Tópico D mtm B PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
|
|
- Sarah Sacramento Caldas
- 6 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Tópico D mtm B PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
2 Definição Progressão geométrica é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma constante chamada razão da progressão geométrica. Exemplo 1: (MAA) A população de um país é hoje igual a P e cresce 12% ao ano. Qual será a população desse país daqui a n anos? E se decresce 12% ao ano. Qual será a população desse país daqui a n anos? a 1 = P a 0 = P q = 1,12 a n = a 1. q n-1 a n = P. (1,12) n-1 ERRADO q = 1,12 a n = a 0. q n a n = P. (1,12) n
3 Definição Exemplo 1: (MAA) A população de um país é hoje igual a P e cresce 12% ao ano. Qual será a população desse país daqui a n anos? E se decresce 12% ao ano. Qual será a população desse país daqui a n anos? População Inicial Após 1 ano Após 2 anos..... Após n anos P 1,12.P (1,12)².P..... (1,12) n.p x 1,12 x 1,12
4 Definição Exemplo 1: (MAA) A população de um país é hoje igual a P e cresce 12% ao ano. Qual será a população desse país daqui a n anos? E se decresce 12% ao ano. Qual será a população desse país daqui a n anos? População Inicial Após 1 ano Após 2 anos..... Após n anos P O,88.P (0,88)².P..... (0,88) n.p x 0,88 x 0,88
5 Classificação PG crescente Ex.: (2, 4, 8, 16,...) Ex.: (- 25, - 5, - 1,...) a 1 > 0 e q > 1 a 1 < 0 e 0 < q < 1 PG constante Ex.: (100, 100, ) q = 1 PG decrescente Ex.: (- 2, - 4, - 8, ) Ex.: (18, 6, 2, 2/3...) a 1 < 0 e q > 1 a 1 > 0 e 0 < q < 1 PG oscilante Ex.: (1, -3, 9, ) q < 0 PG singular Ex.: (0, 0, 0, 0...) a 1 = 0 ou q = 0
6 Classificação Exemplo 2: Classifique como Verdadeiro ou Falso. ( V )...taxa de crescimento de 100%... trata-se de uma PG crescente com q = 2. ( F )...taxa de crescimento de 0%... trata-se de uma PG constante com q = 0. ( F )...taxa de decrescimento de 30%... trata-se de uma PG crescente com q = 0,3. ( V ) Em toda PG oscilante a razão é negativa.
7 Notações Especiais x, x, xq q PG de 3 termos ou ( x, xq, xq 2 ) PG de 4 termos x, x, xq, xq³ q³ q PG de 5 termos x, x, x, xq, xq² q² q
8 Notações Especiais Exemplo 3: (FGV) Três números cuja soma é 248 e a diferença entre o terceiro e o primeiro é 192 estão em PG de razão igual a: a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6 x, x, xq q x q + x+xq = 248 xq- x q = 192 (x, xq, xq 2 ) x + xq + xq 2 = 248 xq 2 x = 192 Não é a melhor maneira de resolver.
9 Notações Especiais Exemplo 4: (UFAL) O produto dos três primeiros termos de uma PG é 216. Se a razão dessa progressão é - 3, o quinto termo é: a. 162 b. 54 c. 18 d. 54 e x, x, xq q x q.. x xq = 216 x 3 = 216 x = 6 a 2 = 6 a 5 = a 2. q 3 a 5 = 6. (- 3) 3 a 5 = a 5 = Gabarito: e
10 Notações Especiais Exemplo 5: (Escola Naval) A soma de três números em PG crescente é 19. Subtraindo-se 1 ao primeiro, eles passam a formar uma PA. Calcule-os : PA (x r, x, x + r) PG (1 + 6 r, 6, 6 + r) (6)² = (7 r)(6 + r) x r + x + x + r = 18 x r + x + x + r = 18 3x = 18 x = 6 PG (7 r, 6, 6 + r) (7 - (3), 6, 6 + 3) (4, 6, 9) 36 = 42 +7r 6r - r² r² - r 6 = 0 r 1 = - 2 r 2 = 3
11 Termo Geral da PG a n = a 1. q n - 1 Exemplos: a n a 1 n e-nésimo termo primeiro termo termo a) a 10 = a 3. q 7 b) a 10 = a 7. q 3 c) a 10 = a 12. q -2 q razão
12 Termo Geral da PG Exemplo 3: (UDESC) Sabendo que a 4 + a 6 = 160 e a 7 + a 9 = 1280, calcule : a) A razão da PG b) a 2 a) a 7 + a 9 = 1280 b) a 2.q² + a 2.q 4 = 160 a 4.q³ + a 6.q³ = 1280 q³(a 4 + a 6 ) = 1280 q³. 160 = 1280 q³ = 8 q = 2 a 2 (q² + q 4 ) = 160 a 2 (2² ) = 160 a 2.20 = 160 a 2 = 8
13 Interpolação Geométrica Numa PG finita (a 1, a 2,, a n - 1, a n ), os termos a 2, a 3, a n 1 são chamados de meios geométricos da PG. Inserir, ou interpolar, K meios geométricos entre dois números a e b, nessa ordem, significa determinar a PG de K + 2 termos com o primeiro termo igual a a e o último termo igual a b.
