Sequências. Profe Sassá 1.5. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 8 Sequências CONEXÕES COM A MATEMÁTICA

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1 Profe Sassá Sequências 1.5

2 Sequência numérica uma sequência finita de n termos é indicada por (a 1, a 2, a 3,..., a n ). uma sequência infinita é indicada por (a 1, a 2, a 3,... a n,...). Exemplos a) A sequência das estações do ano é finita, pois tem um último elemento: (verão, outono, inverno e primavera). b) A sequência dos números primos é infinita. Para indicá-la, escrevemos os primeiros elementos e colocamos reticências no final: (2, 3, 5, 7, 11, 13,...)

3 Determinação de uma sequência numérica Exemplos a) Para determinar a sequência de números naturais ímpares, podemos utilizar a seguinte lei de formação: f(n) = 2n 1, em que n N*. n a n Nesse caso, podemos verificar que a sequência dos números naturais ímpares é: (1, 3, 5, 7, 9,...). Como n pertence a um conjunto infinito, a sequência também é infinita

4 Determinação de uma sequência numérica Exemplos b) Considerando a sequência (7, 14, 21, 28, 35), verificamos que é possível estabelecer uma relação entre o valor de cada termo e sua posição na sequência: n 1 2 a n a 1 = a 2 = 3 a 3 = 4 a 4 = 5 a 5 = Analisando a tabela, verificamos que o termo geral dessa sequência é: a n =, com n {1, 2, 3, 4, 5}

5 Exercício resolvido R1. Determinar os termos da sequência definida por f(n) = 3n + 1, com n N*. Resolução n f(n) = = 3n + 1 f(1) = = = 4 f(2) = = = 7 f(3) = = = 10 f(4) = = = 13 Assim, a sequência é: (4, 7, 10, 13,...)

6 Exercício resolvido R2. Escrever a sequência definida por: Resolução n a n a 1 = 2 a 2 = a 3 = a 4 = A sequência é:

7 Exercício resolvido R3. Dada a sequência (0, 6, 12, 18, 24, 30,...), determinar seu termo geral. Resolução Para n = 1, temos a 1 = 0 = 6 0 = 6 (1 1) Para n = 2, temos a 2 = 6 = 6 1 = 6 (2 1) Para n = 3, temos a 3 = 12 = 6 2 = 6(3 1) Para n qualquer, temos a n = 6 (n 1) n Assim, para o enésimo termo, temos: a n = 6(n 1), com n N*

8 Progressão aritmética Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando-se ao anterior uma constante r chamada razão da PA. Classificação Quando a razão for positiva (r > 0), temos uma PA crescente. Na PA r =. Como r > 0, essa é uma PA crescente

9 Progressão aritmética Quando a razão for negativa (r < 0), temos uma PA decrescente. Na PA (32, 12, 8, 28,...), r = 20. Como r < 0, essa é uma PA decrescente. Quando a razão for nula (r = 0), temos uma PA constante. Na PA ( 5, 5, 5, 5,...), r = 0. Note que todos os termos são iguais, logo r = 0, essa é uma PA constante

10 Termo geral da PA a n = a 1 + (n 1) r, com n N* Vamos determinar, por exemplo, o termo geral da sequência (8, 15, 22, 29, 36,...). Essa sequência é uma PA de razão r = 7 e primeiro termo a 1 = 8. Como o termo geral de uma PA é dado por: a n = a 1 + (n 1) r, temos: a n = 8 + (n 1) 7 a n = 8 + 7n 7 Portanto, o termo geral é a n = 1 + 7n, com n N*

11 Exercício resolvido R4. Sabendo que o décimo segundo termo e o vigésimo primeiro termo de uma PA são, respectivamente, 67 e 130, determinar o primeiro termo e a razão dessa PA. Resolução Pelo enunciado: a 12 = 67 e a 21 = 130 Sendo a 1 o primeiro termo e r a razão da PA, temos: (I) (II) Resolvendo o sistema de equações formado por (I) e (II), obtemos: a 1 = 10 e r =

