ALVARO ANTONIO OCHOA VILLA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA PÓS-GRADUAÇÃO. DOUTORADO EM ENERGIA. ANÁLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA ALVARO ANTONIO OCHOA VILLA

2 Análise Dimensional e Semelhança Equações com maior complexidade e de soluções difíceis deveriam ser utilizadas para representar os fenômenos de forma completa; Alternativa a essas soluções complexas: basear-se em resultados experimentais; A história do desenvolvimento da mecânica dos fluidos sempre dependeu, em grande parte, dos resultados experimentais (escoamentos reais tem solução analítica complexa); Método: o escoamento real (complexo) é aproximado por um modelo matemático mais simples, o qual leva à solução;

3 Análise Dimensional e Semelhança O trabalho experimental em laboratório é demorado e caro. Portanto, o objetivo é obter o máximo de informações com um mínimo de experiências, ou seja, minimizar os experimentos realizados em laboratório; A análise dimensional permite a correlação de dados para a apresentação sucinta do fenômeno estudado, usando o menor número possível de gráficos; A análise dimensional também é necessária e utilizada em estudos de semelhança dinâmica.

4 Análise Dimensional e Semelhança É necessário o conhecimento das dimensões e unidades das Grandezas Físicas Os fenômenos em Mecânica dos Fluidos dependem de maneira complexa dos parâmetros geométricos e de escoamento

5 Análise Dimensional As unidades são expressas utilizando apenas quatro grandezas básicas ou categorias fundamentais: - massa[m]; - comprimento[l]; - tempo[t] e - temperatura[ ] As quatro grandezas básicas representam as dimensões primárias que podem ser usadas para representar qualquer outra grandeza;

6 Análise Dimensional É um meio para simplificação de um problema físico empregando a homogeneidade dimensional para reduzir o número das variáveis de análise; A análise dimensional é particularmente útil para: Apresentar e interpretar dados experimentais; Resolver problemas difíceis de estudar com solução analítica; Estabelecer a importância relativa de um determinado fenômeno; Modelagem física.

7 Dimensões de Grandezas Derivadas: Grandeza Símbolo Dimensão Geometria Área A L 2 Volume V L 3 Cinemática Velocidade U LT -1 Velocidade Angular ω T -1 Vazão Q L 3 T -1 Fluxo de massa m MT -1 Dinâmica Força F MLT -2 Torque T ML 2 T -2 Energia E ML 2 T -2 Potência P ML 2 T -3 Propriedades dos Fluidos Pressão p ML -1 T -2 Densidade ρ ML -3 Viscosidade µ ML -1 T -1 Viscosidade Cinemática v L 2 T -1 Tensão superficial σ MT -2 Condutividade Térmica k MLT -3 θ Calor Específico C p,c v L 2 T -2 θ -1

8 Análise Dimensional Uma grandeza ou grupo de grandezas físicas tem uma dimensão que é representada por uma relação das grandezas primárias; Se esta relação é unitária, o grupo é denominado adimensional, isto é, sem dimensão; Um exemplo de grupo adimensional é o número de Reynolds: 3 1 [ ML ][. LT ][. L] 1 [ ML T ] ρvd Re x = = 1 µ = 1

9 Análise Dimensional Como o número de grupos adimensionais é relativamente menor que o número de variáveis físicas, há uma grande redução de esforço experimental para estabelecer a relação entre algumas variáveis; A relação entre dois números adimensionais é dada por uma função entre eles com uma única curva relacionandoos; Pode-se afirmar que os grupos adimensionais produzem melhor aproximação do fenômeno do que as próprias variáveis;

10 Semelhança Restringindo as condições dos experimentos é possível obter dados de diferentes condições geométricas mas que levam ao mesmo ponto na curva; Isto é, experimentos de diferentes escalas apresentam os mesmos valores para os grupos adimensionais a eles pertinentes; Nessas condições os experimentos apresentam semelhança dinâmica;

11 IMPORTÂNCIA Problemas em Engenharia (principalmente na área de Térmica e Fluidos) dificilmente são resolvidos aplicando-se exclusivamente análise teórica; Utilizam-se com freqüência estudos experimentais; O trabalho experimental, geralmente, é feito com o próprio equipamento ou com réplicas exatas; Porém, a maior parte das aplicações em Engenharia são realizadas utilizando-se modelos em escala.