14 Interpolação Geométrica Exemplo 4: (UDESC) Qual a razão quando interpola-se geometricamente 6 termos entre 3 e 384. PG (3, a, b, c, d, e, f, 384) a 1 a 8 a 8 = a 1. q = 3. q 7 q 7 = 128 q = 2
15 Média Geométrica e Termo Médio PA (a, b, c) b² = a.c Exemplo 5: (UFRJ) Quatro números são tais que, o primeiro é igual ao quarto, os três primeiros formam uma PA de razão 6 e os três últimos uma PG. Determine-os : (x r, x, x + r, x r) (x 6, x, x + 6, x 6) P.G. (- 2-6, - 2, , - 2-6) (- 8, - 2, + 4, - 8) (x + 6)² = x(x 6) x² + 12x + 36 = x² - 6x 18x = - 36 x = - 2
16 Produto Equidistante Produto de PG a m. a n = a x. a y m + n = x + y a 3. a 7 = a 4. a 6 P n = a 1. a 2. a a n-2. a n-1. a n x P n = a n. a n-1. a n a 3. a 2. a 1 (P n ) 2 = a 1. a n. a 2. a n-1. a 3. a n a n-2. a 3. a n-1. a 2. a n. a 1 a 1. a n a 1. a n a 1. a n a 1. a n a 1. a n (P n ) 2 = (a 1. a n ) n n vezes
17 Produto Equidistante Exemplo 6: (UFPR) Sabendo que a 4. a 7 = 32, o produto dos dez primeiros termos da PG é 2 n. Calcule n. Produto de PG (P n ) 2 = (a 1. a n ) n (P 10 ) 2 = (a 1. a 10 ) 2 2 n = (32) 5 2 n = (2 5 ) 5 2 n = 2 25 n = 25 a 4. a 7 = 32 a 1. a 10 = 32
18 Soma e Produto de PG Exemplos: 6 =S n = =S -S n = =P n = n = 10 P = P 20 9
19 Soma de PG Finita n S= a 1(q -1) n, q 1 q-1 Infinita a 1 S =, q 1 1- q Finita de termos iguais (PG constante) q= 1 S n =n.a1 Exemplo 7: (UFSC) Seja G = a. a. a.... Então o valor de G é a G = a 1/3. a 1/9. a 1/27... G = a1/3 + 1/9 + 1/ a 1 1 S = = 3 1- q = 23 1 = 2 Os expoentes formam uma PG infinita de razão 1/3. G = a 1/2 = a Correto
20 Soma de PG Exemplo 8: (UNESP) No início de 2004, Fábio montou uma página na Internet sobre questões de vestibulares. No ano de 2004 houve 756 visitas à página. Supondo que o número de visitas à página, durante o ano, dobrou a cada bimestre, o número de visitas à página de Fábio no primeiro bimestre de 2004 foi: a. 36 b. 24 c. 12 d. 16 e. 18 PG q = 2 n = 6 S 6 = 756 n S= a 1(q -1) n q-1 6 a 1(2-1) 756= =a a =12 1 Gabarito: c
21 Soma de PG Exemplo 9: (UFSC) Suponha que um jovem ao completar 16 anos pesava 60 kg e ao completar 17 anos pesava 64 kg. Se o aumento anual de sua massa, a partir dos 16 anos, se der segundo uma progressão geométrica de razão 1/2, então ele nunca atingirá 68 kg. Aumento anual de massa = 4 (4, 2, 1, ½,... ) a 1 S = = 4 = 4 =8 1- q = 68kg A S indica o limite em que a soma dos termos chega. Mas ela nunca alcança esse valor. Correto
22 PG de Ordem Superior Uma sequência de números reais se denomina progressão geométrica de ordem superior se as diferenças entre termos sucessivos formarem uma PG. Exemplo : 3, 5, 11, 29, PG de razão 3 29 = a n = S n 1 + a 1
23 PG de Ordem Superior Exemplo 10: (IME) Uma seqüência de gerações de uma determinada bactéria são dados pelos números da progressão, considerando que o número 2 representa a primeira geração, calcule quantas bactérias teremos na oitava geração, sabendo que a sequência inicial das gerações foi : 2, 5, 11, 23, PG de razão 2 a n = S n 1 + a 1 a 8 = S 7 + a 1 a 8 = a 8 = bactérias na 8ª geração. S = 7 S = 7 7 a 1(q - 1) q (2-1) 2-1 S = 384 7
24 Relacionamento Juros X P.G. Os montantes calculados através dos juros compostos podem ser interpretados como uma PG e sua representação gráfica é uma função exponencial.
25 Exemplo 11: UFSC Sejam (a n ) uma progressão geométrica e (b n ) uma progressão aritmética cuja razão é 3/10 da razão da progressão geométrica (a n ). Sabendo que a 1 = b 1 = 2 e que a 2 = b 7 calcule a soma b 1 + b b 7. Progressão Geométrica: (a 1, a 2, a 3, a 4, ) razão: q Progressão Aritmética: (b 1, b 2, b 3, b 4, ) razão: r a 2 = b 7 a 1 q = b 1 + 6r 2q = (3/10).q 2q (9/5).q = 2 10q 9q = 10 q = 10 r = (3/10).q r = (3/10).10 r = 3 S = 7 PA: (2, 5,, b 7 ) b 7 = b 1 + 6r b 7 = b 7 = 20 (a 1 + a 7)7 = 2 (2 + 20)7 2 = 77
26 Tópico D mtm B FIM
PROGRESSÕES - INTENSIVO
PROGRESSÕES - INTENSIVO Progressão Aritmética Definição Sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado com uma constante chamada razão da progressão aritmética. Exemplo
Leia maisTópico C mtm B PROGRESSÃO ARITMÉTICA
Tópico C mtm B PROGRESSÃO ARITMÉTICA Definição Sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado com uma constante chamada razão da progressão aritmética. Exemplo 1:
Leia maisSeqüências Numéricas
Seqüências Numéricas É uma seqüência composta por números que estão dispostos em uma determinada ordem pré-estabelecida. Alguns exemplos de seqüências numéricas: (,, 6, 8, 0,,... ) (0,,, 3,, 5,...) (,,
Leia maisMATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS PROGRESSÕES
PROGRESSÕES A cada 76 anos o cometa Halley pode ser visto da Terra. Ele passou por aqui, pela última vez em 986 e deverá reaparecer no ano de 06. Depois em 38,, 90... e assim sucessivamente. Os números
Leia maisVeja exemplos de sequências finitas e infinitas: Sequência finita: (5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19) Sequência infinita (3, 5, 7, 11, 13, 17,...
