Resoluções. Aula 1 NÍVEL 2. Classe

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1 Treinamento para Olimpíadas de Matemática NÍVEL 2 Resoluções Aula 1 Classe 1. Observe que: 14 1 = = par termina em 6 e 14 ímpar termina em = = Assim, termina em 4 e termina em 6. Resposta: 6 2. O período da sequência (ABAABBAAABBB ABAABBAAABBB...) tem doze elementos e a letra B aparece 6 vezes em cada um. Veja que = Portanto, o º- B ocupa a décima primeira posição no período. Assim, a posição do º- B na sequência é igual a = Resposta: Ocupa a posição 4019º-. 3. A sequência é igual a ( ). Os primeiros 11 elementos não são periódicos. A partir do décimo segundo termo inicia-se a parte periódica, cujo período é e que tem 8 elementos. Veja que 11 = 1998 e que 1998 = Portanto, o º- ocupa a sexta posição do período, ou seja, é igual a 6.. Casa 1. O algarismo da unidade de 42 é o mesmo de 2 e o de 53 é o mesmo de 3. Veja que: 2 1 = = = = = = = = = = = = = = 81 Se considerarmos as sequências das unidades dos números acima, vemos que ambas tem período com 4 elementos. = Assim, 42 e 53 terminam, respectivamente, em 2 e 3. Logo termina em 5, pois = 5. Resposta: A soma tem unidade Observe que são 8 fios de apoio que a aranha utiliza, numerados a partir do fio A iniciando com 0. Logo: sobre o fio A aparecem os múltiplos de 8 sobre o fio B aparecem os (múltiplos de 8) + 1 sobre o fio C aparecem os (múltiplos de 8) + 2 sobre o fio D aparecem os (múltiplos de 8) + 3 sobre o fio E aparecem os (múltiplos de 8) + 4 SISTEMA ANGLO DE ENSINO 1 Treinamento para Olimpíadas de Matemática

2 sobre o fio F aparecem os (múltiplos de 8) + 5 sobre o fio G aparecem os (múltiplos de 8) + 6 sobre o fio H aparecem os (múltiplos de 8) + 7 Na divisão de 118 por 8 encontramos resto 6, o que significa que 118 = (múltiplo de 8) + 6. Portanto, 118 está sobre o fio G. 3. O período da sequência é igual a ABCDEDCBA, tem 9 elementos. = , temos que a º- letra é B. 4. Todos os números da primeira coluna deixam resto 1, quando divididos por 4. Como 2200 = 4 500, temos que subtraindo 3 unidades de 2200, teremos um número que dividido por 4 deixa resto 1, de fato, 2197 = Assim, podemos concluir que 2197 é um elemento da primeira coluna e daí, escrevendo os demais elementos da linha em que se encontra esse elemento, temos: 1ª- col. 2ª- col. 3ª- col. 4ª- col. 5ª- col E daí concluímos que 2200 está na quarta coluna. Resposta: Quarta coluna. 5. Inicialmente observe que para sair do canal 2 e ir para o canal 42 avançamos 41 posições, ou seja, o período 2,3,4,5,...,42 tem 41 elementos. Como = 41 49, concluímos que a televisão continuará sintonizada no canal 15. Resposta: canal 15. obs: se houvesse avançado 2010 vezes, então a televisão estaria sintonizada no canal 16, pois 2010 = A sequência gerada é (5; 0,25; 0,8; 5; 0,25; 0,8; 5;...), cujo tem período contém três elementos. Como = , o número que aparece no visor é 0, Os primeiros termos dessa seqüência são: 1, 3, 7, 15, 13, 9, 19, 21, 7, 15,..., de onde vemos que seu período começa do terceiro termo e contém 6 elementos. Assim, a 31 = a 25 = a 19 = a 13 = a 7 = 19 e então a 32 = 21, a 33 = 7, a 34 = 15 e a 35 = 13. A soma tem valor = Vamos observar o comportamento dos primeiros saltos da pulga: Observe que o movimento é periódico: 1 primeiro salto: vai até o número 2 segundo salto: vai até o número 4 terceiro salto: vai até o número 1 5 quarto salto: retorna ao número 2 e o processo se repete. Podemos concluir que: saltos posição número 2 : 1º- 4º- 7º- 10º posição número 4 : 2º- 5º- 8º- 11º-... posição número 1 : 3º- 6º- 9º- 12º-... = Portanto, a pulga estará no ponto 2. Resposta: ponto A sequência é (98, 49, 45, 40, 20, 10, 5, 45, 40, 20, 10, 5, 45,...) e a partir do terceiro elemento é periódica. Seu período é (45, 40, 20, 10, 5), formado por 5 elementos. Assim, 2 = 2007 e 2007 = Logo, o º- termo da sequência é o 40. Resposta: 40 SISTEMA ANGLO DE ENSINO 2 Treinamento para Olimpíadas de Matemática

