Resolução Numérica da Equação de Condução do Calor em Uma Placa Bidimensional

Transcrição

1 Departamento de Matemática Resolução Numérica da Equação de Condução do Calor em Uma Placa Bidimensional Eliandro R. Cirilo

2 Estrutura da Apresentação: Aspectos Históricos Equação de Condução do Calor 3 Questões Numéricas 4 Resultados Numéricos 5 Consideração Finais

3 Aspectos Históricos A condução do calor está ligada a fenômenos físicos difusivos. O seu estudo teve inicio por volta de 800. A primeira investigação importante foi desenvolvida por Joseph B. Fourier ( , ele enunciava que uma função totalmente arbitrária podia ser representada por uma série da forma a 0 am cos m= mπx l b m sen mπx l Em homenagem a ele as séries dessa forma são denominadas séries de Fourier, e são fundamentais na solução analítica do PVC da condução do calor unidimensional. Para problemas mais complexos, ainda não é disponível a solução de forma fechada.

4 Equação de Condução do Calor A equação diferencial parcial que descreve a condução do calor numa placa retangular, do espaço bidimensional, é da forma: t = α x y ( t,x, y l onde: l t [ 0, é a variável temporal; ( x, y [ 0,l ] [, l ] l ;l R ( t,x, y α 0 é o ponto discreto do espaço D é a temperatura no tempo e espaço é o coeficiente de difusividade térmica do meio

5 . Solução Analítica Admitindo por hipótese que = 0 t considerando x y = 0 a equação de condução fica: Equação de Laplace ( 0,x, y = 50 ( t, 0, y = 0 ( t,, y = 0 ( t,x, 0 = 0 ( t,x, = 0 foi demonstrado que a solução do problema é dada por: ( x, y = 0 cos( nπ senh( nπx.sen( nπy nπ n= nπ.senh( Malha de 50x50 Isolinhas Gradiente

6 Mas e os casos onde:. a geometria é complexa. as condições de contorno são variáveis 3. há geração de calor internamente 4. há transferência de calor pelo contorno 5. há troca de calor com o meio externo 6. Etc nestas, e outras, situações ainda não há solução na forma fechada, logo se faz necessária à abordagem numérica.

7 3 Questões Numéricas Da fórmula de aylor infinitesimal tem-se: f 3 ( φ h = f ( φ hf ( φ h f ( φ h f ( φ 6 onde f 3 ( φ h = f ( φ hf ( φ h f ( φ h f ( φ f ( φ é uma função n vezes derivável em φ, e 6 h R. Negligenciando termos da ( O h d f dφ obtém-se: ( φ f ( φ h f ( φ f ( φ h df ( φ f ( φ h f ( φ h e O( h que substituídas na equação do calor nos dá a forma discretizada da mesma. dφ h

8 Considerando um esquema implícito, então k,i, ( y ( t,x, logo: t ( k,i,,i, ( k ( k,i, t y ( t,x, t = x,,i k (,i, k (,,i k ( k,i, ( x y ( t,x, x = y,i, ( k,i, k (,i, k ( ( k,i, y y ( t,x, y = y x y x t = = α α α Substituindo-as na equação obtemos

9 ( k,i, ( k,i, t = ( k,i, ( k,i, ( k,i, α ( k, i, α x ( k, i, y ( k, i, que depois do reagrupamento fica ( k,i, = ( A A A A e e w w n n s s A P onde α t α t A P = α t A e = = Aw A = = x y x y e = ( k,i, w = ( k,i, n = ( k,i, s = ( k,i, = ( k,i, e os índice, p, e, w, n e s, designam localizações cardeais. n A s

10 A P e e w w é resolvido pelo método das relaxações sucessivas, dado por: O sistema de equações ( k,i, = ( A A A A onde ( ( I ( ( ( I ( ( I k,i, = r. k,i, r. k,i, i, i, n n GS i, r é o fator de relaxação tal que o método só converge se 0 < r < I é o nível iterativo. celula do contorno celula do interior s s I I níveis iterativos MALHA EXECUAR SOLVER VISUALIZAR

11 4 Resultados Numéricos Observando as isolinhas, e conseqüentemente, os mapas do gradiente de temperatura, abaixo, percebe-se que eles apresentaram uma significativa similaridade Solução analítica Solução numérica

12 Considerando que a equação de condução (de uma chapa de alumínio = 0, 86 t x y é resolvida no mesmo domínio á abordado, e sueita às condições: ( 0,x, y = 50 ( t, 0, y = 50 ( t,, y = 0 ( t,x, 0 = 70 ( 0,x, = 0 As isolinhas e o mapa de cores para porcentagens de 5%, 50%, 75% e 00% do tempo para alcançar o estado permanente podem ser observadas abaixo:

13 Considerando que a equação de condução (de uma chapa de tiolo t = 0, 0038 x y é resolvida no mesmo domínio á abordado, e sueita às condições: ( 0,x, y = 50 ( t, 0, y = 50 ( t,, y = 0 ( t,x, 0 = 70 ( 0,x, = 0 ele necessitou de segundo para alcançar o estado permanente, e a distribuição ficou:

14 5 Consideração Finais endo informações sobre o comportamento da distribuição de temperatura pode-se: Analisar os gradientes em regiões específicas na geometria; Sugerir medidas de controle, mudanças de design, etc. Via simulação numérica. Analisar o tempo necessário, em que intensidade, se alcança o equilíbrio térmico; Etc...