DÍZIMAS PERIÓDICAS DOIS OLHARES: DO ENSINO MÉDIO E DO SUPERIOR

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1 DÍZIMAS PERIÓDICAS DOIS OLHARES: DO ENSINO MÉDIO E DO SUPERIOR NASCIMENTO, A.C. @fap.com.br WEBER, T. C. @fap.com.br MERLI, R. F. renato.francisco@fap.com.br Resumo: O trabalho se baseia na história da dízima periódica e em dois olhares sobre ela sendo, o primeiro mostraremos como é ensinada na educação básica e no segundo olhar mostraremos como é ensinado na educação superior. Nesta mesma linha de raciocino o trabalho frisa o nível de complexidade que cada maneira o singular possui. Palavras-Chave: periódicas. Educação Matemática, Representação decimal, Dízimas Abstract: The work is based on the history of decimating periodic and two eyes on it being the first show as taught in basic education and the second look will show how it is taught in higher education. In this same line of reasoning work emphasizes the level of complexity that each possesses the singular way. Keywords: Mathematics Education, decimal representation, regular tithes. 1. Introdução O presente trabalho aborda o tema dízima periódica, carregando consigo a história das dízimas periódicas, sua representação na matemática e as diferentes maneiras de se ensiná-la. Assim, de acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática para o ensino fundamental, as dificuldades encontradas no processo de aprendizagem dos números racionais, em especial, dos decimais finitos e infinitos deve-se ao fato de que a aprendizagem dos números racionais supõem rupturas com idéias construídas para os números naturais. (BRASIL, 1998, p 67). Convém ressaltar que é de extrema importância no ensino de matemática, apresentar aos alunos de forma sucinta e descomplicada os números racionais, com a finalidade de quebrar o paradigma de que esses números são

2 complicados. O foco principal é olhar para as diferentes representações de uma dízima periódica, sendo assim faremos um retrospecto histórico. 2. História da dízima periódica Dízima periódica é um numero racional e se origina de uma fração geratriz. O número fracionário surgiu por volta de a.c., quando um antigo faraó de nome Sesóstris repartiu o solo do Egito às margens do rio Nilo entre seus habitantes, de modo que usavam cordas para fazer a medição e cuja unidade medida usada era o tamanho da própria corda, por mais adequada que fosse a unidade de medida, dificilmente cabia um número inteiro de vezes nos lados do terreno. Foi por essa razão que os egípcios criaram um novo tipo de número: o número fracionário. Representar um número por meio de uma fração sempre foi um problema antigo da matemática, contudo, por volta de 800 d.c., os hindus encontraram uma nova forma de representar os números, surgindo assim os primeiros decimais, como aponta ALLAN (2007, p 465) ao dizer que, Simon Stevin em 1585 foi quem realmente introduziu os decimais no quotidiano, apesar de uma notação um pouco complicada. (ALLAN, 2007, p.465) Pode-se entender como noção decimal um processo infinito no sentido que não termina nunca, é o caso de 1/5: se multiplicarmos o numerador desta fração por potências sucessivas de 10 obtemos sempre o mesmo resto 1 e o processo é periódico.(allan, 2007). Youssef (2009) define uma Dízima Periódica como uma representação numérica, tanto decimal quanto fracionária, onde existe uma seqüência finita de algarismos que se repetem indefinidamente. Como exemplo, podemos citar: 2/7 = 0, Vejamos como podemos representar uma fração numa perspectiva do ensino médio e do ensino superior. 3. Olhando para a Dízima Periódica no Ensino Médio Buscando entender a representação de uma dízima no Ensino Médio, vejamos a seguinte situação retirada do livro Novo olhar Matemática, de Joamir Souza, na página 250: Determine a fração geratriz da dízima periódica 1, Para resolvê-la, utilizamos o seguinte algoritmo, ensinado no ensino médio, de forma mecânica.

3 Chamando a dízima 1, de x então temos: x= 1, (1) De acordo com a quantidade de algarismos do período (no caso ) multiplica-se a dízima periódica por 10, 100 ou Assim, para esse problema em questão, fazemos: 100x = 125, (2) Subtraindo a segunda igualdade da primeira temos: 100 x =125, x=1, x=124 x=124/99 A explicação para esse algoritmo é a seguinte: chama-se a dízima de x, pois é de simples compreensão já que x é o número fracionário que é necessário encontrar. Convém sublinhar que se multiplica o período da dízima porque se trata de uma representação para frações com potências de 10, 100 e 1000 no denominador da fração. Notemos que na representação decimal, a quantidade de algarismos que fica à direita da vírgula é igual à quantidade de zeros do denominador da fração correspondente, portanto, ao se subtrair uma igualdade da outra, algoritmo interessante e implementado por Gauss, conseguimos eliminar a parte periódica, ficando apenas os números não-periódicos. 4. Olhando para a Dízima Periódica no Ensino Superior No ensino superior a dízima é ensinada fazendo uso de séries geométricas convergentes. Thomas ( 2003) define uma série geométrica como sendo a expressão a + ar + ar 2 + ar ar n =, em que ela convergirá para um dado valor, se o < 1. temos: Utilizando o mesmo exemplo anterior, mas com essa nova abordagem, Determine a fração geratriz da dízima 1, Para resolvê-la utilizando como abordagem a série geométrica, fazemos: 1, = 1+0,25+0,0025+0, = Note que ( ) é uma série geométrica convergente, pois r = e a 1= Logo a soma é dada por = = =. E a dízima é dada por 1 + =.

