Matemática. Progressão Geométrica. Professor Dudan.

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Ester Porto Peixoto
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1 Matemática Progressão Geométrica Professor Dudan

3 Matemática PROGRESSÃO GEOMÉTRICA Uma progressão geométrica (abreviadamente, P. G.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante q. O número q é chamado de razão da progressão geométrica. Alguns exemplos de progressões geométricas: 1, 2, 4, 8, 16,..., é uma progressão geométrica em que a razão é igual a 2. 1, 3, 9, 27, 81,..., é uma P.G. em que q = 3. 6, 6, 6, 6, 6,..., é uma P.G. com q = 1. (3, 9, 27, 81, 243,...) é uma P.G. Crescente de razão q = 3 (90, 30, 10, 10/3,...) é uma P.G. Decrescente de razão q = 1 3 Exemplo: (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,...) q= a 2 = 2 a 1 1 = 2 ou q= a 3 = 4 a 2 2 = 2 ou q= a 4 = 8 = 2 e assim por diante. a 3 4 Dica: Observe que a razão é constante e pode ser calculada dividindo um termo qualquer pelo seu antecessor. CLASSIFICAÇÃO Uma P.G. pode ser classificada em crescente, decrescente, constante ou oscilante dependendo de como é a sua razão (q). Exemplos: I (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,...) CRESCENTE pois a 2 > a 1, a 3 > a 2 e assim por diante; II ( 1, 3, 9, 27, 81,...) DECRESCENTE pois a 2 < a 1, a 3 < a 2 e assim por diante; 3

4 III (7, 7, 7, 7, 7,...) CONSTANTE pois q =1 e a 2 =a 1 e assim por diante; IV (3, 6, 12, 24, 48, 96,...) OSCILANTE pois há alternância dos sinais. TERMO GERAL ou enésimo termo ou último termo Numa P.G. de n termos, chamamos de termo geral ou enésimo termo o último termo ou o termo genérico dessa sequência. a n = a 1.q n-1 ou a n = a p.q n-p Atenção! a 20 = a 1 q 19 ou a 20 = a 7.q 13 ou a 20 =a 14 q 6 ou a 20 = a 18 q 2 Exemplo Resolvido Em uma progressão geométrica, temos que o 1º termo equivale a 4 e a razão igual a 3. Determine o 8º termo dessa PG. a 8 = 4.37 a 8 = a 8 = 8748 logo o 8º termo da PG descrita é o número Faça Você: 1. Dada a progressão geométrica (5, 10, 20, 40,...), determine: a) razão b) oitavo termo c) a 10 d) termo geral 2. Calcule a razão da P.G. na qual o primeiro termo vale 2 é o quarto termo vale

5 Matemática Progressão Geométrica Prof. Dudan TERMO GERAL ou MÉDIO Numa progressão geométrica, a partir do segundo termo, o termo central é a média geométrica do termo antecessor e do sucessor, isto é a n = a n 1.a n+1 Exemplo Resolvido: Na P.G (2,4,8,16,...) veremos que 4 = 2.8 ou 8 = 4.16, etc. Faça Você 3. Calcule a razão da P.G. (x 2, x + 1, x + 7,...). 4. Na P.G. cujos três primeiros termos são x 10, x e 3x, o valor positivo de x é: a) 15. b) 10. c) 5. d) 20. e) O primeiro termo de uma progressão geométrica em que a 3 = 1 e a 5 = 9 é: a) b) 9 c) 1 3 d) 1 e) 0 6. O quinto e o sétimo termo de uma P.G. de razão positiva valem respectivamente 10 e 16. O sexto termo desta P.G. é: a) 13 b) 10 c) 4 10 d) 41 e)

6 SOMA DOS FINITOS TERMOS Caso deseja-se a soma de uma quantidade exata de termos, usaremos: Exemplo: Considerando a PG (3, 9, 27, 81,...), determine a soma dos seus 7 primeiros elementos. Faça Você: 7. Calcule a soma dos oito primeiros termos da progressão (3, 6, 12, 24,...) 8. Calcule a soma dos 9 primeiros termos da série (2, 4, 8, 16,...) 6

G usaremos: Dica: Essa fórmula é usada quando o texto confirma o desejo pela soma de uma quantidade infinita de termos e

7 Matemática Progressão Geométrica Prof. Dudan SOMA DOS INFINITOS TERMOS Para calcular a soma de uma quantidade infinita de termos de uma P.G usaremos: Dica: Essa fórmula é usada quando o texto confirma o desejo pela soma de uma quantidade infinita de termos e também quando temos 0 < q < 1. Faça Você: 9. Calcule a soma dos infinitos termos da progressão 6,3, 3 2, 3 4, Determine x, sendo x+ 2x 3 + 4x 9 + 8x +... = a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 7

8 11. O valor de x na igualdade x+ (x) 3 + (x) +... = 12, é igual a: 9 a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) n.d.a. 12. A soma da série infinita é: 125+ a) 6 5 b) 7 5 c) 5 4 d) 2 e) A soma dos seis primeiros termos da PG a) b) c) d) ,1 6, 1 12,... é: e) Na 2ª feira, foram colocados 3 grãos de feijão num vidro vazio. Na 3ª feira, o vidro recebeu 9 grãos, na 4ª feira, 27 e assim por diante. No dia em que recebeu 2187 grãos, o vidro ficou completamente cheio, isso ocorreu: a) num sábado b) num domingo c) numa 2ª feira d) no 10º dia e) no 30º dia 8

9 Matemática Progressão Geométrica Prof. Dudan 15. Considere que em julho de 1986 foi constatado que era despejada uma certa quantidade de litros de poluentes em um rio e que, a partir de então, essa quantidade dobrou a cada ano. Se hoje a quantidade de poluentes despejados nesse rio é de 1 milhão de litros, há quantos anos ela era de 500 mil litros? a) Nada se pode concluir, já que não é dada a quantidade despejada em b) Seis. c) Quatro. d) Dois. e) Um. Gabarito: 4. A 5. B 6. C 10. C 11. A 12. C 13. D 14. B 15. E 9

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