Transferência de Calor

Transcrição

1 Transferência de Calor Escoamento Sobre uma Placa Plana Filipe Fernandes de Paula Departamento de Engenharia de Produção e Mecânica Faculdade de Engenharia Universidade Federal de Juiz de Fora Engenharia Mecânica 1/34

2 Introdução 2/34

3 Introdução No escoamento externo, a camada limite cresce livremente, não sendo limitada por superfícies adjacentes; Sempre apresentando uma região em que gradientes de velocidade e temperaturas podem ser ignorados. O estudo de escoamentos externos será limitado a problemas de convecção forçada, sem mudança de fase e baixa velocidade; Como visto anteriormente, o coeficientes de convecção podem ser obtidos por equações da seguinte forma: Nu x = f (x, Re x, Pr) (1) Nu x = f (Re x, Pr) (2) O estudo de convecção recai em obter essas funções. 2/34

4 Introdução Existem duas abordagem para se oter as funções 1 e 2: Método experimental - Envolve fazer experimentos de transferência de calor em condições controladas em laboratórios, e relacionando os dados obtidos com os parâmetros adimensionais; Método teórico - É baseada na resolução das equações da camada limite vistas anteriormente; 3/34

5 Método Empírico 4/34

6 Método Empírico Para encontrar a correlação de troca de calor por convecção de uma determinada geometria, pode-se realizar experimentos da seguinte forma: Aquecer eletricamente o objeto até uma temperatura Ts > T ; Medir Ts e T ; Medir a potência elétrica do aquecedor (E I 2 ). Pode-se então, calcular o número de Nusselt, Reynolds e Prandtl. 4/34

7 Método Empírico Então, varia-se as condições do experimento; Mudando a velocidade, comprimento característico e utilizando diferentes fluidos; Isso resultaria em muitos valores de Nu correspondendo a intervalos de Re e Pr, que podem ser plotados. Os dados obtidos podem ser representados por uma expressão algébrica da seguinte forma: Nu L = CRe m L Pr n (3) 5/34

8 Método Empírico Como os parâmetros C, m e n da equação 3 são independentes da natureza do fluido, pode-se plotar os resultados em termos de Nu L /Pr n, o que gera uma única reta; Os coeficientes C, m e n variam com a geometria da superfície e natureza do escoamento. 6/34

9 Método Empírico É impĺıcito que as propriedade do fluido são consideradas constantes ao longo do escoamento; No entanto, as propriedades variam com a temperatura através da camada limite; Existem duas formas de abordar esse problema: As propriedade do fluido são avaliadas em uma temperatura média, chamada de temperatura de filme (T f ); T f = T s + T 2 As propriedade do fluido são avaliadas na própria temperatura do fluido (T ), e um parâmetro adicional é multiplicado na equação 3. Esse parâmetro, constantemente, é da forma ( ) r ( ) r Pr µ (4) Pr s µ s 7/34

10 A Placa Plana em Escoamento Paralelo 8/34

11 Introduc a o 8/34

12 Introdução 9/34

13 Introdução Apesar de simples, escoamento paralelo sobre uma placa plana, ocorre em várias aplicações de engenharia; Nessa geometria, escoamento laminar começa na ponta da placa (x = 0), ocorrendo transição para turbulento em um ponto x c quando Reynolds crítico Re x,c ( ) é atingido; 10/34

14 Escoamento Laminar Sobre Uma Placa Isotérmica 11/34

15 Escoamento Laminar Sobre Uma Placa Isotérmica Os parâmetros de convecção podem ser obtidos através da resolução das equações da camada limite: Equação da continuidade: u x + v y = 0 (5) Equação do momento: Equação da energia: u u x + v v y = v 2 v y 2 (6) u T x + v T y = 2 T y 2 (7) É assumido escoamento permanente, incompressível, laminar, propriedades constantes, dissipação viscosa negligenciável e dp/dx = 0; 11/34

16 Solução Hidrodinâmica A solução hidrodinâmica é obtida através do método de Blausius; Definindo uma função ψ tal que, u = ψ y v = ψ x Novas variáveis dependente e independente podem ser definas como: f (η) = ψ u νx u η = y u νx Essas substuições simplificam a equação diferencial parcial 6 transformando-a em uma equação diferencial ordinária. 12/34