12 Exercício resolvido R5. Dados três termos consecutivos de uma PA, a p, a q, a s, escrever a q em função de a p e a s. Resolução Pela definição de PA: r = a q a p e r = a s a q Logo: a q a p = a s a q 2a q = a s + a p Portanto,. Ou seja, dados três termos consecutivos de uma PA, o termo do meio é a média aritmética dos outros dois

13 Exercício resolvido R6. Determinar o valor de x para que a sequência (2x 7, x 2 1, x 2 + 8x + 16) seja uma PA e escrever seus termos. Resolução Sejam: a 1 = 2x 7, a 2 = x 2 1, a 3 = x 2 + 8x + 16 Sabemos que a 2 =. Assim: x² 1= Substituindo os valores de x na sequência para x = 11, temos (15, 120, 225); para x = 1, temos ( 9, 0, 9)

14 Exercício resolvido R7. Em uma PA, a 3 + a 8 = 10 e a 5 + a 14 = 22, determinar a 1 e a razão r dessa PA. Resolução Sabemos que: a 3 = a 1 + 2r e a 8 = a 1 + 7r. Pelo enunciado: a 3 + a 8 = 10 (a 1 + 2r) + (a 1 + 7r) = 10 2a 1 + 9r = 10 (I) Analogamente: a 5 + a 14 = 22 (a 1 + 4r) + (a r) = 22 2a r = 22 (II)

15 Exercício resolvido R7. Resolução Resolvendo o sistema de equações formado por (I) e (II), encontramos a 1 e r, assim: Substituindo r = 4 em (I), temos: 2a ( 4) = 10 a 1 =

16 Exercício resolvido R8. Interpolar cinco termos entre 4 e 250 de forma que a sequência seja uma PA. Resolução Observe como obtemos uma PA: 4, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6, termos Então, a PA considerada contém 7 termos, sendo a 1 = 4 e a 7 = 250. Como a 7 = a 1 + 6r, segue que 250 = 4 + 6r. Logo, r = 41. Assim: a 2 = 45, a 3 = 86, a 4 = 127, a 5 = 168 e a 6 = 209. Logo, a sequência procurada é: (4, 45, 86, 127, 168, 209, 250)

17 Exercício resolvido R9. Quantos múltiplos de 6 existem entre e 5.000? Resolução A sequência dos múltiplos de 6 é uma PA de razão 6. O primeiro múltiplo de 6 existente nesse intervalo é a 1 = e o último é a n = Substituindo esses valores na expressão, obtemos: = (n 1) 6 n = 167 Portanto, existem 167 múltiplos de 6 entre e

18 Exercício resolvido R10. Determinar uma PA de três termos na qual a soma e o produto desses termos são, respectivamente, 6 e 42. Resolução Uma maneira conveniente de representar uma PA de três termos e razão r é (x r, x, x + r). Assim: (I) (II)

19 Exercício resolvido R10. Resolução De (I), temos: 3x = 6 Fazendo x = 2 em (II): 4 r 2 = 21 r 2 = 25 r = 5 ou r = 5 Para x = 2 e r = 5, a PA é ( 3, 2, 7). Para x = 2 e r = 5, a PA é (7, 2, 3)

20 Interpretação gráfica da progressão aritmética Orçamento. Para fazer reparos em uma instalação elétrica, um técnico cobra R$ 120,00 pela visita mais R$ 70,00 por hora adicional, conforme indicado na tabela: Tempo (h) Custo (R$) ,00 190,00 260,00 330,

21 Soma dos n primeiros termos de uma PA Carl Friedrich Gauss ( ) é considerado um dos maiores matemáticos do século XVIII. Conta-se que, quando criança, seu professor pediu aos alunos que calculassem a soma: Para surpresa de todos, Gauss resolveu rapidamente o desafio. O professor verificou que Gauss foi o único a acertar a resposta correta, Gottlieb Biermann. Carl Friedrich Gauss, 1877 BRANDENBURG ACADEMY OF SCIENCES AND HUMANITIES, BERLIM