3 10. Na primeira linha estão os números inteiros que divididos por 8 tem resto 3; na segunda linha os de resto 2 ou 6; na terceira, os de resto 1 ou 5; na quarta, os de resto 0 ou 4 e na quinta, os de resto 7. Como = 7 287, isto é, tem resto 0 quando dividido por 8, o número ocupa a linha 4. Resposta: linha 4. Raciocício lógico: a) Falsa (há 16 do lado direito e 20 do esquerdo) b) Verdadeira (há 9 do lado direito e 6 do esquerdo) c) Falsa (há 45) d) Falsa (há 5 do lado direito e 4 do esquerdo) e) Falsa (há 15). Aula 2 Classe 1. Um número divisível por 198 é divisível por 2, 9 e por 11. Logo, (I) 2/N, N é par e b {0, 2, 4, 6, 8}. (II) Se a539984b é divisível por 9, então a b = a + b + 38 é múltiplo de 9. Sendo 1 a 9 e 0 b 9, temos que 39 a + b Os possíveis valores para a + b são 7 e 16. (III) Se a539984b é divisível por 11, então (b ) ( a) = b a + 6 é múltiplo de 11. Sendo 1 a 9 e 0 b 9, temos que 3 b a Os possíveis valores para b a são 6 e 5. Portanto, de (I), (II) e (III), a + b = 7 e b a = 5, que resulta em a = 1 e b = 6. Observe que, se a + b = 16 e b a = 6 teremos b = 5 que não convém por (I). Assim, N = e a soma de seus algarismos = 45. Observação: Lembre-se de que (a + b) e (b a) tem mesma paridade. Desta forma, as opções do sistema nesse exercício são apenas as duas apresentadas. 2. Dado que o produto (2A5) (13B) é divisível por 36, então é divisível por 4 e 9. Como 2A5 é ímpar, 4 tem de ser divisor de 13B. Logo, 3B tem que ser múltiplo de 4, então B = 2 ou B = 6. Se B = 2, 132 é divisível por 3, porém não é por 9. Logo, para que o produto (2A5) (13B) seja divisível por 9, é necessário que 2A5 seja divisível por 3. Assim, 2 + A + 5 é múltiplo de 3, de onde tiramos que A = 2, ou A = 5 ou A = 8. Se B = 6, temos que 3 não divide 136. Logo, para que o produto (2A5) (13B) seja divisível por 9, é necessário que 2A5 seja divisível por 9. Assim, a soma 2 + A + 5 é múltiplo de 9, de onde obtemos que A = 2. Dessa forma, os quatro pares são (2,2), (5,2), (8,2) e (2,6). Casa 1. O número 6a78b é divisível por 5 e 9. Todo número divisível por 5 termina em 0 ou 5. Assim, b = 0 ou b = 5. Todo número divisível por 9 tem como a soma dos seus algarismos um número múltiplo de 9. Logo, temos que 6 + a = 21 + a ou 6 + a = 26 + a são múltiplos de 9. Donde, a = 6 ou a = 1, respectivamente. Daí temos: a + b = ou a + b = = Para ser divisível por 6, o número deve ser par. Logo, devemos ocupar o último quadrado com o número 8. Se o número deve ser divisível por 6, então ele também é divisível por 3, assim como a soma de seus digítos. Dessa forma, o próximo número a ser colocado só pode ser o 5, pois = 31 não é divisível por 3, enquanto que = 27 é. Para formar o maior número possível, o 5 deve ser colocado no primeiro quadrado, obtendo-se assim o número Resposta: SISTEMA ANGLO DE ENSINO 3 Treinamento para Olimpíadas de Matemática