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS Sequência numérica é uma sequência ou sucessão que tem como contradomínio (conjunto de chegada) o conjunto dos números reais. As sequências numéricas podem ser finitas, quando é possível
Leia mais1. Progressão aritmética Resumo e lista
Colégio Estadual Conselheiro Macedo Soares ª ano do Ensino Médio Atividade de Matemática do 1º bimestre de 019 Conteúdo: Progressão aritmética, Progressão geométrica Aluno(s):... N o(s) :... Aluno(s):...
Leia maisJ = 232 k = 193 J = 232 k = 193 J = 232 k =
Colégio Estadual Conselheiro Macedo Soares Teste 1 do 1º Bimestre de 2019 de Matemática Conteúdo: Curiosidades, Progressão aritmética Professor: Fábio Vinícius Turmas: 2002/3/4 Data: 19.mar.2019 Valor
Leia maisMatemática PROGRESSÕES. Professor Dudan
Matemática PROGRESSÕES Professor Dudan Uma série numérica é uma sequencia de números que respeita uma regra, uma lei de formação. Sendo assim todos foram produzidos à partir de uma mesma ideia. Exemplos:
Leia maisSéries Numéricas 2,10,12,16,17,18,19,? 2,4,6,8,10,? 2,4,8,16,32,?
SÉRIES NUMÉRICAS Séries Numéricas Uma série numérica é uma sequencia de números que respeita uma regra, uma lei de formação. Sendo assim todos foram produzidos à partir de uma mesma ideia. Exemplos: 2,10,12,16,17,18,19,?
Leia maisPROGRESSÃO GEOMÉTRICA
Hewlett-Packard PROGRESSÃO GEOMÉTRICA Aulas 01 a 05 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Ano: 2018 Sumário PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.)... 1 PRELIMINAR 1... 1 DEFINIÇÃO... 1 A RAZÃO DE
Leia maisMatemática. Progressão Geométrica. Professor Dudan.
Matemática Progressão Geométrica Professor Dudan www.acasadoconcurseiro.com.br Matemática PROGRESSÃO GEOMÉTRICA Uma progressão geométrica (abreviadamente, P. G.) é uma sequência numérica em que cada termo,
Leia maisMATEMÁTICA. Sequências Numéricas P.A e P.G. Professor : Dêner Rocha
MATEMÁTICA Sequências Numéricas P.A e P.G Professor : Dêner Rocha Sequência Podemos observar facilmente que o termo sequencia é facilmente encontrado no nosso dia-adia. Vejamos alguns explos: a) As notas
Leia mais01/06/015 MATEMÁTICA PROFESSOR: CRISTIANO JORGE PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA) 1 01/06/015 Sequência ou sucessão: A palavra seqüência sugere a ideia de termos sucessivos e pode ser finita ou infinita. Toda
Leia maisPLANO DE AULA IDENTIFICAÇÃO
PLANO DE AULA IDENTIFICAÇÃO Escola: IFC Campus Avançado Sombrio Município: Sombrio Disciplina: Matemática Série: 2 ano Nível: Ensino médio Professor: Giovani Marcelo Schmidt Tempo estimado: Cinco aulas
Leia maisMatemática SÉRIES NUMÉRICAS. Professor Dudan
Matemática SÉRIES NUMÉRICAS Professor Dudan Uma série numérica é uma sequencia de números que respeita uma regra, uma lei de formação. Sendo assim todos foram produzidos à partir de uma mesma ideia. Exemplos:
Leia mais... Onde usar os conhecimentos os sobre s?...
Manual de IV Matemática SEQÜÊNCIA OU SUCESSÃO Por que aprender Progr ogressõe ssões? s?... O estudo das Progressões é uma ferramenta que nos ajuda a entender fenômenos e fatos do cotidiano, desde situações
Leia maisMATEMÁTICA SEGUNDO ANO
O único lugar onde o sucesso vem antes do trabalho é no dicionário Albert Einstein MATEMÁTICA SEGUNDO ANO NOME COMPLETO: TURMA: TURNO: ANO: PROFESSORA: Progressão Aritmética Conceito; Termo Geral; Soma
Leia maisa 1 a 2 = a 7 = a 31 = a 44 = a 51 = Podemos escrever qualquer termo de uma PA se soubermos o 1º termo e a razão desta PA. n ln.
1.6. Progressão Aritmética (PA). Observe as sequências abaixo: (a n) = (1, 4, 7, 10, 13,...) (b n) = ( -7, -5, -3, -1, 1, 3,...) (c n) = (2016, 2012, 2008, 2004,...) Elas possuem um padrão semelhante.
Leia maisRoteiro de Estudos do 2º Trimestre 2ª Série Disciplina: Matemática Professor: Hugo P.