22 Soma dos n primeiros termos de uma PA O pequeno Gauss percebeu que: Como são 50 parcelas iguais a 101, a soma dos termos dessa PA será igual a: = Essa ideia pode ser utilizada para encontrar a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA, sendo conhecidos o primeiro termo e a razão da progressão

23 Soma dos n primeiros termos de uma PA Considere a PA ( ); a soma dos n primeiros termos pode ser indicada por: (I) Ou, invertendo a ordem de seus elementos: (II)

24 Soma dos n primeiros termos de uma PA Somando membro a membro as igualdades (I) e (II), obtemos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Veja que 2S n tem n parcelas iguais a. Assim:. Portanto:

25 Exercício resolvido R11. Sabendo que a soma dos três primeiros termos de uma PA crescente é igual a 3 e o produto deles é 8, escrever a lei e construir o gráfico dessa sequência. Resolução Podemos representar os três primeiros termos dessa PA por x r, x e x + r. Pelo enunciado: (x r) + x + (x + r) = 3 3x = 3 x = 1 Sabemos ainda que o produto desses primeiros termos é igual a 8; logo: (x r) x (x + r) = 8 ( 1 r) ( 1) ( 1 + r) = 8 r 2 1 = 8 r 2 =

26 Exercício resolvido R11. Resolução Portanto, r = 3 ou r = 3. Como a razão não pode ser negativa, pois a PA é crescente, segue que r = 3. Assim, os três primeiros termos dessa PA são 4, 1 e 2. Agora, podemos escrever a lei de formação: f(n) =, com n N

27 Exercício resolvido R11. Resolução Com base na lei de formação f(n) = 4 + 3n, podemos construir o gráfico da PA. f(3) = = 5 f(2) = = 2 f(1) = = 1 f(0) = =

28 Exercício resolvido R12. Calcular a soma dos 80 primeiros termos da PA em que a 1 = 10 e r = 3. Resolução Primeiro vamos determinar o 80 o termo dessa PA: Agora, aplicando a fórmula da soma dos n primeiros termos da PA, temos:

29 Exercício resolvido R13. Determinar o 10 o termo de uma PA, sabendo que a soma dos 48 primeiros termos é igual a e que a razão é r = 2. Resolução Para determinar o 10 o termo, é necessário encontrar o primeiro termo da PA. Sabemos que: Portanto: = 24 (a 1 + a r) a 1 = 26 Assim: a 10 = a 1 + 9r a 10 = a 10 =

30 Exercício resolvido R14. Escrever os termos de uma PA de n termos, em que a 1 = 20, a n = 2n e a soma dos termos é igual a 24. Resolução Substituindo as informações do enunciado na fórmula, obtemos: 24 =, com n * Resolvendo essa equação, obtemos n =

31 Exercício resolvido R14. Resolução Falta encontrar a razão r da sequência. Assim: Como e r = 4, a sequência é: ( 20, 16, 12, 8,..., 24)

32 Exercício resolvido R15. Numa caixa havia bolinhas de gude. Uma pessoa retirou 15 bolinhas na primeira vez, 20 na segunda, 25 na terceira, e assim sucessivamente. Determinar quantas bolinhas sobraram na caixa após a 15 a retirada. Resolução Da PA (15, 20, 25,...), temos: Se foram retiradas 750 bolinhas da caixa, conclui-se que sobraram 250 bolinhas

33 Progressão geométrica Crescimento populacional. Pelos dados do IBGE, éramos cerca de 190 milhões de brasileiros em Considerando um crescimento populacional de 2% ao ano, quantos habitantes, aproximadamente, o Brasil terá em 2014? Para calcular esse valor, tomamos por base o número de brasileiros em

