SOLUÇÃO DE UM PROBLEMA UNIDIMENSIONAL DE CONDUÇÃO DE CALOR

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1 SOLUÇÃO DE UM ROBLEMA UNIDIMENSIONAL DE CONDUÇÃO DE CALOR Marcelo M. Galarça ós Graduação em Engenharia Mecânica Universidade Federal do Rio Grande do Sul ransferência de Calor e Mecânica dos Fluidos Computacional I mgalarca@mecanica.ufrgs.br Resumo: Neste trabalho obteve-se a distribuição de temperatura de uma placa unidimensional, empregando o Método de Discretização com Diferenças Finitas Centrais, no espaço; e de forma explícita no tempo, resolvendo o transiente real com quatro valores de Fo, para uma malha com cinco nós igualmente espaçados. O problema de condução de calor foi resolvido para uma placa de aço carbono e uma placa de tijolo comum. alavras-chave. Método de Diferenças Finitas, Condução de Calor, roblema unidimensional. 1. Introdução Este trabalho faz a análise numérica de um problema de condução de calor de uma barra unidimensional com difusividade constante, o que é, um problema elíptico. Utilizou-se o método de diferenças finitas no espaço, sendo, neste caso, adequado usar o equacionamento de Diferenças Centrais (CDS). ara o tempo utiliza-se a forma explícita, isto é, a partir de um valor de tempo velho obtemos o novo. A situação do problema é representada da seguinte forma: No instante t = 0 é ligada, no seu interior, uma fonte constante que difunde calor simetricamente. Como nas fronteiras x = 0 e x = L a barra não está isolada há perda de calor e nestes pontos a temperatura é zero. Assim a temperatura no interior da barra é uma função da posição e do tempo. O problema é estacionário e simétrico, temos um transiente real. ara L=0,1m As condições de contorno são: - (x,t) = 0 - (0,t) = 0 - (L,t) = 0 ara S (fonte), dois valores foram propostos: - S = 1K/s - S = 3K/s A distribuição de temperatura foi calculada para dois casos: - laca de ijolo Comum (α = 0,8e-06 m /s) - laca de Aço Carbono (α = 17,7e-06 m /s) Malha: - Cinco (5) nós igualmente distribuidos Os valores de Fo empregados foram de 0,5; 0,5; 1 e. A equação governante é a da energia, ( ρ ) ( ρu ) k + = ( ) + S t x x c x p S S = (1 e ) ρc

2 sendo ρ, C p e k constantes, a equação pode ser expressada desta forma t α = + S x ( 3 ). Análise do roblema e Metodologia de Solução O Método de Diferenças Finitas objetiva em calcular a derivada de uma equação, considerando os intervalos, não do ponto de vista infinitesimal, como no cálculo analítico, mas de forma discretizada em intervalos finitos de dimensão, efetuando os cálculos por pontos []. oma-se como referência um determinado ponto,, e partindo-se deste é feita a expansão da série de aylor, a qual é infinita, e por isso é truncada em um determinado termo, de acordo com a ordem de grandeza do erro que se pode assumir [3]. ara avançar até a convergência de cada iteração, o ponto precisa de mais informações, e assim as busca de seus pontos vizinhos. Essa obtenção das informações pode ser feita utilizando-se um dos três equacionamentos aplicados ao método: Diferenças Finita Avançada, Atrasada ou Central, como já mencionado, para o problema elíptico em questão, a solução seguiu a discretização pelo equacionamento central (CDS), no espaço; e de forma explícita no tempo []. Diferença Finita Central (CDS): este equacionamento mantém o ponto no centro, de maneira a relacioná-lo com os dois outros pontos a leste e a oeste.(fig.1). A equação se apresenta na forma φ φe φw = + O x ( x ) ( 4 ) Discretizando a equação diferencial substituimos o domínio contínuo por um domínio discreto, assim o valor de φ é obtido em pontos discretos. ara interligá-los obtém-se equações algébricas para cada ponto, e após resolvemos o sistema de equações resultantes. Estas equações algébricas são derivadas da equação diferencial governante φ e deste modo expressam a mesma informação física da equação diferencial [3]. endo a condição inicial é conveniente a utilização de forma explícita no tempo, θ= 0, onde todas as temperaturas vizinhas a são avaliadas no instante anterior e, portanto, já são conhecidas. A formulação explícita dá origem a um conjunto de equações algébricas que podem ser resolvidas uma a uma, obtendo-se a temperatura em cada ponto do espaço para o novo instante de tempo [4]. Discretizando a equação, temos : ( + ) α ( 5 ) n+ 1 n n+ θ n+ θ n+ θ n+ θ n+ θ E W E W + u = ara a formulação explícita, temos θ = 0, ficando: n+ 1 n n n n n n E W ( E + W ) + u = α ( 6 ) Onde : = emperatura no ponto no instante anterior E = emperatura no ponto vizinho a leste no instante anterior W = emperatura no ponto vizinho a oeste no instante anterior u = velocidade na direção x α = difusividade térmica n = valor velho = espaçamento entre pontos Calculando para p n+1, temos

