PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

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1 Hewlett-Packard PROGRESSÃO GEOMÉTRICA Aulas 01 a 05 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Ano: 2018

2 Sumário PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.)... 1 PRELIMINAR DEFINIÇÃO... 1 A RAZÃO DE UMA P.G CLASSIFICAÇÃO DE UMA P.G PRELIMINAR CRITÉRIOS DE CLASSIFICAÇÃO... 1 Uma P.G. é dita crescente... 1 Uma P.G. é dita decrescente... 1 Uma P.G. é dita alternada (ou oscilante)... 1 Uma P.G. é dita constante... 1 TERMO GERAL DA P.G INTERPOLAÇÃO DE MEIOS GEOMÉTRICOS ALGUMAS PROPRIEDADES DOS TERMOS DE UMA P.G REPRESENTAÇÕES ESPECIAIS... 3 P.G. de três termos SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA PRELIMINAR SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. INFINITA DE RAZÃO q, com 1 < q < 0 ou 0 < q < QUESTÕES EXTRAS... 5 CAIU NO VEST... 5

3 AULA 01 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.) PRELIMINAR 1 Identifique, em cada uma das sequências a seguir, o padrão de sua formação e escreva seus dois próximos termos. I. (1, 2, 4, 8,,,... ) II. ( 12, 6, 3,,,... ) III. (81, 27, 9,,,... ) IV. ( 4, 12, 36,,,... ) V. ( 2, 4, 8, 16,,,... ) VI. (12, 12, 12, 12,,, ) DEFINIÇÃO Uma progressão geométrica (P.G.) é uma sequência de termos não-nulos, na qual cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do seu antecessor por uma constante chamada de razão da P.G.: q. A RAZÃO DE UMA P.G. Considere um termo qualquer a n, n 2, de uma P.G.. O termo que o antecede é chamado: a n 1. Assim, a razão de uma P.G. é dada pela razão de um termo qualquer, a partir do 2, para seu antecessor. Isto é, q = a n a n 1, para todo n N e n Para cada sequência da parte PRELIMINAR 1, determine os valores de a 1 e de q Uma sequência (a n ) é uma P.G. com a n = 3 5 n 2, n N. Determine a razão dessa P.G. Como verificar se uma sequência (a n ) é uma P.G.? Se for apresentado um trecho da P.G., calcule a razão de um termo, a partir do 2, para seu antecessor. A sequência só será uma P.G., se todas as razões forem iguais. Se for dada a lei de formação da P.G., calcule a razão q (pela fórmula dada nesta aula). A sequência só será uma P.G., se, após todas as simplificações, o resultado obtido não depender de n. CLASSIFICAÇÃO DE UMA P.G. PRELIMINAR 2 Partindo da sua experiência em P.A., classifique cada sequência do tópico PRELIMINAR 1. CRITÉRIOS DE CLASSIFICAÇÃO Uma progressão geométrica é classificada de acordo com o valor da sua razão q e do sinal de a1. Uma P.G. é dita crescente se a 1 > 0 e q > 1. Ex.: Sequência I ; ou se a 1 < 0 e 0 < q < 1. Ex.: Sequência II. Uma P.G. é dita decrescente se a 1 > 0 e 0 < q < 1. Ex.: Sequência III ; ou se a 1 < 0 e q > 1. Ex.: Sequência IV. Uma P.G. é dita alternada (ou oscilante) se q < 0. Ex.: Sequência V. Obs.1: Termos consecutivos possuem sinais contrários. Uma P.G. é dita constante se q = 1. Ex.: Sequência VI. Obs.2: Todos os termos são iguais e não-nulos. TAREFA 1: Ler, nas PARTES 1 e 2, os exercícios resolvidos: 1(a,b,d,f,g) e 4(a,c,e). Fazer os PROP. 6(a,c,e) e 7. Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 1

4 TERMO GERAL DA P.G. Da definição de progressão geométrica, é razoável escrevermos o seguinte: a 1 a 2 = a 1 q a 3 = a 1 q 2 a 4 = a 1 q 3 a 5 = a 1 q 4... Portanto, considerando n N e n 2, um termo a n pode ser dado por: n 1 a n = a 1. q -- Termo Geral da P.G 1.2. a) Seja (a n ) = (3, 6, 12,... ) uma P.G.. Determine seu 9º termo. b) Em uma P.G. crescente de razão q = 2, temse a 11 = Qual é o valor de a 2? 1.3. Em uma P.G. de quatro termos, a razão é 5 e o último termo é 375. O primeiro termo dessa P.G. é A) 1 B) 2 C) 3 D) Em uma P.G., o 4 termo é igual a 32 e o 1 termo é igual a 1. Qual é o valor do 8 termo? Qual é o valor da razão da P.G. em que a soma do 3 termo com o 5 termo é 5 e a soma do 7 com o 4 9 termo é 20? 1.6. Em uma P.G. o terceiro termo é igual a 8 e o sexto termo é 32. Determine o seu décimo termo. TAREFA 2: Ler os exercícios resolvidos 2(a,b,d), 3, 5, 6 (+Obs.1) e 8. Fazer os PSA 2(b,d), 4, 8(a, b, d),11 e 19. Generalização do Termo Geral j i a j = a i. q Como entender o funcionamento da versão generalizada do termo geral de uma PG? DICA DO PROFESSOR PRINCÍPIO DO ELEVADOR Encare os termos da fórmula a j = a i. q j i como: a i : morador de um andar i (inferior); a j : morador de um andar j (superior). Desse modo, o expoente (j i) representa o número de andares que o morador do andar i precisa subir para chegar ao andar j. AULA 02 INTERPOLAÇÃO DE MEIOS GEOMÉTRICOS Interpolar k meios geométricos entre dois números, x e y, é formar uma P.G. que comece em x, termine em y e tenha k termos entre eles. Obs. 1: Note que, nesse cenário, tem-se x = a 1 e y = a k Interpolando quatro meios geométricos entre 1 e 243, nessa ordem, obtém-se uma P.G. na qual a soma desses quatro meios é A) 100 B) 130 C) 220 D) 120 E) 150 TAREFA 3: Ler, na PARTE 3, os ex. resolvidos 9 e 10; Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 2