34 Progressão geométrica Ano Número de habitantes ,02 = ,02 = ,02 = ,02 = ,

35 Progressão geométrica Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando-se o anterior por uma constante q chamada razão da PG

36 Progressões geométricas Classificação Quando q = 1, temos uma PG constante. A PG (,,,,...) tem razão q = 1, portanto é constante. Quando a 1 0 e q = 0, temos uma PG estacionária. A PG (3, 0, 0, 0,...) tem a 1 0 e q = 0, portanto é estacionária. Quando a 1 0 e q < 0, temos uma PG oscilante. A PG (2, 10, 50, 250,...) tem razão q = 5, portanto é oscilante

37 Progressões geométricas Classificação Quando a 1 > 0 e q > 0 ou a 1 < 0 e 1 < q < 0, temos uma PG crescente. A PG tem a 1 = 4 e razão q =, portanto é crescente. Quando a 1 > 0 e 1 < q < 0 ou a 1 < 0 e q > 0, temos uma PG decrescente. A PG ( 3, 9, 27,...) tem a 1 = 3 e razão q = 3, portanto é decrescente

38 Termo geral de uma progressão geométrica Dada uma PG (a 1, a 2, a 3, a 4,..., a n,...) de razão q, podemos escrever qualquer termo em função do primeiro. Para isso, devemos nos basear na definição de PG. a 2 = a 1 q a 3 = a 1 q2 a 4 = a 1 q 3 Dessa maneira, encontramos o termo geral que ocupa a enésima posição na PG: a n = a 1 q n 1, com n N * Observe que essa fórmula é a lei de formação de uma função, e que n é o número de termos da PG até o termo a n

39 Exercício resolvido R16. Determinar o oitavo termo da progressão geométrica ( 3, 18, 108,...). Resolução Primeiro, devemos encontrar a razão da PG: q = Agora, basta utilizar a fórmula a n = a 1 q n 1. Sendo a 1 = 3, o oitavo termo é: a 8 = a 1 q 8 1 a 8 = a 1 q 7 a 8 = 3 ( 6) 7 a 8 =

40 Exercício resolvido R17. Determinar a razão de uma PG não oscilante a 3 + a 6 = 169 e a 5 + a 8 = 144. Resolução Pela primeira condição, obtemos a 1 em função da razão q: a 3 + a 6 = 169 a 1 q 2 + a 1 q 5 = 169 a 1 (q 2 + q 5 ) = 169 a 1 = Da mesma forma, considerando a segunda condição, obtemos a 1 : a 5 + a 8 = 144 a 1 q 4 + a 1 q 7 = 144 a 1 q 2 (q 2 + q 5 ) = = 144 a 1 =

41 Exercício resolvido R17. Resolução Igualando as duas equações, temos: Como a PG é não oscilante, ou seja, q > 0, então

42 Exercício resolvido R18. Dados três termos consecutivos de uma PG, (..., a m, a n, a p,...), escrever a n em função de a m e a p. Resolução Pela definição de PG, a n = a q e a m p = a n q Considerando termos não nulos, temos: e Assim, A relação é válida também para os termos nulos. Portanto, dados três termos consecutivos de uma PG, o termo do meio é a média geométrica dos outros dois

43 Exercício resolvido R19. Determinar três números em PG de modo que a soma deles seja 333 e o produto Resolução Sendo x o termo intermediário e q 0 a razão da PG, temos:. Primeiro, indicamos a soma: = 0 (I) Agora indicamos o produto, obtendo o valor de x:

44 Exercício resolvido R19. Resolução Substituindo o valor x na equação (I): Resolvendo a equação, obtemos q = ou q = 10. Para q =, encontramos 300, 30 e 3. Para q = 10, encontramos 3, 30 e

45 Exercício resolvido R20. Interpolar três termos entre e para que a sequência seja uma PG. Resolução Interpolar meios geométricos significa inserir termos entre os que já foram dados de forma que a sequência obtida seja uma PG. Assim, a PG obtida contém cinco termos, sendo e