4 Podemos escrever essa dízima como uma soma infinita do tipo 1, = 1+0,25+ 0, , Como a quantidade de algarismos que fica à direita da vírgula é igual à quantidade de zeros do denominador da fração correspondente temos: Observe que as somas das parcelas formam uma Progressão Geométrica 1 (PG) de razão. A soma dos n primeiros de termos de uma PG finita é definida por: Sn= = a 1 + a 2 + a a n, n 1 Assim, observamos que: a 2 = a1.q a 3 = a 2.q a3 = a1.q.q a 3 = a 1.q 2 a 4 = a 3.q a 4 = a 1.q 2.q a 4 = a 1.q 3 an = a n 1.q a n = a 1.q n 1.q a n = a 1.q n 1 Fazendo as devidas alterações algébricas, chegamos que S n =.( ).Quando temos uma PG infinita cuja razão é maior que 1 < q <1, é possível determinar uma fórmula que permite calcular o limite dos termos dessa PG. Analisando a fórmula S n = a 1. observe que, à medida que n cresce indefinidamente q n aproxima-se de zero já que 1 < q < 1. Em outras palavras, à medida que n + (lê-se: n tende ao infinito) q n 0 (lê-se q n tende a zero) ou seja, : lim q n = 0. Logo, : lim Sn = ( ), isto é : lim S n =, 0< q <1. Vejamos por exemplo, a PG em que a 1 = e q =. A fração correspondente a 1, é o limite da soma dessa PG infinita lim = = = = = 1+ =. De acordo com BRASIL (1999), Para o aprendizado cientifico matemático e tecnológico, a experimentação, seja ela de demonstração, seja de observação e manipulação de situações e equipamento do cotidiano do aluno e até mesmo laboratorial, propriamente dita é destinada daquela conduzida para a descoberta cientifica e é particularmente importante quando permite ao estudante diferentes e concomitantes formulas de condição qualitativa e quantitativa, de 1 Chamamos de progressão geométrica (PG) toda sequência numérica em que, a partir do 2º termo, o quociente entre um termo e seu antecessor é igual a uma constante, chamada razão de progressão e indicada por q. (SOUZA, 2010, p. 237)

5 manuseio, observação, confronto, duvida e de construção conceitual.(brasil, 1999, p. 266). Vale ressaltar que a dízima periódica quando é resolvida por meio de séries os alunos têm que identificar o período da dízima, para então multiplicar a dízima por 10, 100, 1000,... com a finalidade de deslocar a vírgula de modo a posicioná-la imediatamente antes do primeiro período e na sequência os alunos fazem a subtração das igualdades. Já quando se usa progressão geométrica para determinar uma fração geratriz os alunos apenas têm que identificar o primeiro termo e a razão da sequência e em seguida aplicar na fórmula S n =. Depois destas breves noções preliminares é de extrema importância que o professor passe para seus alunos um ensino livre, com oportunidade de escolhas de representação. 5. Conclusão Com este trabalho, pudemos investigar que o conteúdo de dízimas periódicas pode ser explicado por mais de uma maneira, sendo que, talvez, o método utilizado no ensino possa melhorar e aperfeiçoar o modo como os alunos enxergam esse conteúdo, desta forma é importante que o professor possibilite ao aluno as duas maneiras de encontrar uma fração de dízima periódica, deixando a seu cargo, a escolha de problemas posteriores. 6. Referências SOUZA, J. Novo olhar matemática. 1. ed. São Paulo: FTD, COSTA, C. P. D.PG. Disponível em: < semana-6/55>.acesso em: 29 set NELO D, A. Decimais infinitos. Disponível em: < /RBHM%20-%20Festschrift/38%20-%20Nelo%20-%20final.pdf>. Acesso em: 22 set YOUSSEF, A. N. Dízima Periódica. Disponível em:< matematica/dízima-periodica/>. Acesso em: 22 set THOMAS, G. B. Cálculo, volume 2, 10. ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, BONJORNO,J.R.Matemática:fazendo a diferença.1. ed. São Paulo: FTD, 2006.