17 Solução Hidrodinâmica Utilizando as substituições de variáveis feitas, a EDP 6 transforma-se em: 2 3 f η 3 + f 2 f η 2 = 0 Condições de contorno: u(x, 0) = v(x, 0) = 0 u(x, ) = u Condições de contorno para as variáveis de similaridade: f f η = f (0) = 0 η=0 η = 1 η= 13/34

18 Solução Hidrodinâmica 14/34

19 Solução Hidrodinâmica Assumindo que a espessura da camada limite hidrodinâmica δ é tal que u/u = 0, 99, a solução hidrodinâmica fornece: δ = 5x Rex (8) C f,x = 0, 664 Rex (9) 15/34

20 Solução Térmica Conhecendo as condições da camada limite de velocidade, a equação da energia 7 pode ser resolvida; Introduzindo a temperatura adimensional, T = (T T s) (T T s ) E assumindo T = T (η), a equação da energia torna-se: 2 T η 2 + Pr 2 f T η = 0 (10) Pode-se notar a dependência das condições hidrodinâmicas com o aparecimento da variável f. Com as seguintes condições de contorno: T (0) = 0 T ( ) = 1 16/34

21 Solução Térmica Sabendo que, Nu x = T y y =0 Com a solução da equação 10 em conjunto com a equação 11, é possível encontrar a seguinte relação: (11) Nu x = h xl k f = 0, 332Re 1/2 x Pr 1/3 Pr 0, 6 (12) Também segue da solução de 10 que, δ δ t = Pr 1/3 (13) 17/34

22 Parâmetros Médios O coeficientes de fricção pode ser calculado pelas como se segue: C f,x = τ s,x ρu 2 /2 (14) τ s,x = 1 L x Para obter o coeficiente de fricção, utiliza-se: C f,x = 0 τ s,x dx (15) 1, 328 Rex (16) 18/34

23 Parâmetros Médios O número de Nusselt médio pode ser obtidos pelas seguintes relações: Nu x = h xl k f (17) h x = 1 L x 0 h x dx (18) Para obter o número de Nusselt médio utiliza-se a seguinte relação: Nu x = 0, 664Re 1/2 x Pr 1/3 Pr 0, 6 (19) Para escoamento laminar em toda placa, o termo x pode ser substituido por L e as equações 16 e 19 podem ser utilizadas para calcular condições médias em toda placa. 19/34

24 Metais Líquidos São fluidos com baixo número de Prandtl; Para esses fluidos, a equação 12 não é válida; Pode-se utilizar a seguinte formulação: Nu x = 0, 564Pe 1/2 x Pr 0, 05, Pe x 100 (20) Onde Pex é o número de Peclet e é dado por Pe x = Re x Pr (21) 20/34

25 Relação Abrangente Para qualquer número de Prandtl, pode-se utilizar a seguinte formulação: Nu x = 0, 3387Re1/2 x Pr 1/3 [1 + (0, 0468) 2/3 ] 1/4 Pe x 100 (22) É aplicável para qualquer número de Prandtl; O número de Nusselt médio pode ser calculado por: Nu x = 2Nu x (23) 21/34

26 Observação Todas as propriedades do fluido utilizadas nas equações acima, devem ser avaliadas na temperatura de filme. T f = T s T 2 (24) 22/34

27 Escoamento Turbulento Sobre Uma Placa Isotérmica 23/34

28 Escoamento Turbulento Sobre Uma Placa Isotérmica Nao é possível obter soluções anaĺıticas para as equações da camada limite turbulenta; Utilizando o método experimental, a seguinte correlação foi obtida para escoamento turbulento, Nu x = 0, 0296Re 4/5 x Pr 1/3 (25) { 0, 6 Pr 60 Re x,c Re L /34

29 Escoamento Turbulento Sobre Uma Placa Isotérmica O número de Nusselt médio pode ser determinado por: Nu L = 0, 037Re 4/5 L Pr 1/3 (26) { 0, 6 Pr 60 Re x,c Re L /34