5 Como anotar / interpretar os dados de uma situação-problema que envolve valor presente? DICA DO PROFESSOR! Alguns problemas apresentam, em seus dados, valores referentes ao tempo presente: hoje, agora, neste ano,... ; e, também, ao valor em um tempo futuro: daqui a n anos seu valor será... Existem duas maneiras corretas de interpretar esses dados: 1) Valor de hoje: a 1 Valor daqui a n anos : a n+1 Note que, dessa forma, a n representa o termo que ocupa a posição n da sequência, neste caso, ele é o valor obtido n 1 anos após o início da experiência (duração da mesma). 2) Valor de hoje: a 0 Valor daqui a n anos : a n Note que, dessa forma, a n representa o termo que ocupa a posição n da sequência, neste caso, ele é o valor obtido n anos após o início da experiência (duração da mesma). TAREFA 4: Fazer os PSA 20, 15 e 17 AULA 03 ALGUMAS PROPRIEDADES DOS TERMOS DE UMA P.G. P1) Considere três termos consecutivos de uma P.G.. O quadrado do termo do meio é o produto dos outros dois. Exemplo 3.1: Sejam a, b e c, três termos consecutivos de uma Progressão Geométrica, então b 2 = a. c Exemplo 3.2: Na P.G. (2, 6, 18, 54, 162), tem-se que: P2) Em uma P.G. finita, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos. Exemplo 3.3: Na P.G. ( 3, 6, 12, 24, 48, 96), tem-se: 96 = = = 288 P3) Considere uma P.G. com um número ímpar de termos. Nesse cenário, existe um termo central (termo médio) tal que seu quadrado é igual ao produto dos extremos. Exemplo 3.4: A P.G. (56, 28, 14, 7, 7 ) possui 5 termos 2 (número ímpar) e, portanto, possui termo médio, no caso, o terceiro. Desse modo, tem-se que 14² = = Qual é o valor de x que torna a sequência (a n ) = (7, x, 4x) uma progressão geométrica? 3.2. Determine o quinto termo da P.G. em que a 1 = 1 e a 9 = 256. TAREFA 5: Ler os exercícios resolvidos 12, 13 e 14; Fazer os PSA. 23, 24, 25. Desafio: PSA. 27 REPRESENTAÇÕES ESPECIAIS É importante saber representar progressões geométricas, com poucos termos, utilizando um número mínimo de incógnitas. P.G. de três termos (x; x q; x q²) ou ( x ; x; x q ) q Obs.1: Ambas tem razão q Determine uma P.G. crescente de três termos, tal que o produto destes é 64 e a soma, 14. TAREFA 6: Lero ex. res. 16; e fazer o PSA 30. 6² = ou 18² = ou 54² = Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 3

