Setor de Tecnologia - TC Engenharia Ambiental Avaliação 2. Matemática Aplicada II

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1 Universidade Federal do Paraná Matemática Aplicada II Setor de Tecnologia - TC Engenharia Ambiental Curitiba, Avaliação 2 Matemática Aplicada II Tobias Bleninger Departamento de Engenharia Ambiental (DEA) Centro Politécnico, Bloco V, Caixa Postal 1911, , Curitiba - PR, Brasil Nome: Pontuação (preenchido pelo Professor): Questão Pontos Pontos totais Porcentagem Soma 9 Nota Final (

2 Questões 1. (3 P) Dada a equação de condução de calor bidimensional para uma placa de material com difusividade térmica de α e condições de contorno do tipo Dirichlet: a. Descreva a equação e discretize-a utilizando diferenças finitas progressivas em tempo e diferenças centradas em espaço e um esquema explicito. b. Descreva em palavras e equações (ou comandos de Matlab/Octave) cada passo do algoritmo para calcular as Temperaturas da placa. c. Faça a analise de estabilidade de Neumann para o método numérico e descreva os critérios de estabilidade e escolha valores para uma discretização estável. Solução: a) b) 2

3 c) com x = y 1-16r + 64r² < 1 64r² < 16r 4r < 1 r < ¼ α² t/ x² < ¼ com α² = 1 cm²/s t< ¼ x²s/cm² com x = 1cm t = ¼ s 2. (2 P) Dada a equação de difusão unidimensional para uma substancias com difusividade molecular de D e condições de contorno do tipo Dirichlet: a. Descreva a equação e discretize-a utilizando diferenças finitas e o esquema de Crank-Nicholson. b. Faça a analise de estabilidade de von Neumann para o método numérico e descreva os critérios de estabilidade. 3

4 velocity [cm/s] Solução: veja anotação em anexo 3. (2 P) A Figura 1 a Figura 4 mostrem resultados de uma medição de velocidade num ponto em um escoamento. a. Descreva na Figura 3 quais dos parâmetros "desvio padrão", "variância", "media" e "mediana" são representados em qual coluna e justifique a sua descrição. b. Interpreta todos os resultados em termos estatísticos e quantitativamente para analise do escoamento em no maximo quatro frases. c. Descreva se você considera o processo como permanente e/ou uniforme e justifique a sua avaliação u v w time Figura 1: Medições dos três componentes de velocidade de água em um ponto num escoamento ao longo do tempo (em segundos). 4

5 frequencia frequencia frequencia 6 u-velocity velocity [cm/s] v-velocity velocity [cm/s] w-velocity velocity [cm/s] Figura 2: Histogramas dos três componentes de velocidade da medição mostrado na Figura 1. Justificativa: Pelo histogramas e as series pode se ver que a media de u fica em torno de 9,5cm/s. Isto corresponde com as colunas 1 e 3. A mediana pode ser utilizado para analizar a simetria da distribuição. No caso da velocidade u a mediana deve ser menor que a media, já que tem mais dados na esquerda. Significa que coluna 1 é media e coluna 3 mediana. A variância pode ser utilizado para avaliar a largura da distribuição. Pode se observar que corresponde mais com a coluna 4. Assim coluna 3 tem que ser o desvio padrão. Figura 3: Parâmetros estatísticos da medição mostrado na Figura 1. Os dados mostrem que existe um sinal (uma velocidade) dominante, sendo a componente u em direcao x, já que a media é diferente de zero e tendo maiores flutuações. Os outros dois componentes tem um comportamento parecido com flutuações menores ao redor de zero e inclusive velocidades negativas (em direcao oposta do eixo de coordenadas) que não ocorre para a velocidade em direcao u. As flutuações são aproximadamente 5% menores na direcao w em comparação aos outros componentes. 5