30 Condições de Camada Limite Mista 25/34

31 Condições de Camada Limite Mista Quando a transição de laminar para turbulendo ocorre em uma posição x c da placa, o coeficiente convectivo é influenciado pelas duas parcelas; Nessa situação pode-se calcular o coeficiente médio de convecção toda placa: Obtendo-se, h L = 1 ( xc h lam dx + L 0 L x c ) h turb dx (27) Nu L = (0, 037Re 4/5 L 0, 037Re 4/5 x,c + 0, 664Re 1/2 x,c )Pr 1/3 (28) { 0, 6 Pr 60 Re x,c Re L /34

32 Condições de Camada Limite Mista Para um Reynolds crítico Re x,c = A = 871, Nu L = (0, 037Re 4/5 L 871)Pr 1/3 (29) { 0, 6 Pr 60 Re x,c Re L /34

33 Placa Plana Com Fluxo de Calor Constante 27/34

34 Placa Plana Com Fluxo de Calor Constante Uma superfície pode ser submetida a um fluxo constante de calor constante; 27/34

35 Placa Plana Com Fluxo de Calor Constante Para um escoamento laminar tem-se: Nu x = 0, 453Re 1/2 x Pr 1/3 Pr 0, 6 (30) Enquanto para um escoamento turbulento tem-se: Nu x = 0, 0308Re 4/5 x Pr 1/3 Pr 0, 6 (31) A distribuição de temperatura na placa é dada por: T s (x) = T + q s (32) h x 28/34

36 Placa Plana Com Fluxo de Calor Constante Como a taxa de transeferência de calor total é facilmente determinado por q = q s A s, não há necessidade de calcular h x ; No entnato, pode-se determinar a temperatura média da superfície T s, (T s T ) = q s L (33) knu L NuL pode ser obtido através da equação 30: Nu L = 0, 680Re 1/2 x Pr 1/3 Pr 0, 6 (34) Pode-se usar qualquer equação para NuL com boa aproximação para encontrar (T s T ). 29/34

37 Exemplos 30/34

38 Metodologia Para Resolução de Problemas 1. Identifique a geometria do problema; 2. Especifique a temperatura de referência e avalie as propriedades do fluido nessa temperatura; 3. Calcule o número de Reynolds e número de Prandtl; 4. Selecione a equação correta. 30/34

39 Exemplo Exemplo 1 - Ar, a uma pressão de 6kN/m 2 e a uma temperatura de 300 C, escoa com uma velocidade de 10 m/s sobre uma placa plana com 0,5 m de comprimento. Determine a taxa de resfriamento, por unidade de largura da placa, necessária para mantê-la com uma temperatura superficial de 27 C. As propriedades k, Pr, c p e µ podem ser assumidas como constante em relação à pressão; Mas, a viscosidade cinemática ν = µ/ρ varia com a pressão devido à sua dependência da densidade. 31/34

40 Exemplo 32/34

41 Exemplo (7.25, 7.22) Exemplo 2 - Considere condições climáticas nas quais os ventos dominantes sopram ao longo de um prédio elevado. O comprimento do prédio na direção do vento é de 10 m e existem 10 janelas nesta lateral. (a) Calcule o coeficiente convectivo médio para a primeira, a terceira e a décima janelas quando a velocidade do vento é de 5m/s. Use uma temperatura do filme de 300K para avaliar as propriedades termofísicas necessárias na correlação. 33/34

42 Exemplo (7.8) Exemplo 3 - Uma placa plana, com largura de 1m, é mantida a uma temperatura superficial uniforme de T s = 150 C pelo uso de módulos retangulares geradores de calor, com espessura a = 10mm e comprimento b = 50mm, que são controlados independentemente. Cada módulo encontra-se isolado de seus vizinhos, bem como em sua superfície inferior. Ar atmosférico a 25 C escoa sobre a superfície da placa a uma velocidade de 30m/s. As propriedades termofísicas dos módulos são k = 5, 2W /(m K), c p = 320J/(kg K) e ρ = 2300kg/m 3. (a) Determine a geração de energia necessária ( q), em um módulo posicionado a uma distância de 700 mm da aresta frontal; (b) Determine a temperatura máxima T max neste módulo de geração. 34/34