Roteiro de Estudos do º Trimestre ª Série Disciplina: Matemática Professor: Hugo P. Conteúdos para Avaliação Trimestral: Progressão Aritmética (P.A.): lei de formação; termo geral de uma progressão aritmética,
Leia maisMatemática E Intensivo V. 1
GABARITO Matemática E Intensivo V. Exercícios 0) 5 0) 5 Seja o termo geral = 3n, então: Par =, temos: a = 3. = 3 = Par =, temos: a = 3. = 6 = 5 Par = 3, temos: a 3 = 3. 3 = 9 = 8 Então a + a + a 3 = +
Leia maisPortal da OBMEP. Material Teórico - Módulo Progressões Geométricas. Primeiro Ano
Material Teórico - Módulo Progressões Geométricas Progressões Geométricas: Definição e Lei de Formação Primeiro Ano Autor: Prof. Ulisses Lima Parente Revisor: Prof. Antonio Caminha M. Neto Progressões
Leia maisPara simplificar a notação, também usamos denotar uma sequência usando apenas a imagem de :
Sequências Uma sequência é uma função f de em, ou seja. Para todo número natural i associamos um número real por meio de uma determinada regra de formação. A sequencia pode ser denotada por: Ou, por meio
Leia mais1ª série do Ensino Médio Turma 1º Bimestre de 2017 Data / / Escola Aluno
AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM EM PROCESSO Matemática 1ª série do Ensino Médio Turma 1º Bimestre de 2017 Data / / Escola Aluno EM 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Avaliação da Aprendizagem em Processo
Leia maisProgressão aritmética e progressão geométrica
Progressão aritmética e progressão geométrica Qualquer conjunto cujos elementos obedecem a uma ordem é uma sequência. No cotidiano, encontramos várias sequências: a lista de chamada de uma turma, as palavras
Leia maisLISTA DE EXERCÍCIOS 2º ANO GABARITO
º ANO GABARITO Questão Matemática I 8 9 7 a9 = = 7 9 6 a8 = = 6 9 55 a7 = = Portanto, a média aritmética dos últimos termos será dada por: 8 7 6 55 + + + 7 7 M = = = 6 Questão O número de vigas em cada
Leia maisx 1. Em cada uma das figuras, eles são apenas os primeiros elementos dos
0) Nas figuras a seguir, a curva é o gráfico da função x retângulos hachurados para infinitos que possuem as mesmas características. f x. Observe atentamente o que ocorre com os x. Em cada uma das figuras,
Leia maisEXERCÍCIOS DE REVISÃO ENSINO MÉDIO 4º. BIMESTRE
EXERCÍCIOS DE REVISÃO ENSINO MÉDIO 4º. BIMESTRE 1ª. SÉRIE Inequações Modulares 1.- Resolver em IR a) x 1 < 2 b) 1-2x > 3 c) x 2 4x < 0 Exercícios de PA e PG 1. Determinar o 61º termo da PA ( 9,13,17,21,...)
Leia maisAulas particulares. Conteúdo
Conteúdo Capítulo 4...2 Capitalização Simples...2 Exercícios...6 Resposta... 14 Capitalização Composta... 16 Exercícios... 17 Respostas... 19 Capitulo 5... 20 Progressões... 20 Progressão Aritmética (P.
Leia maisMódulo de Progressões Geométricas. Exercícios de Aprofundamento. 1 a série E.M. Professores Tiago Miranda e Cleber Assis
Módulo de Progressões Geométricas Exercícios de Aprofundamento 1 a série E.M. Professores Tiago Miranda e Cleber Assis Progressões Geométrica Exercícios de Aprofundamento 1 Exercícios Introdutórios Exercício
Leia maisww.vestibularsc.com.br
1) Encontre os cinco primeiros termoss da seqüência definida por an = n² n + 2n, n e N*. 2) Seja a sequência definida por a n = ( 1) n. n 2, n N *, determine o valor de a 4 a 2 3) Dada a sequência por
Leia maisMATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Lista de Exercícios de Matemática / º ano Professor(: Leonardo Data: / JANEIRO / 06. De sonhos e Aluno(: Questão 0) Um casal tem três filhos cujas idades estão em progressão
Leia maisEXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE MATEMÁTICA 1ª Série do E. M. 4º Bimestre
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE MATEMÁTICA 1ª Série do E. M. 4º Bimestre 01. Interpolando-se sete termos aritméticos entre os números 10 e 98, obtém-se uma progressão aritmética cujo termo central é: a) 45.
Leia maisPROGRESSÃO ARITMÉTICA
Hewlett-Packard PROGRESSÃO ARITMÉTICA Aulas 01 a 04 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Ano: 018 Sumário Progressão Aritmética... 1 PRELIMINAR 1... 1 Definição de progressão aritmética
Leia maisFormação Continuada em MATEMÁTICA Fundação CECIERJ/Consórcio CEDERJ
Formação Continuada em MATEMÁTICA Fundação CECIERJ/Consórcio CEDERJ a 1 a 2 a 3 a 4........ a n a 1 a 1 + r a 1 + 2.r a 1 + 3.r........ a 1 + (n - 1).r a 1 a 1. q a 1. q² a 1. q³........ a 1. q n-1 Matemática
Leia maisPA e PG Lista de problemas
COLÉGIO PEDRO II CAMPUS REALENGO II LISTA DE APROFUNDAMENTO - ENEM MATEMÁTICA PROFESSOR: ANTÔNIO ANDRADE COORDENADOR: DIEGO VIUG PA e PG Lista de problemas Questão 01 Em uma clínica ortodôntica são atendidos
Leia maisColégio FAAT Ensino Fundamental e Médio
Colégio FAAT Ensino Fundamental e Médio Conteúdo: Recuperação do 4 Bimestre Matemática Prof. Leandro Capítulo 12: Função Logarítmica: Escala Richter, definição de logaritmo, propriedades operatórias dos
Leia maisProgressões geométricas
A UA UL LA Acesse: http://fuvestibular.com.br/ Progressões geométricas Introdução Nesta aula, vamos abordar outra importante seqüência: a progressão geométrica. É possível que você já tenha ouvido alguém
Leia maisMATEMÁTICA - 2 o ANO MÓDULO 15 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