6 velocity [cm/s] 2 cumulative mean time cumulative mean totalmean cumulative mean-totalmean 2 Figura 4: Avaliação da media e media cumulativa para a componente u em direcao x da medição mostrado na Figura 1. O sinal poder ser considerado permanente apos aproximadamente 3s quando a media cumulativa e a media total não se diferenciam mais de aproximadamente 1cm/s sendo 1% da velocidade media. 4. (1 P) A Figura 5 mostra uma medição da intensidade de um sinal (por exemplo ruído ambiental) que foi corrompido artificialmente, e mostra a transformada rápida de Fourier relacionada. a. Descreva o conceito básico da Transformada Rápida de Fourier e explique a diferença entre series de Fourier, a transformada de Fourier e a transformada rápida de Fourier e aplicações relacionados em no maximo cinco frases. b. Interpreta o resultado da Figura 5 quantitativamente. c. Como se chama a figura de baixo na Figura 5? A Transformada Rapida de Fourier transforma um sinal discreto do domínio de valor vs. tempo no domínio de valor² vs. frequência, chamado espectro para determinar frequências dominantes em sinais discretas. Series de Fourier são somas infinitas de cós e sen geralmente utilizado para aproximar uma função continua e periódico com series e facilitando assim a utilização desta função em series para aplicações distintas, por exemplo interpolação ou extrapolação de sinais. As series transformam o sinal continuo em frequências discretas. Transformadas de Fourier em conjunto com a Integral de Fourier é utilizado para transformar uma funcao continua (não necessariamente periodico) em uma função continua de frequências (espectro). A transformada é utilizado por exemplo para soluções de edp. c) espectro

7 Y(f) 1 Signal Corrupted with Zero-Mean Random Noise time (milliseconds) 1.5 Single-Sided Amplitude Spectrum of y(t) Frequency (Hz) Figura 5: Em cima: Medição da intensidade de um sinal (por exemplo ruído ambiental) que foi corrompido articialmente versus o tempo. Em baixo: Resultado da transformada rápida de Fourier para o sinal corrompido. 5. (1 P) A Figura 6 e a Figura 7 mostram resultados de medições e/ou simulações numéricas. a. Discute quantitativamente questões de imprecisão e erro na previsão de nível para os resultados apresentados na Figura 6 em no maximo 4 frases. b. Discute quantitativamente questões de imprecisão e erro no calculo de concentrações para os resultados apresentados na Figura 7 em no maximo 4 frases. 7

8 Figura 6: Medição de nível de maré (linha preta) versus tempo e resultado de uma simulação numérica (linha vermelha). O erro (valor medido menos valor observado) inicialmente é grande e de aproximadamente 1,4m sendo aproximadamente 7% do valor maximo. Este erro deve ser devido a condição inicial, já que reduz significativamente para valores de aproximadamente,2m sendo 1% do valor maximo em curto tempo (menos de 6h). Este erro é maior nos momentos de máxima ou mínima maré. Aparentemente o erro de fase é muito pequeno, já que não visível no gráfico a onde os valores máximos e mínimos de medição e observação ocorrem em momento quase iguais. 8

9 Figura 7: Resultados de uma simulação numérica. Concentrações de 3 pontos distintos do domínio e a media dos três pontos. Observa-se que a condição inicial nos tres pontos foi a concentração zero e as concentrações tem a tendência de crescer caracterizando assim um processo nãopermanente. Porem observa se que todas concentrações mostrem valores negativos, que fisicamente é impossível e deve ser a erros numéricos quando aproximando gradientes grandes com métodos de diferenças finitas. Após um tempo de 12s este efeito desaparece, devido a difusão (numérica ou física) dos gradientes grandes e assim uma aproximação melhor. Todas as concentrações mostrem flutuações no mesmo instante de tempo que deve ser a uma característica do processo de transporte reproduzido nesta simulação. Equações dadas: Identidade de Euler: Series de Fourier Serie de sen: φ(x) = Σ n=1 c nsen(nπx/l) com c n = 2/L L φ(x)sen(nπx/l)dx com n=1,2,3, Transformada de Fourier: 9

10 + (w)= 1 2π - f(x)e -iwx dx f(x)= 1 2π - + (w) e iwx dw 1

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