Nilza Nunes da Silva/Regina Bernal 1

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Mikaela Fartaria Bergler
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1 CAPÍTULO 1 - MEDIDAS QUANTITATIVAS UMA VARIÁVEL 1.10 MEDIDAS DE POSIÇÃO ( MÉDIA, MEDIANA, MODA) Variáveis Discretas Variáveis contínuas (valores em classes) 1.11 MEDIDAS DE DISPERSÃO (Variância, Desvio Padrão, coeficiente de variação) 1.12 BIBLIOGRAFIAS Nilza Nunes da Silva/Regina Bernal 1

2 1.10 MEDIDAS DE POSIÇÃO São sínteses numéricas que, por diferentes critérios, localizam o centro da distribuição de freqüências de uma variável quantitativa. Considere o número de internações (X) de um hospital, observado para os trinta dias do mês de abril de Os dados são listados abaixo, por ordem cronológica. A tabela 1 apresenta sua distribuição de freqüências e demais colunas para calculo da média e da mediana N = 30 dias amplitude : ( 0 =< X <=9 ) DIA X = Número de internações DIA X = Número de internações Tabela 1 Distribuição de freqüências de X X F total Número de internações Nilza Nunes da Silva/Regina Bernal 2

3 1 - VARIÁVEL DISCRETA Média localiza o centro de gravidade da distribuição, INDICANDO a região de maior freqüência. Procedimento para cálculo: X F X. f Total X. f 99 Usando dados da terceira coluna,.. X = = = 3,3...int ernações... por... dia N 30 Mediana localiza o valor de X que divide a freqüência total em duas partes iguais. É usada como alternativa para a média aritmética em distribuições assimétricas. Não sofre influência dos valores extremos (atípicos). Dada a variável x = {1, 3, 0, 2,4}, a mediana é 2, pois ordenando, temos {0,1,2,3,4} PROCEDIMENTO: 1) ordenar o conjunto de dados; 2) verificar se há um número ( N ) par ou ímpar de valores no conjunto; 3) >>> a ) se o conjunto tiver um número ímpar de elementos ( n ), a mediana será o valor que n +1 ocupa a posição central, ou seja, posição 2 b) se o conjunto tiver um número par de elementos ( n ), a mediana será a média entre as n n + 2 duas posições centrais, ou seja, a média das posições e (lembrando que n é o 2 2 número de elementos do conjunto, ou da amostra). Nilza Nunes da Silva/Regina Bernal 3

4 EXEMPLO Tabela 3 calculo da mediana em dados agrupados (freqüências) X F % % acumulada ,0 20, ,3 33, ,0 43, ,0 53, ,0 63, ,7 80, ,7 86, ,7 93, ,3 96, ,3 100,0 total ,0 N=30 (par)...mediana = média dos dois valores de X que estão nas posições centrais. Note que os dois valores localizados nos postos décimo quinto (N/2) e décimo sexto (N/2)+1 são iguais a 3..Portanto...mediana = 3 internações por dia Observação: Se N for impar, o valor mediano ocupará o posto de ordem (N+1)/2. Ou seja, a mediana é expressa pelo valor de X que se localiza exatamente no meio da distribuição de freqüências. 2 - VARIAVEIS CONTÍNUAS Os valores da variável estão agrupados em classes. O ponto médio de cada classe será tomado como valor de X para calcular a média. Procedimentos:Média e Mediana para valores de X agrupados em classes (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) Numero de internações.f Ponto Médio (X) X. f f acumulada % % acumulada ,5 19, ,3 43, ,5 49, ,7 80, ,5 45, ,0 100,0 Total ,0 O valor mediano,que está no décimo quinto posto (30/2), situa-se na segunda classe. Ou seja, é maior ou igual a 3 e menor que 6. Usando calculo proporcional>>>poderemos seguir o seguinte raciocínio. A vemos na coluna 5 da tabela 4 que faltam apenas (15 13=2) 2 dias para localizar o valor mediano. B - Mediana = 3 internações + (k)int?... k int./2 dias = 3int / 11 dias C - K interações = (3x2)/11 = 6/11 = 0,54 internações por dia B - Mediana = 3 + 0,54 = 3,54 internações por dia. Ou poderemos optar pelo uso da expressão abaixo: Nilza Nunes da Silva/Regina Bernal 4