MATEMÁTICA - 2 o ANO MÓDULO 15 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA Como pode cair no enem (UFMG) A população de uma colônia da bactéria E. coli dobra a cada 20 minutos. Em um experimento, colocou-se, inicialmente, em
Leia maisProjeto de Recuperação Final - 1ª Série (EM)
Projeto de Recuperação Final - 1ª Série (EM) Matemática 1 MATÉRIA A SER ESTUDADA Nome do Fascículo Aula Ex de aula Ex da tarefa Funções Inequação do 1º grau, pág 59 2 4,5,6 Funções Inequação do 1º grau,
Leia maisMatemática. Nas mesmas condições, juntando 16 mesas, o número de pessoas que poderão ser acomodadas é: a) 32 b) 40 c) 36 d) 38 e) 34
Matemática 01- A negação da proposição Ana viu uma assombração ou Bia não ficou assustada é equivalente a: a) Ana não viu uma assombração ou Bia ficou assustada. b) Ana viu uma assombração ou Bia não ficou
Leia maisPlano de Trabalho 1. Regularidades Numéricas: Sequências. Matemática 2º Ano 2º Bimestre/2014. Tarefa 1
Matemática 2º Ano 2º Bimestre/2014 Plano de Trabalho 1 Regularidades Numéricas: Sequências Tarefa 1 Mônica Cristina Martins Pereira Tutor: Susi Cristine Britto Ferreira 1 SUMÁRIO INTRODUÇÃO...03 DESENVOLVIMENTO/ATIVIDADES...04
Leia maisProgressão Aritmética
CEFET - Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca Definição Uma (P.A.) é uma sequência de números (a 1, a 2,..., a n,...) (n N) na qual a diferença entre cada termo a n+1 e o seu antecessor
Leia maisPROGRESSÃO ARITMÉTICA
Matemática Matemática Avançada 3 o ano João mar/12 Nome: PROGRESSÃO ARITMÉTICA Definição Sejam a e r dois números reais. Chama-se Progressão Aritmética (PA) a sequência tal que:!! = a!!!! =!! + r, n Є
Leia maisNuma PA, qualquer termo, a partir do segundo, é a média aritmética do seu antecessor e do seu sucessor.
EEAR/AFA/EFOMM 0-0-015 FELIPE MATEMÁTICA Progressão aritmética ( PA ) Definição Consideremos a seqüência (, 4, 6, 8, 10, 1, 14, 16). Observamos que, a partir do segundo termo, a diferença entre qualquer
Leia maisSequências Numéricas Progressão Aritmética. Prof.: Joni Fusinato
Sequências Numéricas Progressão Aritmética Prof.: Joni Fusinato joni.fusinato@ifsc.edu.br jfusinato@gmail.com Sequências A sequência é um padrão. Pode ser um padrão de: Objetos Cores Letras Números...
Leia maisMATEMÁTICA PROGRESSÕES ARITMÉTICAS (P.A.) PROFº. ADRIANO PAULO. 02. Calcule o 17º termo da P.A. cujo primeiro termo é 3 e cuja razão é 5.
MATEMÁTICA PROGRESSÕES ARITMÉTICAS (P.A.) PROFº. ADRIANO PAULO Determine x de modo que (x, 2x + 1, 5x + 7) seja uma P.A. 01. Determine a de modo que (a 2, (a + 1) 2, (a + 5) 2 ) seja uma P.A. 02. Calcule
Leia maisROTEIRO DE RECUPERAÇÃO 2 - MATEMÁTICA
ROTEIRO DE RECUPERAÇÃO 2 - MATEMÁTICA Nome: Nº 1ª Série Data: / / Professores: Diego, Sami e Thiago Nota: (Valor 2,0) 2º Semestre 1. Apresentação: Prezado aluno, A estrutura da recuperação bimestral paralela
Leia maisLista de PA/PG. Escola SESC de Ensino Médio. 9. (UEL) Uma progressão aritmética de n termos tem. razão igual a 3. Se retirarmos os termos de ordem
Lista de PA/PG Aluno(a): Turma: Professores: Data: André/Edu Vicente/Ulício. PA 1) Calcule sabendo que ( 2x 1; 3x 1; 15x uma P.A. 2) formam, nessa ordem, 2) Calcule o 18º termo de uma progressão aritmética
Leia maisPROGRESSÃO ARITMÉTICA
Hewlett-Packard PROGRESSÃO ARITMÉTICA Aulas 01 a 04 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Ano: 019 Sumário Progressão Aritmética... 1 PRELIMINAR 1... 1 Definição de progressão aritmética
Leia maisAo final de 10 anos, o número de exames por imagem aumentou de 40 milhões por ano para 94 milhões por ano. Isso
Resposta da questão 1: [C] a1 = 6 an = 4 n = número de dias r = 4 = 6 + (n 1) 18 = n 1 n = 19 (6 + 4) 19 48 19 S = = S = 456km Resposta da questão : [C] Tem-se que os elementos de uma mesma coluna estão
Leia mais2ª Série 2016 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
ª Série 6 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS ) A sequência (, 4, 8, 6,...) é uma: a) Função constante b) Progressão aritmética c) Progressão geométrica d) Função exponencial e) Funcão implícita ) O valor de
Leia mais3º Ano do Ensino Médio. Aula nº 03
Nome: Ano: 3º Ano do E.M. Escola: Data: / / 1. Introdução 3º Ano do Ensino Médio Aula nº 03 Assunto: Progressões Aritméticas e Geométricas Definição: Na Matemática, uma sequência numérica é uma composição
Leia maisSequências. Profe Sassá 1.5. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 8 Sequências CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
Profe Sassá Sequências 1.5 Sequência numérica uma sequência finita de n termos é indicada por (a 1, a 2, a 3,..., a n ). uma sequência infinita é indicada por (a 1, a 2, a 3,... a n,...). Exemplos a) A
Leia maisEXERCÍCIOS DE REVISÃO ENSINO MÉDIO 4º. BIMESTRE
EXERCÍCIOS DE REVISÃO ENSINO MÉDIO 4º. BIMESTRE 1ª. SÉRIE Exercícios de PA e PG 1. Determinar o 61º termo da PA ( 9,13,17,21,...) Resp. 249 2. Determinar a razão da PA ( a 1,a 2, a 3,...) em que o primeiro
Leia maisProgressão aritmética é a seqüência numérica onde, a partir do primeiro termo, todos são obtidos somando uma constante chamada razão.
