico da função f. Tarefa de casa 3 (Prova OBMEP a Fase N3 Questão 3) Numa certa cidade existem apenas duas empresas de táxi, a Dona Leopoldina e a Dom Pedro II. A Dona Leopoldina cobra uma taxa fixa de R$ 3,00 mais R$ 0,50 por quilômetro rodado. Já a Dom Pedro II cobra uma taxa fixa de R$ 1,00 mais R$ 0,75 por quilômetro rodado. Os amigos Bento, Sofia e Helena trabalham nessa cidade e sempre voltam de táxi do trabalho para casa. Para pagar menos, Helena sempre usa os táxis da Dona Leopoldina e, pelo mesmo motivo, Bento só usa os da Dom Pedro II. Sofia usa os táxis das duas empresas, porque paga o mesmo preço em ambas. a) Quanto Sofia paga para ir de táxi do trabalho para casa? b) Qual dos três amigos percorre, de táxi, a menor distância entre seu trabalho e sua casa? fabiovinicius.mat.br de janeiro de 2018

33 Lista das Tarefas de Sala de Aula do Encontro 2 da 4ª semana do Ciclo 6 Nível 3 Álgebra e Funções Conteúdo: Fatoração de expressões algébricas, identidades algébricas notáveis, equações e inequações lineares, sistemas de duas equações lineares em duas variáveis. Coordenadas no plano, conceito de função e seu gráfico, proporcionalidade e porcentagem, função afim e seu gráfico. Valor obtido:... Tarefa de Sala 1. Durante o período de exibição de um filme, foram vendidos 2000 bilhetes, e a arrecadação foi de R$ 7600,00. O preço do bilhete para adulto era de R$ 5,00 e, para criança, era de R$ 3,00. Calcule as quantidades de crianças e de adultos que assistiram ao filme nesse período. Tarefa de Sala 2. Em um açougue o preço do quilograma de um tipo de carne é R$ 4,00. Durante certo período foi feita a seguinte promoção: Na compra de uma quantia maior do que 3 kg e menor do que 5 kg, desconto de R$ 1,00 no total. Na compra de 5 kg ou mais, desconto de 10%. a) Determine a quantia a ser paga na compra de 2 kg, 4 kg e 5 kg. b) Determine a expressão da quantia Q(x), em reais, a ser paga em função da quantidade x de quilogramas comprados, nos casos x 3, 3 < x < 5 e x 5. c) Esboce o gráfico de Q(x). d) Determine a quantidade de carne que se pode comprar com R$ 17,00. fabiovinicius.mat.br de janeiro de 2018

34 Lista de Exercícios do Encontro 1 da 2ª semana do Ciclo 7 Nível 3 Álgebra Conteúdo: Equações e inequações quadráticas Exercício 1. Sejam a e b números inteiros positivos tais que a > b. O professor Fernando disse ao aluno Raul que se ele calculasse o número A = a 2 + 4b + 1, o resultado seria um quadrado perfeito. Raul, por engano, trocou os números a e b e calculou o número B = b 2 + 4a + 1 que, por acaso, também é um quadrado perfeito. a) Mostre que A = (a + 1) 2. b) Encontre os números a, b, A e B. (Banco de Questões 2014, nível 3, questão 22) Exercício 2. Riquinho distribuiu R$ 1000, 00 reais entre os seus amigos: Antônio, Bernardo e Carlos da seguinte maneira: deu, sucessivamente, 1 real ao Antônio, 2 reais ao Bernardo, 3 reais ao Carlos, 4 reais ao Antônio, 5 reais ao Bernardo, etc. Quanto que o Bernardo recebeu? (Banco de Questões 2007, Lista 3, nível 3, questão 5) Exercício 3. Se 3 e 1/3 são as raízes da equação ax 2 6x + c = 0, qual é o valor de a + c? (a) 1 (b) 0 (c) 9 (e) 5 (Banco de Questões 2010, nível 3, questão 16) 5 Exercício 4. Duas partículas, A e B, percorrem uma circunferência de 120m de comprimento. A partícula A gasta 3 segundos menos que B, por estar animada com uma velocidade maior de 2 metros por segundo. Qual é a velocidade de cada partícula? (Banco de Questões 2007, Lista 8, nível 3, questão 1) (d) 18 5 Exercício 5. Na equação x 2 + px + q = 0, os coeficientes p e q podem assumir quaisquer valores do intervalo [ 1,1]. Quais são os possíveis valores das raízes de tal equação? (Banco de Questões 2015, nível 3, questão 32) Exercício 6. Resolva em R a equação x x 2 6x + 10 = 5. (Banco de Questões 2015, nível 3, questão 36) Exercício 7. Qual o menor valor da fração x4 +x 2 +5 (x 2 +1) 2? (Banco de Questões 2016, nível 3, questão 20) Exercício 8. No dia de seu aniversário em 2006, o avô de Julia disse a ela: Eu nasci no ano x 2 e completei x anos em Quantos anos eu completo hoje? A resposta certa é: (a) 61 (b) 64 (c) 67 (d) 70 (e) 72 fabiovinicius.mat.br de janeiro de 2018