6 AULA 04 SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA Considere uma P.G., (a n ), com razão q 1: (a n ) = (a 1, a 2, a 3, a 4,, a n 1, a n, ) A soma dos seus n primeiros termos, S n, é tal que S n = a 1 + a 2 + a a n. Essa soma pode ser obtida pelas fórmulas equivalentes: S n = a 1( q n 1) q 1 ou S n = a 1(1 q n ) 1 q Obs. 1: Sendo (a n ) uma P.G. com razão q = 1, tem-se que, a soma de seus n primeiros termos, S n, é dada por: S n = n. a 1 Afinal, nesse caso, todos os termos são iguais a a 1. DICA DO PROFESSOR Note que, para obter o valor de S n, é necessário conhecer os valores de a 1, q e n. Portanto, caso um desses três não seja fornecido explicitamente no enunciado, procure calculá-lo antes de tentar utilizar a fórmula de Sn Calcule a soma dos seis primeiros termos da P.G. ( 2, 4, 8,... ) Considere a P.G. finita ( 2, 2,, 486). Determine 9 3 a soma de seus termos Quantos termos da P.G. (2, 6, 18,... ) devem ser considerados a fim de que a sua soma seja ? TAREFA 7: Ler os ex. resolvidos 18, 19 e 20; e fazer os PSA. 33(b), 35, 44, 45 e 48. AULA 05 PRELIMINAR 1 Os dois exemplos seguintes ilustram, em duas progressões geométricas distintas, a soma de seus n primeiros termos, para alguns valores de n. 1) Seja (a n ) = (1, 1, 1, 1, ) uma P.G Neste caso, para n = 5 tem se S 5 = 1,9375 n = 10 tem se S 10 1,998 n = 20 tem se S 20 1, ) Seja (a n ) = (2, 4, 8, 16, ) uma P.G.. Neste caso, para n = 5 tem se S 5 = 62 n = 10 tem se S n = 20 tem se S Note que, à medida que n aumenta, o valor de S n, no exemplo 1, fica cada vez mais próximo de 2. Nesses casos, dizemos que a soma CONVERGE para um número. No caso, 2. no exemplo 2, fica cada vez maior. Nesses casos, dizemos que a soma DIVERGE. SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. INFINITA DE RAZÃO q, com 1 < q < 0 ou 0 < q < 1. Considere uma progressão geométrica (a n ) com (a n ) = (a 1, a 2, a 3, a 4, ) e com razão q tal que 1 < q < 0 ou 0 < q < 1. Essa P.G. é dita convergente e chamamos de Série Geométrica Convergente a soma: S = a 1 + a 2 + a Nas séries geométricas convergentes, dizemos que para n muito grande o valor de q n tende a zero. Assim, partindo da fórmula para S n, chegamos a: S = a 1 1 q TAREFA 8: Ler os ex. resolvidos 22(b) e 25; e fazer os PSA. 49, 52, 55, 56 e 57. Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 4

7 EXTRA QUESTÕES EXTRAS 1) Interpolando 5 meios geométricos positivos entre 4 e 2916, nesta ordem, obtém-se uma progressão geométrica de razão (A) 9. (B) 3. (C) 3. (D) 6. (E) 9. 2) Um automóvel foi financiado em um ano de tal forma que os valores, em reais, das prestações estão em progressão geométrica. O valor da primeira prestação desse automóvel (referente a janeiro) é R$ 10000,00 e o valor da última prestação (referente a dezembro) é R$ 100,00. Nesse caso, o produto dos valores das prestações referentes a junho e julho é (A) 10 (B) (C) (D) (E) ) Somando um mesmo número aos números 5, 7 e 6, nesta ordem, obtém-se uma progressão geométrica. O número somado é (A) 11 (B) 19 (C) 14 (D) 16 (E) 17 4) A sequência de figuras as seguir representa os cinco primeiros passos da construção do fractal de Sierpinski. Os vértices dos triângulos claros são os pontos médios dos lados dos triângulos escuros da figura anterior. Denotando por A 1, A 2, A 3, A 4 e A 5, respectivamente, as áreas das regiões escuras da primeira, segunda, terceira, quarta e quinta figuras da sequência acima, a sequência (A 1 ; A 2 ; A 3 ; A 4 ; A 5 ) é uma progressão geométrica de razão igual a (A) 3 4. (B) 1 2. (C) 1 (D) 1 4. (E) 2 5) A progressão geométrica (a n ), tal que a n = 7 2n 4, n N, tem razão igual a (A) 49. (B) 1. (C) 7. (D) 1 7. (E) ) Considere uma progressão geométrica (a n ), com n N, na qual a 3 = 12 e a 7 = 192. Determine a 10. 7) Determine a razão da progressão geométrica (2 + x; x ; 8 + x; ). CAIU NO VEST 1) (PUC) Em uma progressão geométrica a diferença entre o 2º e o 1º termos é 9 e a diferença entre o 5º e o 4º é 576. O primeiro termo da progressão é: (A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E) 9 2) (AFA) Uma bola é solta de uma altura de 128 metros em relação ao solo, e, ao atingir o mesmo, ela sobe a metade da altura anterior. Esse movimento se repete até atingir o solo pela décima vez. Nesse momento, quanto a bola terá percorrido, em metros? (A) 255,5 (B) 383,00 (C) 383, 50 (D) 383,63 3) (MACK) Na sequência geométrica de termos positivos, ilimitada e decrescente, o segundo termo é igual à razão. Se a soma de todos os termos tende a 2, então o quarto termo vale: Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 5

8 (A) 1 4. (B) 1 8 (C) 1 6 (D) 1 16 (E) ) (IME) Uma bola é lançada na vertical, de encontro ao solo, de uma altura h. Cada vez que bate no solo, ela sobe até a metade da altura que caiu. Calcule o comprimento total percorrido pela bola em sua trajetória até atingir o repouso. GABARITO: FUNDAMENTAIS a) 768 b) C D ( 2, 4, 8 ) QUESTÕES EXTRAS 1) C 2) C 3) B 4) A 5) A 6) ±1536 7) 8 5 CAIU NO VEST 1) A 2) C 3) B 4) 3h Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 6