Definição Consideremos a seqüência ( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16). Observamos que, a partir do segundo termo, a diferença entre qualquer termo e seu antecessor é sempre a mesma: 4 2 = 6 4 = 10 8 = 14 12
Leia maisJosé Wammes. Coordenação Editorial: Osmar Antonio Conte. Editoração: José Wammes. Ficha Catalográfica: Rute Teresinha Schio - CRB 1095
1 José Wammes Coordenação Editorial: Osmar Antonio Conte Editoração: José Wammes Ficha Catalográfica: Rute Teresinha Schio - CRB 1095 Direitos desta edição reservados à: José Wammes Av. Ministro Cirne
Leia maisMatemática. Progressão Aritmética. Eduardo. Matemática Progressões
Matemática Progressão Aritmética Eduardo Progressão Aritmética P.A. CRESCENTE r > 0 Ex: (-4, -2, 0,...) P.A. DECRESCENTE r < 0 Ex: (10, 8, 6,...) P.A. CONSTANTE r = 0 Ex: (8, 8, 8,...) Progressão Aritmética
Leia maisTÓPICOS DE REVISÃO MATEMÁTICA I SEQUÊNCIAS E PROGRESSÕES. Prof. Rogério Rodrigues
0 TÓPICOS DE REVISÃO MATEMÁTICA I SEQUÊNCIAS E PROGRESSÕES Prof. Rogério Rodrigues 1 1) SEQUÊNCIA NUMÉRICA: 1.1) Definição: È toda relação que associa cada um dos números naturais n (n 0) a um número real
Leia maisAPOSTILA SOBRE PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)-PROF. CARLINHOS SUCESSÃO OU SEQUENCIA NUMÉRICA
SUCESSÃO OU SEQUENCIA NUMÉRICA Sucessão ou seqüência numérica é todo conjunto de números dispostos numa certa ordem Uma sucessão pode ser finita ou infinita - (2; 5; 8; 11) finita - ( -3; -2; -1; ) infinita
Leia maisPROGRESSÕES. 2) (UFRGS) Considere os triângulos I, II e III caracterizados abaixo através de seus lados.
PROGRESSÕES 1) (UFPI) Numa PA, a 5 = 10 e a 15 = 40; então a é igual a (a) 3 (b) (c) 1 (d) 0 (e) -1 ) (UFRGS) Considere os triângulos I, II e III caracterizados abaixo através de seus lados. - triângulo
Leia maissegundo elemento, a diferença entre qualquer um deles e seu antecessor é igual a uma constante r que será
MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO MÓDULO DE REFORÇO - EAD PROGRESSÕES Progressão Aritmética I) PROGRESSÃO ARITMÉTICA ( PA) Uma Progressão Aritmética é uma sequência de elementos (a 1, a 2, a 3,, a n-1, a n,, ) tal
Leia maisRecorrências - Parte I
Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Álgebra - Nível Prof. Marcelo Mendes Aula 4 Recorrências - Parte I Na aula anterior, vimos alguns exemplos de sequências. Em alguns deles, os termos são dados em
Leia maisEXERCÍCIOS DE REVISÃO ENSINO MÉDIO 4º. BIMESTRE
EXERCÍCIOS DE REVISÃO ENSINO MÉDIO 4º. BIMESTRE 1ª. SÉRIE Exercícios de PA e PG 1. Determinar o 61º termo da PA ( 9,13,17,21,...) Resp. 249 2. Determinar a razão da PA ( a 1,a 2, a 3,...) em que o primeiro
Leia maisROTEIRO DE RECUPERAÇÃO 3 - MATEMÁTICA
ROTEIRO DE RECUPERAÇÃO 3 - MATEMÁTICA Nome: Nº 1ª Série Data: / / Professores: Diego, Luciano e Sami Nota: (Valor 1,0) 3º Bimestre 1. Apresentação: Prezado aluno, A estrutura da recuperação bimestral paralela
Leia maisLISTA DE REVISÃO LOGARITMOS PROFESSOR SANDER
LISTA DE REVISÃO LOGARITMOS PROFESSOR SANDER 01. [Pucpr] Suponha que a vazão de água de um caminhão de bombeiros se dá pela expressão, em que é o volume inicial de água contido no caminhão e t é o tempo
Leia maisSéries Numéricas 2,10,12,16,17,18,19,? 2,4,6,8,10,? 2,4,8,16,32,?
SÉRIES NUMÉRICAS Séries Numéricas Uma série numérica é uma sequencia de números que respeita uma regra, uma lei de formação. Sendo assim todos foram produzidos à partir de uma mesma ideia. Exemplos: 2,10,12,16,17,18,19,?
