MATEMÁTICA SEGUNDO ANO

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1 O único lugar onde o sucesso vem antes do trabalho é no dicionário Albert Einstein MATEMÁTICA SEGUNDO ANO NOME COMPLETO: TURMA: TURNO: ANO: PROFESSORA:

2 Progressão Aritmética Conceito; Termo Geral; Soma de seus Termos. Progressão Geométrica Conceito; Termo Geral; Soma de seus Termos. 2

3 Sequência Uma sequência numérica é uma função f cujo domínio está contido em N * e cujo contradomínio é. Uma sequência finita de n termos é indicadapor (a 1, a 2,..., a n ). Uma sequência infinita é indicada por (a 1, a 2, a 3,..., a n,... ). Observe as sequências abaixo: Exemplos: B = ( 3, 12, 21, 30, 39, 48,...) razão = Crescente ( ) decrescente ( ) constante ( ) C = ( 2, 2, 2, 2, 2,...) razão = Crescente ( ) decrescente ( ) constante ( ) D = (100, 90, 80, 70,...) razão = Crescente ( ) decrescente ( ) constante ( ) Todas estas sequências representam uma: RESUMO: Será: crescente r > 0, decrescente r < 0 ou constante r = 0. Para encontrar a razão de uma P.A: 3

4 Exercícios: 1) Complete a sequência abaixo, sabendo que são uma P.A e responda qual a razão e classifique as : a) ( 1, 3, 5,, 9,, 13, ) b) (,, 10, 20, 30) c) (,, 5, 10, 15) d) ( 6, 6, 6, ) PROGRESSÃO ARITMÉTICA PA Então vejamos: a) Escreva uma P.A de 5 termos, onde o primeiro termo é 6 e a razão é 10: TERMO GERAL DA PROGRESSÃO ARITMÉTICA PA Seja a PA genérica de razão r. De acordo com a definição podemos escrever: = + r = + r, ou seja, + r + r que é o mesmo que + 2.r = + r, ou seja, + r + r + r que é o mesmo que + 3.r Podemos deduzir das igualdades acima que: = + ( n 1 ).r é otermo de ordem n (n-ésimo termo) é o primeiro termo r é a razão Uma progressão aritmética qualquer onde os termos são desconhecidos pode ser representado por: (..., x r, x, x + r,... ) 4

5 Exemplos: 1)Sabendo que é uma P.A, qual é o milésimo número ímpar positivo? 2) Qual é o número de termos da PA: ( 100, 98, 96,..., 22)? 3)Se numa PA o quinto termo é 30 e o vigésimo termo é 60, qual a razão? 5

6 4)Três números estão em P.A.. A soma deles é 12 e o produto 18. O termo do meio é: 5) Interpolar sete meios aritméticos entre os números 1 e 17. Exercícios: 01) Determinar o décimo segundo termo da P.A. (3, 5, 7,...). a 12 = 25 02) Calcular a razão da P.A, sabendo que o primeiro termo é 2 e que o vigésimo termo é 192. r = 10 03) Achar o número de múltiplos de 5 compreendidos entre 21 e 623. n = 120 6

7 04) As raízes da equação x 2 7x +10 = 0 são o 1º e 2º termos de uma P.A crescente. Determina o 10º termo dessa P.A. a 10 = 29 05) Determinar o 1º termo e a razão da PA na qual = 4 e = 0. r = 1 e a 1 = 11 06) Quantos termos têm a PA finita ( 10, 4,..., 44)? n = 10 07) Numa PA em que a razão é igual ao dobro do 1º termo, sabe-se que a 10 =38. Calcular o valor de a 1 e a razão da PA. r=4 e a 1 =2 08) Na PA em que a 1 = 6 e r = 8, qual é o lugar ocupado na sequencia pelo termo igual a 62? n = 8 09) Interpolar cinco meios aritméticos entre 6 e 30. PA interpolada é (6,10,14,18,22,26,30) 10) Quando inserimos 10 meios aritméticos entre 2 e 79, qual á a razão da PA obtida? r = 7 11) O triângulo retângulo seguinte tem perímetro 96 cm e área 384 cm². Quais são as medidas de seus lados se (x, y, z) é, nessa ordem, uma P.A crescente? (24, 32, 40) 12) O financiamento de um imóvel em dez anos prevê, para cada ano, doze prestações iguais. O valor da prestação mensal em um determinado ano é 20 reias a mais do que o valor pago, mensalmente, no ano anterior. Sabendo que, no primeiro ano, a prestação mensal era de 200, determine: a) O valor da prestação a ser paga no 5º ano? R$ 280,00 b) O total a ser pago no último ano? R$ 4560,00 7