5 Mediana será calculada pela expressão ( N / 2) Md = fac Li +. hmed, fmed Onde : Li = é o limite inferior da classe que contém a mediana ( ) N = 30.f ac = frequencia acumulada até a classe anterior à que contém a mediana (13).f med = freqüência da classe que contem a mediana (11).h med = amplitude da classe que contem a mediana (3) Md = 3 + [(15 13) / 11]. 3 = 3 + 0,54 = 3,54 internaçoes MODA, finalmente a moda (valor da variável que ocorreu com maior frequência) é igual a 0 para a variável tratada como discreta. Na tabela 2, com os valores agrupados em classe, a classe ( 0 6 ) contém a moda. A expressão abaixo pode ser usada para calcular a moda em valores agrupados em classe, quando a classe modal for única e não estiver situada nos extremos da distribuição. calcula-se a moda pela expressão: onde: d Moda = L i + 1. h d1 + d2 ( L 1 ) é o limite inferior da classe modal (.d 1 ) a diferença entre a freqüência da classe modal e a da classe imediatamente anterior. (.d 2 ) a diferença entre a freqüência da classe modal e da classe imediatamente seguinte, e ( h ) é a amplitude da classe modal O quadro a seguir apresenta comparação entre as três medidas de posição estudadas. Note que apenas a média é afetada por todos os valores observados para a variável, sendo esse o motivo que a torna informação inadequada para distribuições assimétricas. Média Mediana Moda Vantagens Limitações Tipo de Variáveis Reflete todos os valores Menos sensível à valores É influenciada por valores Mais difícil de ser determinada da amostra extremos que a média extremos para grande quantidade de dados Contínua e Discreta Contínua e Discreta Representa um valor típico Não tem função em certos conjunto de dados Contínua, Discreta, Nominal e Ordinal Nilza Nunes da Silva/Regina Bernal 5

6 1.11 MEDIDAS DE DISPERSÃO 1 VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO O desvio padrão é a medida de dispersão universalmente usada em variáveis discretas e contínuas. Informa a distância média de todos os valores observados de X em torno da sua média aritmética. Voltando à tabela 1, desenvolve-se o seguinte procedimento: X F X-MEDIA (X-MEDIA) 2 (X-MEDIA) 2. F ,3= - 3,3 10,89 10,89 X 6=65, ,3= - 2,3 5,29 5,29 X 4 = 21, ,3= - 1,3 1,69 1,69 X 3 = 5, ,3= - 0,3 0,O9 0,O9 X 3 = 0, ,3= 0,7 0,49 0,49 X 3 = 1, ,3= 1,7 2,89 2,89 X 5 = 14, ,3= 2,7 7,29 7,29 X 2 = 14, ,3= 3,7 13,69 13,69 X 2 = 27, ,3= 4,7 22,09 22,09 X 1 = 22, ,3= 5,7 32,49 32,49 X 1 = 32, ,30 Variância = 204,30 / 30 = 6,81 internações 2 Desvio padrão = rq6,81 = 2,61 internações Note que a variância é igual à media dos desvios ao quadrado. Isto decorre da propriedade da média, cuja soma dos desvios simples é sempre igual a zero. Coeficiente de variação = 2,61/3,3= 0,791 ou 79,1%. Significa que a dispersão da distribuição em torno da média de internações é alta (muito próximo de 100%). Ou seja, o desvio padrão é quase igual à media, o que indica que há valores muito distantes da média. Síntese: 1 - Informações descritivas Variável : numero de internações ; N = 30 Amplitude = 9 internações ( 0 9 ); média = 3,3 internações; dp = 2,61 internações 2 Os cálculos serão iguais para variáveis continuas. Apenas observe que os valores de X serão expressos pelos pontos médios das classes. 3 Observe a formula da Variância: média dos quadrados dos desvios em relação à média da distribuição. Nilza Nunes da Silva/Regina Bernal 6

7 1.12 BIBLIOGRAFIAS BERQUÓ ES, SOUZA JMP, GOTLIEB SLD. Bioestatística. São Paulo: EPU; MORETTIN P, BUSSAB W. Estatística básica. São Paulo: Editora Saraiva 5ed, NOETHER GE. Introdução à estatística. R Janeiro: Guanabara Dois; 1983 ROSNER B. Fundamentals of Biostatistics. US:Duxbury, 5 th.ed,2000. VIEIRA S. Introdução à bioestatística. Rio de Janeiro: Ed. Campus; Nilza Nunes da Silva/Regina Bernal 7

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