3 n 1 α n α u n u p = ( 1 ) p + ( ) E + ( + α + ) n W ( 7 ) ara assegurar a positividade dos coeficientes, temos que: F o 1 Logo: α 1 ( 8 ) Foi analisado o transiente real com quatro valores de F o = 0.5, 0.5, 1.0 e.0 sempre com a mesma malha espacial de cindo nós, igualmente espaçada. Com base no critério de convergência em (8), é esperado que os dois últimos valores testados, de Fo = 1 e, não venham a dar bons resultados quanto à convergência. 3. Ferramentas A solução do problema foi auxiliada pela utilização do software Compaq Visual Fortran rofessional Edition 6.0.1, no qual um algoritmo foi elaborado com a linguagem de programação compatível, o mesmo encontra-se em anexo. O software Microsoft Excel 00, foi utilizado para graficar os resultados. 4. Resultados e Discussão No desenvolvimento do trabalho observou-se que para os diferentes valores de F o, como já era esperado, somente houve convergência para 0,5 e 0,5. Isto concorda com o critério de positividade dos coeficientes, onde o intervalo de tempo em formulações explícitas é limitado pela estabilidade. Um outra observação é com relação à quantidade de iterações para a convergência, a qual é menor para F o = 0.5, enquanto, que para F o = 0.5 é maior o número de iterações, isso ocorre devido à redução do, sendo necessário um número de passos maior para se atingir o mesmo valor de temperatura convergido no outro F o. Os gráficos que seguem representam as distribuições de temperatura da barra com F o = 0,5; 0,5; 1,0 e,0 para as fontes S=1K/s e 3K/s. ode ser observado claramente a divergência para os valores de F o iguais a 1 e. Campo de emperatura (S=1K/s) Aço Carbono, Fo=0,5 emperatura (K) 8,00E+01 7,00E+01 6,00E+01 5,00E+01 4,00E+01 3,00E+01,00E+01 1,00E+01 0,000 0,00 0,040 0,060 0,080 0, Iterações 10 Iterações 5 Iterações 3 Iterações Iterações 50 Iterações 5 Iterações 15 Iterações

4 Cam po de em peratura (S=1K/s) Aço Carbono, Fo=0,5 emperatura (K) 8,00E+01 7,00E+01 6,00E+01 5,00E+01 4,00E+01 3,00E+01,00E+01 1,00E+01 0,000 0,00 0,040 0,060 0,080 0,100 Com prim ento da Malha (m) 51 Iterações 10 Iterações 5 Iterações 3 Iterações Iterações emperatura (K) 8,00E+01 7,00E+01 6,00E+01 5,00E+01 4,00E+01 3,00E+01,00E+01 1,00E+01 Cam po de em peratura (S=1K/s) Aço Carbono, Fo=1 0,000 0,00 0,040 0,060 0,080 0,100 3 Iterações Iterações

