Matéria: Matemática Assunto: Variância e desvio padrão Prof. Dudan

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1 Matéria: Matemática Assunto: Variância e desvio padrão Prof. Dudan

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3 Matemática VARIÂNCIA Na estatística, a variância de uma variável aleatória é uma medida da sua dispersão estatística, indicando quão longe em geral os seus valores se encontram do valor esperado. A variância deve ser calculada através da soma dos quadrados entre a diferença de um valor observado e o valor médio. A diferença serve para mostrar quanto um valor observado se distancia do valor médio. Para população a fórmula é a seguinte: V A = ( X ) 1 X ² m + ( X ) 2 X ² m +...( X X ) n ² m n Obs.: a unidade da variância é igual a unidade de medida das observações elevada ao quadrado. Dentro da Estatística, existem diversas formas de analisar um conjunto de dados, a depender da necessidade em cada caso. Imagine que um treinador anote o tempo gasto por cada um de seus atletas a cada treino de corrida e, depois, observe que o tempo de alguns de seus corredores está apresentando considerável variação, o que pode resultar em derrota em uma competição oficial. Nesse caso, é interessante que o treinador tenha algum método para verificar a dispersão entre os tempos de cada atleta. Exemplo: No exemplo citado anteriormente, temos os tempos anotados de cada atleta. Atletas Dia 1 Dia 2 Dia Dia 4 Dia 5 João 6 min 60 min 59 min 55 min 62 min Pedro 54 min 59 min 60 min 57 min 61 min Marcos 60 min 6 min 58 min 62 min 55 min

4 Antes de calcular a variância, é necessário encontrar a média aritmética dos tempos de cada atleta. Para tanto, o treinador fez os seguintes cálculos: Agora que o treinador já conhece o tempo médio de cada atleta, ele pode utilizar a variância para obter a distância dos períodos de cada corrida em relação a esse valor médio. Para calcular a variância de cada corredor, pode ser realizado o seguinte cálculo: Para cada atleta, o treinador calculou a variância: 4

5 Matemática Prof. Dudan De acordo com os cálculos da variância, o atleta que apresenta os tempos mais dispersos da média é o Marcos. Já Pedro apresentou tempos mais próximos de sua média do que os demais corredores. Exemplo: Observe as notas de três competidores em uma prova de manobras radicais com skates. Competidor A: 7,0 5,0,0 Competidor B: 5,0 4,0 6,0 Competidor C: 4,0 4,0 7,0 Ao calcular a média das notas dos três competidores iremos obter média cinco para todos, impossibilitando a nossa análise sobre a regularidade dos competidores. Partindo dessa ideia, precisamos adotar uma medida que apresente a variação dessas notas no intuito de não comprometer a análise. Assim calcularemos a variância dos valores apresentados por atleta. (7 5) ² + (5 5) ² + ( 5) ² V A = = = 2,667 (5 5) ² + (4 5) ² + (6 5) ² V B = = = 0,667 (4 5) ² + (4 5) ² + (7 5) ² V C = = = 2 Assim percebemos que o competidor B é o mais regular de todos. Exemplo: O dono de uma microempresa pretende saber, em média, quantos produtos são produzidos por cada funcionário em um dia. O chefe tem conhecimento que nem todos conseguem fazer a mesma quantidade de peças, mas pede que seus funcionários façam um registro de sua produção em uma semana de trabalho. Ao fim desse período, chegou-se à seguinte tabela: 5

6 Funcionários Quantidade de peças produzidas por dia Seg Ter Quar Quin Sext A B C D Para saber a produção média de seus funcionários, o chefe faz o cálculo da média aritmética de produção, isto é, a soma do número de peças produzido em cada dia dividida pela quantidade analisada de dias. A partir desse cálculo, temos a produção diária média de cada funcionário. Mas se observarmos bem a tabela, veremos que há valores distantes da média. O funcionário B, por exemplo, produz uma média de 12,8 peças por dia. No entanto, houve um dia em que ele produziu 16 peças e outro dia em que ele confeccionou apenas 10 peças. Será que o processo utilizado pelo dono da empresa é suficiente para o seu propósito? Faremos o cálculo da variância para cada um dos funcionários. Primeiramente calcularemos a média de peças produzidas por cada um deles. Agora a variância: 6

7 Matemática Prof. Dudan Podemos afirmar que a produção diária do funcionário C é mais uniforme do que a dos demais funcionários, assim como a quantidade de peças diárias de D é a mais desigual. Quanto maior for a variância, mais distantes da média estarão os valores, e quanto menor for a variância, mais próximos os valores estarão da média. Para amostra a soma dessas diferenças deve ser dividida por n-1, onde n é o número de elementos da amostra. V A = ( X ) 1 X ² m + ( X ) 2 X ² m +...( X ) n X ² m n 1 Exemplo: Calcular a variância amostral do conjunto : 1, 2,, 4, 5 n = 5 e X m (média) = logo: Var = = = = 2,5 7

8 DESVIO PADRÃO O desvio padrão é calculado extraindo a raiz quadrada da variância. D. P. = V A A unidade do desvio padrão é igual a unidade de medida das observações. Exemplo: O dono de uma microempresa pretende saber, em média, quantos produtos são produzidos por cada funcionário em um dia. O chefe tem conhecimento que nem todos conseguem fazer a mesma quantidade de peças, mas pede que seus funcionários façam um registro de sua produção em uma semana de trabalho. Ao fim desse período, chegou-se à seguinte tabela: Funcionários Quantidade de peças produzidas por dia Seg Ter Quar Quin Sext A B C D Faremos o cálculo da variância para cada um dos funcionários. Primeiramente calcularemos a média de peças produzidas por cada um deles.

9 Matemática Prof. Dudan Agora a variância: 9

10 Calculando o desvio, temos: Exemplo: O serviço de atendimento ao consumidor de uma concessionária de veículos recebe as reclamações dos clientes via telefone. Tendo em vista a melhoria nesse serviço, foram anotados os números de chamadas durante um período de sete dias consecutivos. Os resultados obtidos foram os seguintes: Dia Número de chamadas Domingo Segunda 4 Terça 6 Quarta 9 Quinta 5 Sexta 7 Sábado 8 Sobre as informações contidas nesse quadro, podemos afirmar que: a) O número médio de chamadas dos últimos sete dias foi 6,5. b) A média é menor que a variância. c) A variância dos dados é 4. d) O desvio padrão dos dados é 2. e) O desvio é um número ímpar. 10