4 3. O número é da forma N = abcd. Pela observação do primeiro estudante, a = c. De acordo com o segundo, o algarismo a (que é igual a c) só pode ser 3 ou 8. Mas, como N 4000, temos que a = 8. Como N é divisível por 2 e 5, temos que d = 0. Sendo o número divisível por 3, temos as três possibilidades: N = 8280 ou N = 8580 ou N = Logo, o menor é 8280, e a soma dos algarismos desse número é Os algarismos apagados serão representados por a e b, assim o número é igual a 273a49b5. Um número divisível por 99 é divisível por 9 e por 11. Logo, (I) Se 273a49b5 é divisível por 9, então a b + 5 = a + b + 30 é múltiplo de 9. Sendo 0 a 9 e 0 b 9, temos que 30 a + b Os possiveis valores para a + b são 6 e 15. (II) Se 273a49b5 é divisível por 11, então ( a + 7) (b ) = a b + 12 é múltiplo de 11. Sendo 0 a 9 e 0 b 9, temos que 3 a b O único valor que a b pode assumir é 1. Portanto, de (I) e (II) temos que a + b = 15 e a b = 1, logo a = 7 e b = 8. Resposta: a = 7 e b = 8 Observação: como a b = 1 é ímpar, obrigatoriamente a + b também é ímpar. 5. A idade de um deles é dada por um número de dois dígitos ab tal que ab = 3 (a + b) + 1, de onde obtemos 10a + b = 3a + 3b + 1, ou seja, 7a = 2b + 1. Como a e b são algarismos, então 2b é ímpar e múltiplo de 7. Daí, segue que 7a = 2b + 1 = 7, e então que a = 1 e b = 3. Logo, a idade de um dos filhos é 13 anos. A idade de cada um dos outros é dada por um número cd tal que cd = 3 (c + d) + 3, ou seja, 10c + d = 3c + 3d+ 3, o que nos dá 7c = 2d + 3. As únicas soluções desta equação para os dígitos c e d são c = 1, d = 2 ou c = 3 e d = 9. Supondo que o homem não tem filhos gêmeos, ele terá três filhos, com 13, 12 e 29 anos, cada um. 6. (Solução oficial) Temos que 10x + 25y = 1000 x = ( y)/10, onde x e y são, respectivamente, as quantidade de moedas de 10 centavos e de 25 centavos. Para que x seja um valor inteiro positivo basta que y seja qualquer numero par entre 2 e 38. Logo, temos 19 maneiras diferentes. Alternativa E 7. Veja que a67,9b reais é o mesmo que a679b centavos, que é um número inteiro. Sendo x o preço unitário do caderno, temos que a679b = 72 x = 8 9 x. Logo: (I) 8/a679b, então 8/79b e 790 = , assim b = 2. (II) 9/a679b, então a = a + 24 é múltiplo de 9 e 1 a 9 é múltiplo de 9, assim a = 3. Portanto de (I) e (II), 72 x = Logo, x = 511 centavos. Resposta: 511 centavos ou 5 reais e 11 centavos. 8. Seja N = abcabc, podemos escrever N = 1000 abc + abc = abc ( ) = 1001 abc. Mas, 1001 = Logo, N = abc e 143/N. 9. Inicialmente observe que 126 = 9 14 e que 1988 = , ou seja, 1988 e, portanto, todos os números da sequência são múltiplos de 14. Logo, para aparecer um múltiplo de 126, basta que apareça um múltiplo de 9. Como = 26 deixa resto 8 quando dividido por 9, pelo critério de divisibilidade por 9, o número que possui o 1988 repetido k vezes, deixará resto 8 k quando dividido por 9. O menor valor de k tal que 8 k seja divisível por 9 é k = 9. Logo, só após o nono passo aparecerá um múltiplo de 9 e, portanto, de 126 na sequência. 10. a) Temos = ; = ; = 14095; = 1419; = 159; = 33, que não é divisível por 19. Logo, não é divisível por 19. b) Utilizando o critério de divisibilidade por 19, (o algarismo 4 se repete 2004 vezes) é divisível por 19 se, e somente se, = (o algarismo 4 se repete 2003 vezes) é divisível por 19. Repetindo esse procedimento mais 2003 vezes, temos que é divisível por 19 se,e somente se, 85 = 5 19 é divisível por 19, o que é verdade. Assim é divisível por 19. Raciocício lógico: A face 1 estará, no início, voltada para Leste e, a seguir, voltada para baixo. Quando o 2 estiver para baixo, 1 estará a Oeste. Quando o 3 estiver para baixo, 1 continua a Oeste. Quando o 5 estiver para baixo (face oposta ao 2), o 1 permanece a Oeste e assim termina após os movimentos. SISTEMA ANGLO DE ENSINO 4 Treinamento para Olimpíadas de Matemática