5 emperatura (K) 3,00E+03,50E+03,00E+03 1,50E+03 1,00E+03 5,00E+0-5,00E+0-1,00E+03-1,50E+03 Campo de emperatura (S=1K/s) Aço Carbono, Fo= -,00E+03 0,000 0,00 0,040 0,060 0,080 0,100 5 Iterações 3 iterações Como já mencionado, após a observação dos gráficos, os valores de Fo = 1 e apresentaram divergência. ara Fo = 1, não foi possível efetuar mais do que três (03) iterações, já para Fo = foi possível obter até 50 iterações, as quais não foram mostradas em gráfico devido aos valores de temperatura muito altos e, também por apresentarem comportamento semelhante ao obtido em até cinco (05) iterações. Ambas explicações se devem ao critério de positividades entre os coeficientes, o qual foi desrespeitado com estes valores. Os resultados obtidos assumindo que a placa é feita de tijolo comum, graficamente apresentaram o mesmo comportamento que os gráficos do aço. Desta forma, para o valor de Fo = 0,5 foram necessárias mais iterações para atingir o regime permanente do que as exigidas para o valor de Fo = 0,5. Os outros dois valores testados apresentaram divergência e seu comportamento gráfico foi o mesmo que o apresentado pelo aço. As altas temperaturas atingidas para a placa de tijolo são atribuídas ao fato de que a difusividade térmica (α = 0,8 E-06 m /s) é muito menor do que a do aço (α = 17,7 E-06 m /s), o que representa uma retenção de energia muito maior do tijolo. Devido ao fato dos resultados gráficos para o tijolo terem sido iguais aos do aço, foi apresentado neste trabalho apenas os gráficos que representam a convergência total, ou seja, já em regime permanente. Campo de emperatura (S=1) ijolo Comun emperatura (K) 5,00E+03 4,50E+03 4,00E+03 3,50E+03 3,00E+03,50E+03,00E+03 1,50E+03 1,00E+03 5,00E+0 0,000 0,00 0,040 0,060 0,080 0,100 Fo=0,5-19 iterações Fo=0,5-63 iterações Fo=1-3 iterações

6 emperatura (K) 1,60E+04 1,40E+04 1,0E+04 1,00E+04 8,00E+03 6,00E+03 4,00E+03,00E+03 Campo de emperatura (S=3K/s) ijolo Comum 0,000 0,00 0,040 0,060 0,080 0,100 Fo=0,5-136 iterações Fo=0,5-65 iterações Fo=1-3 iterações 5. Conclusões Conforme apresentado nos gráficos, fica claro o fato de que o critério da positividade dos coeficientes permite-nos definir um valor limite de F o, ou ainda um valor de, pois o mesmo está contido no número Fourier, para que o problema apresente solução. O não cumprimento do critério provoca a divergência do programa, e conseqüentemente dos resultados. Outra observação evidente é de que a solução do problema é a mesma para qualquer valor de F o, ou seja, os valores de temperatura são iguais para pontos iguais em tempos iguais e atingem o regime permanente no mesmo instante de tempo, o que pôde ser observado através do número de iterações. Desta forma, a solução para problemas de condução de calor apresentada no trabalho independe do valor de F o. 6. Referências [1] Notas de Aula. [] INCROERA, Frank.; WI, David. Fundamentos de ransferência de Calor e de Massa. Ed. LC. 3 a Ed.199. [3] OZRIKIDIS, C.. Fluid Dynamics - heory, Computation, and Numerical Simulation. Kluwer Academic ublishers [4] AANKAR, Suhas V.. Numerical Heat ransfer and Fluid Flow. Hemisphere ublishing Company

7 7. Anexo: Algoritmo do rograma