Leia mais3ª Klaudemir Santiago
Matemática I 3ª Klaudemir Santiago 2ª Série E.M. Competência Objeto de aprendizagem Habilidade Competência 3: Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas
Leia mais1ª série do Ensino Médio Turma 1º Bimestre de 2018 Data / / Escola Aluno
AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM EM PROCESSO Matemática 1ª série do Ensino Médio Turma 1º Bimestre de 2018 Data / / Escola Aluno 22 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 16 Avaliação da Aprendizagem em Processo Prova
Leia maisMATEMÁTICA FINANCEIRA
MATEMÁTICA FINANCEIRA Progressão Aritmética e Geométrica Progressão Aritmética Uma sucessão de números na qual a diferença entre dois termos consecutivos é constante, é denominada progressão aritmética,
Leia maisPor exemplo, vamos obter os termos de uma progressão geométrica de razão 2, partindo do número 3.
Definição: Progressão geométrica (ou simplesmente PG) é uma seqüência de números não nulos em que cada um deles, multiplicado por um número fixo, fornece o próximo elemento da seqüência. Esse número fixo
Leia maisFormação Continuada Nova Eja. Plano de Ação I
Formação Continuada Nova Eja Plano de Ação I Nome: Armando dos Anjos Fernandes Regional: Metro VI Tutor: Deivis de Oliveira Alves Este plano de ação contemplará as unidades 26, 27 e 28. Unidade 26 INTRODUÇÃO
Leia maisEstrada em obras PROGRESSÃO GEOMÉTRICA CONTEÚDOS
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA CONTEÚDOS Progressão geométrica (PG) Razão de uma PG Progressão geométrica crescente Progressão geométrica decrescente Progressão geométrica oscilante Progressão geométrica constante
Leia maisLISTA DE RECUPERAÇÃO ÁLGEBRA 3 ANO 3º TRIMESTRE
LISTA DE RECUPERAÇÃO ÁLGEBRA 3 ANO 3º TRIMESTRE. (G - ifsc 08) Considere x o resultado da operação 55 53. Assinale a alternativa CORRETA, que representa a soma dos algarismos de x. a) 8 b) 3 c) 0 d) 7
Leia maisFundamentos de Matemática Curso: Informática Biomédica
Fundamentos de Matemática Curso: Informática Biomédica Profa. Vanessa Rolnik Artioli Assunto: sequências e matrizes 05 e 06/06/14 Sequências Def.: chama-se sequência finita ou n-upla toda aplicação f do
Leia maisMatéria: Matemática Assunto: Progressão Aritmética Prof. Dudan
Matéria: Matemática Assunto: Progressão Aritmética Prof. Dudan Matemática PROGRESSÃO ARITMÉTICA Definição Uma progressão aritmética (abreviadamente, P. A.) é uma sequência numérica em que cada termo,
Leia maisTrabalho apresentado no Curso de Formação Continuada da Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Trabalho apresentado no Curso de Formação Continuada da Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Orientador: Paulo Alexandre Alves de Carvalho Grupo: 4 Série: 2ª série do Ensino Médio Cursista: Jozilaine Moreira
Leia maisE.E SENADOR LUIZ NOGUEIRA MARTINS
6º A/B Decompor um número natural nas unidades das diversas ordens, de acordo com seu valor posicional. 79,31% FÁCIL Decompor um número natural nas unidades das diversas ordens, de acordo com seu valor
Leia maisPROVA POLÍCIA MILITAR DE PERNAMBUCO (PM PE) SOLDADO QUESTÕES DE 26 A 34 DO CADERNO 2
PROVA POLÍCIA MILITAR DE PERNAMBUCO (PM PE) SOLDADO QUESTÕES DE 26 A 34 DO CADERNO 2 Prof. Márcio Flávio QUESTÃO 26 GABARITO PRELIMINAR: Letra A 26) Determinado setor abastece diariamente sua frota com
Leia maisPROF. LUIZ CARLOS MOREIRA SANTOS PROGRESSÃO ARITMÉTICA P.A.
TEXTO: 1 Tales, um aluno do Curso de Matemática, depois de terminar o semestre com êxito, resolveu viajar para a Europa. Questão 01) O Portão de Brandemburgo, em Berlim, possui cinco entradas, cada uma
Leia maisBANCO DE QUESTÕES TURMA PM-PE PROGRESSÃO ARITMÉTRICA E GEOMÉTRICA
01. (UNESP 016) A figura indica o padrão de uma sequência de grades, feitas com vigas idênticas, que estão dispostas em posição horizontal e vertical. Cada viga tem 0,5 m de comprimento. O padrão da sequência
Leia maisAluno: Turma: 2º CN Ano: 2014 Data : Matéria: Turno:Noite Valor :30pontos Nota:
ESCOLA ESTADUAL DR JOSÉ MARQUES DE OLIVEIRA TRABALHO ESTUDOS INDEPENDENTES DE RECUPERAÇÃO JANEIRO/2015 RESOLUÇÃO SEE Nº 2.197, DE 26 DE OUTUBRO DE 2012 Aluno: Turma: 2º CN Ano: 2014 Data : Matéria: Turno:Noite
Leia maisSequências. 1. (Uem 2013) Seja r um número inteiro positivo fixado. Considere a sequência numérica definida por 1 r
Sequências. (Uem 03) Seja r um número inteiro positivo fixado. Considere a sequência numérica a definida por r e assinale o que for correto. an an a 0) A soma dos 50 primeiros termos da sequência (a, a,
Leia maisRLM - PROFESSOR CARLOS EDUARDO AULA 3
