Setor de Tecnologia - TC Engenharia Ambiental Avaliação 1. Matemática Aplicada II

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1 Universidade Federal do Paraná Matemática Aplicada II Setor de Tecnologia - TC Engenharia Ambiental Curitiba, Avaliação 1 Matemática Aplicada II Tobias Bleninger Departamento de Engenharia Ambiental (DEA) Centro Politécnico, Bloco V, Caixa Postal 19011, , Curitiba - PR, Brasil Nome: Pontuação (preenchido pelo Professor): Questão Pontos Pontos totais Porcentagem Soma 90 Nota Final (

2 Questões 1. (30P) Considere-se o problema u x - 2u y = 0 com u = u(x,y) e a condição inicial u(0,y) = 4senh(2y). a. (3P) Classifique a equação (edo/edp, ordem, linear/não-linear, homogêneo/não-homogêneo). b. (20P) Averiguar se a respectiva solução analítica pode ser obtida usando o método de separação indicando a solução caso o método seja aplicável. c. (3P) Descreva em no maximo três frases e/ou equações como poderá ser resolvido o problema modificado: u x - 2u y = cos(x). d. (4P) Faça a discretização da equação do item c e da condição inicial utilizando diferenças finitas progressivas. Solução a) (3P) edp1, linear, homogêneo b) (20P) 2

3 c) (3P) Equacao edp1, linear, nao-homogenea. Obtem solução da homogênea (veja item b) e depois da nao-homogenea com condicao inicial = 0. A soma das duas é a solução. d) (4P) (u i+1,j - u i,j )/ x - 2(u i,j+1 - u i,j )/ y = cos (i* x) u 0,j = 4senh(2j* y) 2. (30P) Encontre o deslocamento w(x,t) de uma corda elástica ( ²w ²w = c² t² x² ) sujeita as seguintes condições. i) A corda encontra-se inicialmente em repouso no eixo x, de x = 0 a ("corda semi-infinita"). ii) Para t > 0, a extremidade esquerda da corda (x = 0) move-se segundo uma determinada forma, conforme: sen t se 0 t 2 w(0,t) = f(t) = 0 no demais casos iii) alem disso, = 0 para t 0. 3

4 a. (5P) Classifique a equação (edo/edp, ordem, linear/não-linear, homogêneo/não-homogêneo, elíptica/hiperbólica/parabólica). b. (20P) Resolve o problema analiticamente obrigatoriamente utilizando transformadas de Laplace. c. (5P) Visualize o resultado esquematicamente para tres tempos (t=0, t=2, t=4 ). Solucao: a) (5P) edp2, linear, homogêneo, hiperbólica b) 4

5 c) 3. (20P) Dados os problemas: i) Equação C t +u C x = Ex ²C x² -kc (1) com E x=const., k=const. e u=const. para um tubo muito longo e de pequeno diâmetro (área A) cheio de água e uma injeção instantânea de uma massa M de um poluente uniformemente distribuído na seção no ponto x o representado pela condição inicial C(x=x o, t=0) = M/A (x-x o ) e as condições de contorno C(,t) = 0; ii) Equação T t = Ev ²T + 5sen(z/H) (2), 0<z<H, t>0 com T descrevendo a z² temperatura com a condição inicial T(z,0) = 20, 0 z H e condições de contorno T(0,t) = 4 C, e T(H,t) = 5sen(t/4), t 0. Com H = 30m sendo a profundidade total e E v = 0,03m*U v sendo a difusividade turbulenta na vertical com U v sendo a velocidade de vento. a. (5P) Descreva os processos físicos descritos nos problemas 1) e 2) para cada termo das equações. Solução: i) Variação temporal da concentração, adveccao, difusão turbulenta, reações ii) Variação temporal da temperatura, difussividade térmica, fonte de calor b. (5P) Desenha esquematicamente os problemas 1) e 2) com as condições iniciais e uma solução esperada c. (10P) Descreva em uma frase qual método analítico é adequado para a solução dos problemas 1) e 2). Descreva em no maximo três frases o procedimento geral em cada método. Solução i) Transformadas de Fourier. Transformar equação e condições de contorno para transformar em problema de edo, resolver edo, transformada inversa. 5

6 ii) Equacao nao homogênea com condições de contorno nao homogêneos. Use separação de variáveis e variações de coeficientes. Transforme problema em problema com condições de contorno homogêneos e resolve equação homogênea com condições iniciais homogêneos e a equação nao homogênea com condições iniciais homogêneos. A soma das mesmas é resultado da função transformada, retransforme para obter resultado. 4. (10 P) Avalie as frases seguintes, escrevendo se são verdadeiras ou falsas (resposta certa: pontuação positiva; resposta errada: pontuação negativa; sem resposta: 0, pontuação mínima nesta questão: 0): a. "A diferença finita [u i-1-2u i + u i+1 ]/( x)² descreve uma aproximação da segunda derivada parcial de u por x utilizando três pontos e de segunda ordem. afirmação correto b. "O método de Liebmann é um método de solução de uma equação matricial baseado no método de eliminação de Gauss" Afirmação errada, baseado em algoritmos iterativos c. "Na solução numérica de equações elípticas, utilizando diferenças finitas, podem ser usados métodos explícitos e implícitos. " verdadeira d. "A equação y² ²u x² + u = cos(x) é uma equação diferencial parcial de segunda y ordem, não linear e não homogênea." a afirmação é falsa, é linear e. " A condição de contorno T(x=0,t) = t² + cos(t) é do tipo Dirichlet." a afirmação é verdadeira Equações dadas: Transformada de Laplace: (f) = Transformadas de Laplace de Derivadas: (f') = s (f) - f(0) (f'')= s² (f) - sf(0) - f'(0) Teorema do Desvio da transformada de Laplace Se f(t) tiver a transformada F(s) (onde s > k para algum k), então e at f(t) tem a transformada F(s-a (onde s - a > k). Em fórmula, {e at f(t)} = F(s-a) ou invertendo ambos os lados, e at f(t) = -1 {F(s-a)} Segundo Teorema do Desvio da transformada de Laplace Se f(t) tiver a transformada F(s), então a "função desviada" 0 se t < a 6

7 (t) = f(t-a)u(t-a) = f(t-a) se t > a possui a transformada e -as F(s). Ou seja, se {f(t)} = F(s), então {f(t-a)u(t-a)} = e -as F(s) Ou invertendo ambos os lados, podemos escrever f(t-a)u(t-a) = -1 {e -as F(s)} com u sendo a função degrau unitário. Soluções da equação u''(x) - λu(x) = 0 A 1 x + A 2 se λ = 0 u(x) = A 1 exp(λ 1/2 x) + A 2 exp(-(λ 1/2 )x) se λ > 0 A 1 sen((-λ) 1/2 x) + A 2 cos((-λ) 1/2 x) se λ < 0 7