Curso: Análise e Desenvolvimento de Sistemas. (Estatísticas Básica, Conceito de Transformada de Laplace, para Sistemas Dinâmicos)

Transcrição

1 Curso: Análise e Desenvolvimento de Sistemas Disciplina Sistemas de Controle e Modelagem (Estatísticas Básica, Conceito de Transformada de Laplace, para Sistemas Dinâmicos) Prof. Wagner Santos C. de Jesus wsantoscj@gmail.com

2 Conceito de Média A função MÉDIA mede a tendência central, que é o local do centro de um grupo de números em uma distribuição estatística. z 2

3 Média de tendência central 3

4 Calculo da Média Aritmética A média aritmética é uma das formas de obter um valor intermediário entre vários valores. x = 1 n n i= 1 x i

5 Conceito de Somatória Um somatório é o operador matemático da soma de termos de uma sequência. Usualmente, um somatório (ou somatória) é denotado pela letra grega sigma. 5

6 Exemplo calculo Somatória Seja x um conjunto com os elementos x = {5,3,2}. x = ; s = 10 6

7 Exemplo em octave Seja x = [5,3,2]; s = sum(x); 7

8 Exemplo calculo Média 8

9 Função mean() Calcula a média aritmética passados os valores. Sintaxe: <varm> = mean(<lista de valores>); Exemplo x = [3,4,5]; xm = mean(x); Resultado xm = 4 9

10 Conceito de Variância 10

11 Conceito de variância Vem a ser uma medida da sua dispersão estatística, indicando "o quão longe" em geral os seus valores se encontram do valor esperado. 11

12 Objetivo do calculo da variância Quanto maior for a variância, mais distantes da média estarão os valores. Quanto menor for a variância, mais próximos os valores estarão da média. 12

13 Algoritmo do calculo da Variância 1 - Pega-se o valor da amostra e subtrai-se do valor da média elevando esse resultado ao quadrado. 2 Em seguida soma-se o resultado da operação (1) com a repetição da operação com seus novos valores. 3 Quando as etapas um e dois estiverem concluídas divide-se o valor encontrado, por um número equivalente ao total da amostra. 13

14 Calculo da Variância Exemplo: Supondo que uma amostra de população possui os valores: x = {3,4,6,2} ; Média = 3.75 Variância: v = ( x 1 µ ) 2 + ( x 2 2 µ ) + ( x N 1 3 µ ) 2 + ( x 4 µ ) 2 v = (3 3.75) (4 3.75) + (6 3.75) (2 3.75) 2 =

15 Equação da variância v = 1 N 1 n i= 1 ( x i µ ) 2 15

16 Função var() Calculo da variância no Octave passados os valores. Sintaxe: <varm> = var(<lista de valores>); Exemplo x = [3,4,5]; v = var(x); Resultado = 1 16

17 Conceito de Desvio Padrão 17

18 Desvio Padrão Mostra o quanto de variação ou "dispersão" existe em relação à média (ou valor esperado). Um baixo desvio padrão indica que os dados tendem a estar próximos da média; um desvio padrão alto indica que os dados estão espalhados por uma gama de valores. 18

19 Equação Variância v 2 = 1 N 1 n i= 1 ( x i µ ) 2 O desvio padrão vem a ser a raiz quadrada da variância. 19

20 Desvio Padrão Amostral v = 1 N 1 n i= 1 ( x i µ 2 ) Populacional v = 1 N n i= 1 ( x i µ 2 ) 20

21 Demonstração do Calculo x = [3 7 5]; Desvio Padrão dv = (3 5) 2 + (7 5) (3 1) 2 + (5 5) 2 = 2 (3-5) 2 = 4 (7-5) 2 = 4 (5-5) 2 = /2 = 4 => 4 = 2 21

22 Calculo Desvio Padrão (Prática) Sintaxe: <vam> = std(<lista de valores>); Exemplo: x = [3 7 5]; dv = std(x); 22

23 Problema Proposto 23

24 Solução Média = 6,60 ± 2,07 24

25 Conceito de Transformada de Laplace 25

26 Transformada de Laplace Método, que leva o nome do matemático francês Pierre Simon Laplace, foi desenvolvido pelo físico inglês Oliver Heaviside, nascido um século depois de Laplace. Pierre Simon Laplace. 26

27 Aplicação A vantagem mais interessante desta transformada integral é que a integração e a derivação tornam-se multiplicações e divisões, da mesma maneira que o logaritmo transforma a multiplicação em adição. 27

28 Objetivo Geral O método de transformada de Laplace é um método muito útil para resolver equações diferenciais ordinárias (EDO). Com a transformada de Laplace, pode-se converter muitas funções comuns, tais como, senoidais e oscilações amortecidas, em equações algébricas de uma variável complexa S. As equações diferenciais também podem ser transformadas em equações algébricas através de transformada de Laplace. 28

29 Objetivo Especifico Para sistemas de controle: A transformada de Laplace tem como objetivo de capturar uma função no domínio do tempo uma f(t) e leva-la para o domínio da frequência F(s). Tempo f(t) Frequência F(s) 29

30 Equação da Transformada de Laplace 30

31 Sabe-se que a função exponencial quando integrada, repete-se a própria função aplicando o limite na variável que se deseja integrar. Exemplo: 31

32 Ferramenta L {f(t)} Porque usar transformada de Laplace: Sistemas físicos : Equações Diferenciais Polinômios 32

33 Exemplo derivada de função composta 33

34 Conceito de equações Diferencial Definição equação diferencial, quando sua incógnita encontra-se como uma derivada de uma função, ou seja, para solucionar a equação precisa-se encontrar outra função. 34

35 Exemplo de equação diferencial Substituindo (1) em (2): 35

36 Objetivo da L{f(t)} Tempo Equações Diferenciais L{f(t)} Frequência Equações Lineares Solução L -1 {f(t)} Solução 36

37 Representação da transformada de Laplace Tempo f(t) Frequência F(s) Para todo s > 0 Onde s = frequência; equivale a 1/t 37

38 Conceito L{f(t)} Aplicado a Sistema de Controle A transformada de Laplace, pode ser usada para estudar as características da resposta completa de um sistema realimentado, incluindo a resposta transitória, isto é, o tempo de resposta para uma condição inicial ou para um sinal aplicado subitamente. 38

39 Salto unitário f(t) = 1; t >

40 Seja f(t) = 1; t > 0 Exemplo Prático

41 Problema Proposto Encontrar a função que retrata o componente para a resposta transitória em um sistema de controle onde f(t) = 5. L{f(t)} 5 { 1} = 41

42 Discussão L{f(t)} Exemplo de um Sistema onde a função f(t) = 1; onde a função de transferência é igual F(s) = 1/s. 42

43 Sistema de Controle Temporizador Declive da Rampa Sinal de entrada Amplificação Função de transferência do sistema Gráfico de resposta 43

44 Usando uma exponencial 44

45 (1) f(t) = e -t, t 0, Exemplo Prático Substituindo (1) em (2) 0 45

46 Continuação L{f(t)} = F(s)

47 Tabela base Transformada de Laplace L{f(t)} = F(s) L -1 {F(s)} = f(t) f(t) F(s) 1 1/s t sen at cos at 47

48 Problema Proposto Solução: 48

49 Problema Proposto Solução:

50 Problema Proposto Solução: cos 50