46 Exercício resolvido R20. Resolução Como a 5 = a 1 q4, segue que. Logo, q = ou q =. Para q = a PG é: Para q = a PG é:

47 Exercício resolvido R21. Economia. A produção anual de uma empresa cresceu em PG de 2002 a Determinar qual foi a produção nos anos 2003 e 2004, sabendo que, em 2002, a produção foi de 690 unidades e, em 2005, de unidades. Resolução Devemos interpolar dois termos entre os extremos 690 e Sendo a 1 = 690 e a 4 = , vamos calcular o valor da razão q: a n = a 1 q n 1 a 4 = a 1 q = 690 q 3 q = q =

48 Exercício resolvido R21. Resolução Produção em 2003: a 2 = a 1 q a 2 = a 2 = Produção em 2004: a 3 = a 2 q a 3 = a 3 = Portanto, a produção em 2003 foi de e, em 2004, de unidades

49 Interpretação gráfica da progressão geométrica Radioatividade. Na medicina nuclear, é importante conhecer a velocidade com que um elemento radioativo se desintegra, para saber por quanto tempo haverá radioatividade no organismo do paciente. Chama-se meia-vida o tempo necessário para desintegrar metade dos átomos radioativos existentes em dada amostra. Um exemplo é o elemento radioativo (iodo 131), cuja meia-vida é de 8 dias. Esse elemento é usado no diagnóstico de doenças de tireoide

50 Interpretação gráfica da progressão geométrica Podemos interpretar graficamente o decaimento radioativo. Suponha que tenhamos 16 g de e queiramos representar a desintegração desse elemento. A lei de formação que descreve essa situação é do tipo exponencial:, em que n é a quantidade de meias-vidas n N e f(n) a massa

51 Interpretação gráfica da progressão geométrica Observe que a sequência (16, 8, 4, 2, 1,...) é uma progressão geométrica de razão

52 Construção do gráfico de uma progressão geométrica Vamos agora construir o gráfico da progressão geométrica com a 0 = e q = 3. A lei de formação dessa PG é: a n = (n N). Utilizando essa lei, podemos construir o gráfico da PG

53 Construção do gráfico de uma progressão geométrica Para n = 0, temos: Para n = 1, temos: Para n = 2, temos: Para n = 3, temos: Observe que os pontos do gráfico da PG pertencem ao gráfico de uma função exponencial

54 Soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica Dada uma PG de razão q 1, podemos calcular a soma de seus termos tendo apenas o primeiro termo e a razão da PG. Primeiro, consideramos a soma dos termos da PG: (I)

55 Soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica Agora, vamos multiplicar os dois membros da sentença pela razão q: (II)

56 Soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica Subtraindo (II) de (I), temos: Logo, para q 1, temos: Essa fórmula é a lei de formação de uma função, e n é um número natural

57 Soma dos termos de uma progressão geométrica infinita Vamos calcular a soma dos termos da PG. Primeiro, vamos calcular a soma, para alguns valores de n. Para n = 6, temos: Para n = 13, temos: Para n = 25, temos:

58 Soma dos termos de uma progressão geométrica infinita Observe que, quanto maior o valor de n, mais próxima de zero será a potência e mais próxima de 0,5 será a soma S n. Nesse caso, dizemos que, quando n tende a infinito, a potência tende a zero e a soma S n tende a 0,5. Veja as notações: Lemos: o limite de, quando n tende a infinito, é igual a zero. Lemos: o limite de, quando n tende a infinito, é igual a

59 Soma dos termos de uma progressão geométrica infinita Seja (a 1, a 2, a 3, a 4,...) uma progressão geométrica em que 1 < q < 1. Quando n tende a infinito, a potência q n tende a zero. Com essas informações, vamos calcular o limite da soma : Logo, para 1 < q < 1, temos:

60 Exercício resolvido R22. Calcular a soma dos sete primeiros termos da PG (6, 18, 54,...). Resolução Observe que essa PG tem a 1 = 6 e q = 3. Utilizando a fórmula, temos:

61 Exercício resolvido R23. Determine a fração geratriz da dízima: 0, Resolução Vamos escrever essa dízima periódica como uma soma infinita. Sendo x = 0, , podemos escrever: x = 0,4 + 0,04 + 0, , As parcelas formam uma PG infinita com a 1 = 0,4 e q = 0,1. Portanto, a fração geratriz é o limite da soma:

62 Resolução de problemas que envolvem PA e PG Exemplo Determinar os valores de x e y de modo que a sequência (x, 7, y) seja uma PA de termos positivos e (y, 15, 75) seja uma PG de termos positivos. Se x, 7 e y estão em PA, então: 7 x = y 7 x + y = 14 Se y, 15 e 75 estão em PG, então: Substituindo y = 3 na equação x + y = 14, temos: x + 3 = 14 x =

63 Resolução de problemas que envolvem PA e PG Exemplo Economia. Em uma cidade há duas empresas que foram inauguradas na mesma data. Nos últimos anos, a empresa A manteve certo crescimento: no primeiro ano, obteve lucro de R$ ; no ano seguinte, de R$ ; no outro ano, de R$ ; e assim por diante. A empresa B também manteve certo crescimento: no primeiro ano obteve lucro de R$ ; no ano seguinte, de R$ ; no outro ano, de R$ ; e assim por diante

64 Resolução de problemas que envolvem PA e PG Verificar graficamente o crescimento anual do lucro dessas duas empresas. Qual dos lucros cresceu mais rápido? O da empresa A ou o da empresa B? Observe que a sequência dos lucros da empresa A forma uma PA: ( , , ,...), em que a 0 = e r = A lei de formação dessa PA é: a n = a 0 + n r a n = n

65 Resolução de problemas que envolvem PA e PG Já a sequência dos lucros da empresa B forma uma PG: (20.000, , ,...), em que a 0 = e q = 2. A lei de formação dessa PG é: a n = a 0 q n a n = n

66 Resolução de problemas que envolvem PA e PG Construindo os gráficos da PA e da PG, obtemos: Observe que o lucro da empresa B cresce mais rápido que o da empresa A. No terceiro ano de funcionamento, a empresa B atingiu lucro de R$ (8 vezes o lucro inicial). Já a empresa A, nesse mesmo período, atingiu um lucro de R$ (1,3 vez o lucro inicial)

67 Coordenação editorial: Juliane Matsubara Barroso Edição de texto: Ana Paula Souza Nani, Adriano Rosa Lopes, Enrico Briese Casentini, Everton José Luciano, Juliana Ikeda, Marilu Maranho Tassetto, Willian Raphael Silva Assistência editorial: Pedro Almeida do Amaral Cortez Preparação de texto: Renato da Rocha Carlos Coordenação de produção: Maria José Tanbellini Iconografia: Daniela Chahin Barauna, Erika Freitas, Fernanda Siwiec, Monica de Souza e Yan Comunicação Ilustração dos gráficos: Adilson Secco EDITORA MODERNA Diretoria de Tecnologia Educacional Editora executiva: Kelly Mayumi Ishida Coordenadora editorial: Ivonete Lucirio Editores: Andre Jun, Felipe Jordani e Natália Coltri Fernandes Assistentes editoriais: Ciça Japiassu Reis e Renata Michelin Editor de arte: Fabio Ventura Editor assistente de arte: Eduardo Bertolini Assistentes de arte: Ana Maria Totaro, Camila Castro e Valdeí Prazeres Revisores: Antonio Carlos Marques, Diego Rezende e Ramiro Morais Torres Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei de 19 de fevereiro de Todos os direitos reservados. EDITORA MODERNA Rua Padre Adelino, 758 Belenzinho São Paulo SP Brasil CEP: Vendas e atendimento: Tel. (0 11) Fax (0 11)