AULA 3 Sucessões = sequências(numéricas) São conjuntos de números reais dispostos numa certa ordem. Uma sequência pode ser FINITA ou INFINITA. Ex: a) (3, 6, 9, 12) sequência finita P.A de razão 3 b) (5,
Leia maisMeu nome: Minha Instituição:
Meu nome: Minha Instituição: . O Teorema Fundamental da Aritmética enuncia que todo número natural maior que ou é primo ou pode ser escrito de forma única, a menos da ordem dos fatores, como produto de
Leia maisPLANO DE AULA IDENTIFICAÇÃO
PLANO DE AULA IDENTIFICAÇÃO Escola: IFC Campus Avançado Sombrio Município: Sombrio Disciplina: Matemática Série: 2 ano Nível: Ensino médio Professor: Giovani Marcelo Schmidt Tempo estimado: Cinco aulas
Leia maisExercícios de Aprofundamento 2015 Mat - Polinômios
Exercícios de Aprofundamento 05 Mat - Polinômios. (Espcex (Aman) 05) O polinômio (x) x x deixa resto r(x). Sabendo disso, o valor numérico de r( ) é a) 0. b) 4. c) 0. d) 4. e) 0. 5 f(x) x x x, uando dividido
Leia maisAPOSTILA DE MATEMÁTICA
1 NEEJA: NÚCLEO DE EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS CONSTRUINDO UM NOVO MUNDO APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO MÓDULO - 8 PROFESSOR: Suzerly Fatima Bonotto Ano: 2015 2 MÓDULO/ 8 SEQUÊNCIAS: Muitos problemas
Leia maisMódulo de Progressões Geométricas. 1 a série E.M. Professores Tiago Miranda e Cleber Assis
Módulo de Progressões Geométricas Definição e Lei de Formação 1 a série E.M. Professores Tiago Miranda e Cleber Assis Progressões Geométrica Definição e Lei de Formação 1 Exercícios Introdutórios Exercício
Leia maisLista de Recomendação - Verificação Suplementar Prof. Marcos Matemática
Nome: Lista de Recomendação - Verificação Suplementar Prof. Marcos Matemática 1. O valor de x, de modo que os números 3x 1, x + 3 e x + 9 estejam, nessa ordem, em PA é: 2. O centésimo número natural par
Leia maisUnidade II MATEMÁTICA APLICADA. Prof. Luiz Felix
Unidade II MATEMÁTICA APLICADA Prof. Luiz Felix Equações do 1º grau Resolver uma equação do 1º grau significa achar valores que estejam em seus domínios e que satisfaçam à sentença do problema, ou seja,
Leia maisCOLÉGIO SANTA TERESINHA R. Madre Beatriz 135 centro Tel. (33)
EU CONFIO COLÉGIO SANTA TERESINHA R. Madre Beatriz 135 centro Tel. (33) 3341-1244 www.colegiosantateresinha.com.br PLANEJAMENTO DE AÇÕES DA 1ª ETAPA 2017 (06/02 a 28/04) PROFESSOR (A): Luciano Carlos De
Leia maisMATEMÁTICA Sequência & Progressões 1. Professor Marcelo Gonsalez Badin
MATEMÁTICA Sequência & Progressões 1 Professor Marcelo Gonsalez Badin Seqüência Série Sucessão {2, 3, 5, 10} = {3, 10, 2, 5} Num conjunto não importa a ordem na qual os elementos são apresentados Conjunto
Leia maisMatemática & Raciocínio Lógico
Matemática & Raciocínio Lógico Prof. Me. Jamur Silveira www.professorjamur.com.br facebook: Professor Jamur JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial
Leia maisGabarito das Questões do Curso de Nivelamento LISTA 2
Gabarito das Questões do Curso de Nivelamento LISTA 2 Questão 01: a) Quociente = 3x + 7, resto = 193 b) Quociente = 5t 2 + 7t + 5, resto = 0 c) Quociente = 5y 3 + y 2 4y + 15, resto = 43 Questão 02: a)
Leia maisProfessor Daniel Reis Página 1
PRÉ-VESTIBULAR OLIVEIRA Prof. DANIEL REIS QUESTÃO 01 O preço unitário de um produto é dado por k P 0, sendo k uma constante e n, o n SIMULADO número de unidades adquiridas. Sabendo que quando foram adquiridas
Leia maisPROGRESSÃO GEOMÉTRICA
Hewlett-Packard PROGRESSÃO GEOMÉTRICA Aulas 01 a 05 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Ano: 2015 Sumário PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.)... 1 PRELIMINAR 1... 1 DEFINIÇÃO... 1 A RAZÃO DE
Leia maisEXERCÍCIOS 2006 APOSTILA MATEMÁTICA
EXERCÍCIOS 2006 APOSTILA MATEMÁTICA Professor: LUIZ ANTÔNIO 1 >>>>>>>>>> PROGRESSÃO ARITMÉTICA P. A.
Leia maisCOLÉGIO SANTA TERESINHA R. Madre Beatriz 135 centro Tel. (33)
EU CONFIO COLÉGIO SANTA TERESINHA R. Madre Beatriz 135 centro Tel. (33) 3341-1244 www.colegiosantateresinha.com.br PLANEJAMENTO DE AÇÕES DA 1ª ETAPA 2016 (01/02 a 29/04) PROFESSOR (A): LUCIANO CARLOS DE
Leia maisMeu nome: Minha Instituição:
Meu nome: Minha Instituição: 1. O Teorema Fundamental da Aritmética enuncia que todo número natural maior que 1 ou é primo ou pode ser escrito de forma única, a menos da ordem dos fatores, como produto
Leia maisBANCO DE QUESTÕES. 4ª) Qual o primeiro termo de uma P.G sabendo que seu nono termo é 1280 e sua razão 2?
Escola de Ensino Médio Professora Maria Edilce Dias Fernandes Rua Capitão Manuel Antônio 1044 Centro - C.E.P.: 62.955-000 - Ibicuitinga Ceará Telefone: (88) 3425-1000 BANCO DE QUESTÕES 1ª) Identifique
Leia mais