35 Lista de Exercícios do Encontro 2 da 4ª semana do Ciclo 7 Nível 3 Funções Conteúdo: Funções quadráticas e seus gráficos Exercício 1. A função f está definida para cada y, 0 y < 2, de modo que f(y) = área do quadrilátero sombreado, como indicado na figura abaixo. (a) Escreva as equações das retas r e s. (b) Determine f(0). (c) Escreva a expressão de f(y), 0 y < 2. (d) Esboce o gráfico de f(y). (Banco de Questões 2009, Lista 7, nível 3, questão 4) Exercício 2. Para castigar os alunos de sua turma por indisciplina, o professor Zerus decidiu descontar da nota mensal de cada aluno uma percentagem igual à nota da prova, isto é: quem tirou 60, terá um desconto de 60% na nota, quem tirou 20, um desconto de 20% da nota, e assim por diante. A nota mensal máxima é 100. (a) Quem vai ficar com a maior nota? (b) E a menor? (c) Alunos que tiraram boas notas reclamaram que vão ficar com a mesma nota dos que tiraram más notas. Eles estão certos? (Banco de Questões 2009, Lista 7, nível 3, questão 1) Exercício 3. O quadrado ABCD desenhado na figura abaixo tem lado 3 cm. Os pontos P e Q podem ser deslocados sobre os segmentos AB e AD respectivamente de forma que o comprimento do segmento AP meça a metade do comprimento do segmento AQ. a) Determine o valor da área do quadrilátero hachurado em função do comprimento do segmento AB. b) Determine a área máxima que o quadrilátero hachurado pode assumir. (Banco de Questões 2014, nível 3, questão 9) fabiovinicius.mat.br de janeiro de 2018

36 Exercício 4. Uma bola, ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de futebol, teve sua trajetória descrita pela equação h(t) = 2t² + 8t (t 0), onde t é o tempo medido em segundo e h(t) é a altura em metros da bola no instante t. Determine, apos o chute: a) o instante em que a bola retornará ao solo. b) a altura atingida pela bola. Exercício 5. Calcule o valor de k de modo que a função f(x) = 4x² 4x k não tenha raízes, isto é, o gráfico da parábola não possui ponto em comum com o eixo x. Exercício 6. Um móvel realiza um MUV obedecendo à função f(t) = 2t 2 18t + 36, sendo s medido em metros e t em segundos. Em que instante o móvel muda de sentido? Exercício 7. Seja a função quadrática representada no gráfico: Essa função é dada por: (a) 1 4 x2 + x (b) x 2 + 4x (c) (d) 1 4 x2 x 1 2 x2 2x Exercício 8. Determine para que valores de p, o gráfico da função real definida por f(x) = px² 4x + p intercepte o eixo dos x em dois pontos distintos. fabiovinicius.mat.br de janeiro de 2018