5 Aula 3 Classe 1. a) Um número natural possui um número ímpar de divisores se, e somente se, é um quadrado perfeito. Temos 44 quadrados perfeitos menores do que, 44 2 = 1936 e 45 2 = b) Fatorando em primos, obtemos Logo, tem (2 + 1) (1 + 1) = 6 divisores naturais. Os números que têm 6 divisores naturais podem ter as seguintes fatorações em primos: p 5 ou p 2 q, sendo p e q primos distintos. Os menores números de cada uma destas formas são os seguintes: 25 = 32 e = 12. Portanto, o número procurado é o 12. Resposta: a) 44 números b) o número Fatorando em primos obtemos Para obter um par que cumpra a condição basta repartir os fatores primos de em dois números de tal maneira que o 2 e o 5 não fiquem juntos, pois do contrário o produto terminará em zero. Assim um número terá todos os 2 e o outro, todos os 5. A quantidade de pares depende unicamente das formas distintas de repartir o número 3. Há três maneiras de fazer essa repartição, observe: e 5 4 ou e ou 2 4 e Os pares são: (144,625), (625,144), (48,1875), (1875,48), (16,5625) e (5625,16) 3. Como a + f + d é par e b + f + d também é par, temos que a e b têm mesma paridade, ou seja, ambos são pares ou ímpares. Usando o mesmo argumento, concluímos que a, b, c, d e e têm mesma paridade. Assim, f é par, pois a + f + d é par e a + d é par (eles têm a mesma paridade). Logo, a, b, c, d e e têm que ser ímpares porque a soma das áreas é 31. Então, a, b, c, d e e têm os números de 1 a 9 em alguma ordem e f = = 6. Casa 1. Sabe-se que p 1 = 2, p 2 = 3, p 3 = 5, p 4 = 7, etc. Assim, temos que: N = p Observe que 2 e 5 são fatores de N, o que torna N um múltiplo de10 e, portanto, tenha algarismo das unidades igual a zero. 2. Temos que a + b é par, portanto a e b têm mesma paridade. Mas não existem dois números naturais que são pares e primos, logo a e b são ímpares. Sabemos que a + c é ímpar, logo um deles é par. Como a é ímpar, c é par e primo, portanto c = 2. Dessa forma, a + b + c = = 36 Solução oficial: a + b = 34 e a + c = 33, logo b c = 1. Como b e c são primos, concluímos que b = 3 e c = 2. Dessa forma a = 34 b = 34 3 = 31, de onde vem a + b + c = = Os primos entre 10 e 20 são 11, 13, 17 e 19. Somando 18 a cada um deles obtemos os respectivos valores 29, 31, 35 e 37. Eliminamos 17, pois = 35 que não é primo. A idade do irmão mais velho é um número primo uma unidade superior a soma das idades dos outros dois irmãos, assim as possibilidade são: = 25 (não é primo) = 31 (é primo) = 33 (não é primo) Portanto, a idade procurada é 19 anos. Resposta: 19 anos 4. Um número natural possui 3 divisores naturais se, e somente se, é o quadrado de um número primo. De fato, seja p um número primo, então os divisores de p 2 são 1, p e p 2. Veja que, os primos, cujos quadrados são menores do que 100 são: 3, 5, 7 e 9. SISTEMA ANGLO DE ENSINO 5 Treinamento para Olimpíadas de Matemática

6 5. Ao substituir duas parcelas pela sua soma, estamos efetuando somas parciais que, ao serem somadas resultarão na soma total: (composta por 1004 parcelas pares e 1005 ímpares). Portanto, o número da ficha final será ímpar, já que a soma total é ímpar. Assim, o vencedor será Zé da Álgebra. Resposta: Zé da Álgebra. 6. Solução oficial: Sejam p,q números primos. Então para que o número de divisores inteiros e positivos seja exatamente 15, os número precisam ser da seguinte forma: p 14 e p 2 q 4. Assim teremos as seguintes possibilidades: = 324, = 144 e = Solução oficial: Entre os números 1 e 100 o algarismo 2 aparece dez vezes como dígito das dezenas e dez vezes como dígito das unidades. O mesmo ocorre com os algarismos 4, 6 e 8. Portanto, a soma pedida é 20 ( ) = Solução oficial: O único número primo de dois algarismos iguais é 11. Neste caso, a = 1. Usando agora a definicão do sistema decimal: b + c + 10c + b = (b + c) = 110 b + c = 10. Como os numeros citados são primos, temos que b e c devem ser ímpares e diferentes de 5. Além disso, 91 é multiplo de 7. Portanto, os valores para b e c são 3 e 7 respectivamente. 