8 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA P.G. Agora observe este grupo de sequências: (2, 6, 18, 54,...) razão = Crescente ( ) decrescente ( ) constante ( ) oscilante ( ) (-32, -16, -8, - 4) razão = Crescente ( ) decrescente ( ) constante ( ) oscilante ( ) ( 2, 10, 50, 250) razão = Crescente ( ) decrescente ( ) constante ( ) oscilante ( ) (5, 5, 5, 5) razão = Crescente ( ) decrescente ( ) constante ( ) oscilante ( ) Todas estas sequências representam uma: Numa P.G Será: crescente a 1 > 0 e q > 1 decrescente a 1 > 0 e 0 < q < 1 constante q = 1 oscilante q <0 têm sinais contrários. Para encontrar a razão de uma P.G: 2) Complete a sequência abaixo, sabendo que são uma P.G e responda qual a razão e classifique as : a)(3, 12, 48,, ) b)(5, -15,, ) c)(64,32,16,8, ) d)(12,12,12, ) TERMO GERAL DA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA P.G. Qualquer termo de uma P. G. pode ser obtido pela fórmula: a n = a 1. q n 1 a 1 é o primeiro termo a n é o enésimo termo n é o número de termos q é a razão da P.G. 8

9 Uma progressão geométrica qualquer onde os termos são desconhecidos pode ser representado por: (...,, x, x.q,... ) Exemplos: 1) Sabendo que é uma P.G, qual o décimo termo da sequência (1,2,4...) 2) Interpole 6 meios geométricos entre 4374 e 2. 3) Determine os valores de x afim que a sequência (5x+1, x+1, x 2) seja uma P.G. 9

10 Exercícios: 01) Encontre o primeiro termo e a razão da PG da PG cujo termo geral é a n = 5 3n 1.. a 1 = 25q = 5 02) Qual é o sétimo termo da PG ( a 7 = 32 03) Numa PG, tem-se a 1 = 1 e q =. Calcula a 8. a 8 = 27 04) Determina o número de termos da PG ( 1, 2,..., 256). n = 9 05) A seqüência1, 3a - 4, 9a 2 8 é uma P.G. Calcula a. a = 1 06) Numa P.G. de quatro termos, a razão é o 5 e o último termo é 375. Calcular o primeiro termo. a 1 = 3 07) Numa P.G. de seis termos, o primeiro termo é 2 e o último termo e 486. Calcular a razão da P.G. q = 3 08) Qual o primeiro termo da PG, no qual o 11º termo é 3072 e a razão é 2? a 1 = 3 09) Em uma PG, o primeiro termo é 2 e o quarto termo é 54. Calcula o quinto termo. a 5 = ) Insira quatro termos geométricos entre 1 e ) Sabe-se que numa PG,a razão é 9, o primeira termo é e o último termo é 729. Qual o número de termos dessa PG? n = 5 10

11 12) O número de consultas a um site de comércio eletrônico aumenta semanalmente (desde a data em que o portal ficou acessível), segundo uma PG de razão 3. Sabe-se que na 6ª semana foram registradas 1458 visitas, determine o número de visitas ao site registrado na 3ª semana. a 3 = 54 13) Uma dívida deverá ser paga em sete parcelas de modo que constituam termos de uma PG. Sabe-se que os valores das 3ª e 6ª parcelas são respectivamente R$ 144,00 e R$ 486,00. Determina: a) O valor da 1ª parcela. R$ 64,00 b) O valor da última parcela. R$ 729,00 Fórmula da soma dos n primeiros termos de termos de uma P.A Onde: S n é a soma dos n termos, n é o número de termos a 1 é o primeiro termo a né o enésimo termo Exemplos: 1) Calcule a soma dos 10 primeiros termos da P.A. (-3; 1; 5;...). 11

12 2) A soma dos n primeiros números pares positivos é 132. Encontre o número de termos: 3) Um teatro possui 12 poltronas na primeira fileira, 14 na segunda fileira e 16 na terceira fileira; As demais fileiras se compõem na mesma sequência. a) Quantas fileiras são necessárias para o teatro ter um total de 620 poltronas? b) Quantas poltronas terá a última fileira? Exercícios: 01) Calcula a soma: a) Dos trinta primeiros termos da PA(4, 10,...) S 30 = 2730 b) Dos n primeiros números pares positivos. S n = n 2 + n 02) A soma dos 20 termos de uma P.A. finita é igual a 710. Se o 1º termo é 7, calcula p 10º termo. a 10 = 34 12

13 03) Um corpo em queda livre percorre 3m no primeiro segundo, 12m no segundo, 21m no terceiro segundo e assim por diante. Continuando essa sequência, quantos metros terá percorrido após 10 segundo? S 10 = 435m 04) Um ciclista percorre 20 km na primeira hora; 17 km na segunda hora e, assim por diante, em P.A. Quantos km percorrerá em 5 horas? S 5 = 70km 05) No primeiro dia de abril, os operários de uma fábrica produziram 200 bicicletas. A meta era produzir em cada um dos dias seguintes desse mês 10 bicicletas a mais que no dia anterior. De acordo com essa meta: Quantas bicicletas seriam produzidas nos vinte primeiros dias de abril? S 20 = 5900 bicicletas 06) A fim de organizar a convocação dos funcionários de uma empresa para o exame médico, decidiu-se numerá-los de 1 a 500. Na primeira semana, foram convocados cujos números representavam múltiplos de 2 e, na segunda semana, foram convocados os múltiplos de 3 e que ainda não haviam sido chamados. Qual é o número de funcionários que não haviam sido convocados após estas duas semanas? 167 funcionários 07) Para a compra de uma TV pode-se optar por um dos seguintes planos: Plano alfa: entrada de 400 e mais 13 parcelas mensais crescente, sendo a primeira de 35 reais, a segunda de 50 reais, a terceira de 65 reias e assim por diante. Plano beta: 15 prestações mensais iguais de 130 reais cada. a) Em qual dos planos o total é maior? Alfa (Beta = R$1950,00 e Alfa: R$ 2025,00) b) Qual deveria ser o valor da entrada do plano alfa para que, mantida as demais condições, os desembolsos totais fossem. iguais? R$ 325,00 08) Marcos recebia de seu Pai uma mesada de 100. Muito esperto, o garoto propôs que a mesada passasse a ser paga aos poucos: R$ 1,00 no 1º dia,r$1,50 no 2º dia e assim por diante, até o 30º dia. Qual passaria a ser o novo valor da mesada? :R$ 247,50 09) Em uma cidade, 1200 famílias carentes inscreveram-se em um programa social desenvolvido pela prefeitura. Por não haver a verba total imediata necessária para implantar o programa, decidiu-se atender 180 famílias no primeiro mês e, em cada mês subsequente, 15 famílias a menos que o número de famílias assistidas no mês anterior. Quantas famílias foram atendidas nos primeiro semestre do programa? 855 pessoas 13

14 FÓRMULA DA SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA P. G. P.G. finita : podemos obter a soma dos n termos através da fórmula: n termos a 1 é o primeiro termo q é razão da P.G n é o número de termos S n é a soma dos q 1 S n n. a q 1 1 Fórmula da Soma para um P.G. infinita também chamada de LIMITE DA SOMA P.G. infinita : podemos obter a soma dos n termos através da fórmula: a 1 é o primeiro termo S n = -1 < q < 1 q é a razão da P.G. S n é a soma dos n termos. Exemplos: 1) Sendo a P.G (2,6,18...) quantos termos deve ser considerado para que a soma seja

15 2) Qual é a soma dos quinze primeiros termos de uma PG na qual o 1º termo é 2 e a razão é 1/2. 3)Aline solicitou a um banco um crédito educativo para custear seus estudos na faculdade. Essa dívida deverá ser paga em seis anos, sendo que, em cada ano, Aline pagará doze prestações mensais iguais, cujos valores são dados a seguir: 1º ano: R$ 100,00 2º ano: 110,00 3º ano: 121,00 e assim sucessivamente. Qual será o valor total pago por Aline nesses quatro anos? EXERCÍCIOS: 01) Qual é a soma dos dez primeiros termos de uma PG na qual o 1º termo é 10 e a razão é 2.S 10 = ) Seja a PG de seis termos no qual a 1 = 8, o último é 8192 e a soma dos termos é Obter sua razão. q = 4 03) Quantos termos devemos considerar na PG (3,6,...) para obter uma soma igual a 765? n = 8 04) A soma dos seis primeiros termos iniciais de uma PG é Sendo q = 3, calcula a 1. a 1 = 4 15

16 05) Nos 14 dias de inscrição para um concurso público o número diário de candidatos inscritos aumentou em progressão geométrica. No primeiro dia foram 3 inscrições, e no último, Quantos candidatos se inscreveram para esse concurso? S 14 = candidatos 06) (OBMEP) No início de janeiro de 2006, Tina formou com colegas um grupo para resolver problemas de Matemática. Eles estudaram muito e por isso a cada mês, conseguiam resolver o dobro do número de problemas resolvidos no mês anterior. No fim de junho de 2006 o grupo havia resolvido um total de 1134 problemas. Quantos problemas o grupo resolveu em janeiro? a 1 = 18 exercícios 07) Numa P.G. de 10 termos, sabe-se que S10 = 3069 e que a razão vale 2, o valor do quinto termo é: a 1 =3 a 5 = 48 08) A solução da equação x =15 é: x=10 09) Calcule a soma dos termos das P.Gs a) (12,6,3,...) S n = 24 b)(25,5,1,...) S n = 16