9. Solução oficial: Se a, b, c, d, e são cinco inteiros maiores que um, então a, b, c, d, e 2, e com isso, a soma de quaisquer quatro deles é pelo menos 8. Observando a equação b(a + c + d + e) = 155 = 5 31, onde 5 e 31 são primos, temos que b = 5 e a + c + d + e = 31. Da mesma maneira, c(a + b + d + e) = 203, então c = 7 e a + b + d + e = 29. Baseado nos resultados encontrados, concluímos que a + d + e = 24, a + b + c + d + e = 36 e da equação a(b + c + d + e) = 128, obtemos que a (36 a) = 128, ou seja, a = 4 ou a = 32. Porém, a = 32 não poderá ser solução pois, caso fosse, teríamos a + b + c + d + e 40. Portanto, a + b + c = 16 e a equação e(a + b + c + d) = 275 será a mesma que e(16 + d) = 275, onde d + e = 36 a b c = 20. Como 275 = e 16 + d 18, temos que e = 11 e d = = 9. Observe que outra fatoração de 275 = 5 55 faria d = 39, que é muito grande. Portanto, a + b + c + d + e = = Lembre-se de que ( 1) n = 1, se n é par ou ( 1) n = 1, se n é ímpar. Assim, podemos associar duas a duas as parcelas consecutivas, (1 2) + (3 4) + (5 6) +... e obtemos uma soma de n/2 parcelas todas iguais a 1 quando n é par e (n 1)/2 parcelas iguais a 1 e uma parcela igual a n quando n for ímpar. Logo: S 1992 = (1 2) + (3 4) + (5 6) ( ) = ( 1) 996 = 996 S 1993 = (1 2) + (3 4) + (5 6) ( ) = = 997. Assim, S S 1993 = Solução oficial: a) F 8 = F 6 + F 7 = = 21, F 9 = F 7 + F 8 = = 34, F 10 = F 8 + F 9 = = 55 e F 11 = F 9 + F 10 = = 89. b) Analisando a Sequência de Fibobacci 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,... vemos que F 0 é par, F 1 é ímpar, F 2 = F 0 + F 1, ou seja, F 2 é a soma de um par e um ímpar e, portanto, é ímpar. F 3 = F 1 + F 2, ou seja, F 3 é a soma de dois ímpares e, portanto, é par. F 4 = F 2 + F 3, ou seja, F 4 é a soma de um ímpar e um par e, portanto, é ímpar, e assim por diante. Como a partir do segundo termo, cada termo é a soma dos dois anteriores, percebemos a existência de um padrão com relação a paridade dos termos que é a seguinte: par, ímpar, ímpar, par, ímpar, ímpar, par, ímpar, ímpar,..., iniciando em F 0. SISTEMA ANGLO DE ENSINO 6 Treinamento para Olimpíadas de Matemática

7 Para descobrir se F 2002 é par ou ímpar analisamos a Sequência de Fibonacci da seguinte forma: par ímpar ímpar F 0 F 1 F 2 F 3 F 4 F 5 F 6 F 7 F 8 Como 2002 = , F 2002 ocupa a coluna do meio da tabela e, portanto, é ímpar. Resposta: é ímpar Raciocício lógico: Como cada time joga três vezes, podemos concluir que: Dinamarca perdeu todos os jogos. Camarões ganhou um jogo, empatou uma vez e perdeu o outro. Brasil ganhou um jogo e empatou outras duas vezes. Áustria ganhou dois jogos e empatou outro. Assim, Brasil venceu a Dinamarca. Como o Brasil marcou apenas um gol, o único resultado possível para esse jogo é 1 0. Além disso, os outros jogos do Brasil foram empates, logo o resultado foi 0 0 em ambos. Da mesma forma, podemos concluir que o Camarões venceu a Dinamarca por 1 0. Ou seja, o único gol que a Dinamarca marcou deve ter sido contra a Áustria. Por outro lado, sabemos que a Áustria venceu o Camarões e que o Camarões levou apenas um gol. Logo, o resultado desse jogo foi 1 0. Finalmente, como a Áustria marcou três gols, o jogo Áustria contra Dinamarca foi 2 1. SISTEMA ANGLO DE ENSINO Coordenação Geral: Nicolau Marmo; Coordenação do TOM: Marco Antônio Gabriades; Supervisão de Convênios: Helena Serebrinic; Nível 2: CLÁUDIO de Lima VIDAL, FÁBIO Pelicano Borges Vieira, RAUL Cintra de Negreiros Ribeiro; Projeto Gráfico, Arte e Editoração Eletrônica: Gráfica e Editora Anglo Ltda; SISTEMA ANGLO DE ENSINO 7 Treinamento para Olimpíadas de Matemática