12 SEMELHANÇA Semelhança é, em geral, uma indicação de que dois fenômenos têm um mesmo comportamento; Por exemplo: é possível afirmar que há semelhança entre um edifício e sua maquete (semelhança geométrica) Na Mecânica dos Fluidos o termo semelhança indica a relação entre dois escoamentos de diferentes dimensões, mas com semelhança geométrica entre seus contornos;

13 SEMELHANÇA Geralmente o escoamento de maiores dimensões é denominado escala natural ou protótipo; O escoamento de menor escala é denominado de modelo; Modelo reduzido do Brennand Plaza, no Recife, ensaiado no túnel de vento. Medidas de pressões devidas ao vento na superfície externa do edifício. Escala do modelo: 1/285

14 VANTAGENS Utilização de Modelos em escala: Vantagens econômicas (tempo e dinheiro); Podem ser utilizados fluidos diferentes dos fluidos de trabalho; Os resultados podem ser extrapolados; Podem ser utilizados modelos reduzidos ou expandidos (dependendo da conveniência);

15 VANTAGENS Para realizar o estudo de comparação de semelhança entre o modelo e a realidade, é necessário que os conjuntos sejam fisicamente semelhantes; SEMELHANÇA FÍSICA envolve uma variedade de tipos de semelhança: Semelhança Geométrica Semelhança Cinemática Semelhança Dinâmica

16 Semelhança Geométrica Semelhança de forma; A propriedade característica dos sistemas geometricamente semelhantes é que a razão entre qualquer comprimento no modelo e o seu comprimento correspondente é constante; Esta razão é conhecida como fator de escala;

17 Semelhança Cinemática Quando dois fluxos de diferentes escalas geométricas tem o mesmo formato de linhas de corrente; É a semelhança do movimento;

18 Semelhança Dinâmica É a semelhança das forças; Dois sistemas são dinamicamente semelhantes quando os valores absolutos das forças, em pontos equivalentes dos dois sistemas, estão numa razão fixa;

19 Semelhança Dinâmica Forças devido à diferenças de Pressão; Forças resultantes da ação da viscosidade; Forças devido à tensão superficial; Forças elásticas; Forças de inércia; Forças devido à atração gravitacional.

20 Exemplos de estudos em modelos Ensaios em túneis aero e Hidrodinâmico; Escoamento em condutos; Estruturas hidráulicas livres; Resistência ao avanço de embarcações; Máquinas hidráulicas;

21 Grupo adimensionais São extremamente importantes na correlação de dados experimentais; Em razão das múltiplas aplicações dos grupos adimensionais nos estudos de modelos e aplicações de semelhança dinâmica, vários grupos foram criados nas diversas áreas que compõem os Fenômenos de Transporte

22 Grupo adimensionais Número de Reynolds; Número de Froude; Número de Euler; Número de Mach; Número de Weber; Número de Nusselt; Número de Prandtl;

23 Grupo adimensionais Re L = ρvl µ Número de Reynolds: Relação entre Forças de Inércia e Forças Viscosas; Um número de Reynolds crítico diferencia os regimes de escoamento laminar e turbulento em condutos na camada limite ou ao redor de corpos submersos;

24 Grupo adimensionais Fr = V gl Número de Froude: Relação entre Forças de Inércia e Peso (forças de gravidade); Aplica-se aos fenômenos que envolvem a superfície livre do fluido; É útil nos cálculos de ressalto hidráulico, no projeto de estruturas hidráulicas e no projeto de navios;

25 Grupo adimensionais Eu = ρ p V 2 Número de Euler: Relação entre Forças de Pressão e as Forças de Inércia; Tem extensa aplicação nos estudos das máquinas hidráulicas e nos estudos aerodinâmicos

26 Número de Mach: Grupo adimensionais Ma = Relação entre Forças de Inércia e Forças Elásticas; É uma medida da relação entre a energia cinética do escoamento e a energia interna do fluido; É o parâmetro mais importante quando as velocidades são próximas ou superiores à do som; V C

27 Grupos Adimensionais We = V Lρ σ Número de Weber: Relação entre Forças de Inércia e Forças de Tensão Superficial; É importante no estudo das interfaces gás-líquido ou líquido-líquido e também onde essas interfaces estão em contato com um contorno sólido;

28 Grupos Adimensionais Nu = hl K Número de Nusselt: Relação entre fluxo de calor por convecção e o fluxo de calor por condução no próprio fluido; É um dos principais grupos adimensionais nos estudos de transmissão de calor por convecção

29 Grupos Adimensionais Pr = υ α Número de Prandtl: Relação entre a difusão de quantidade de movimento e difusão de quantidade de calor; É outro grupo adimensional importante nos estudos de transmissão de calor por convecção;

30 Teorema de Buckingham ou dos Enunciado da relação entre uma função expressa em termos de parâmetros dimensionais e uma função correlata expressa em termos de parâmetros adimensionais

31 Teorema de Buckingham ou dos 1º PASSO: Determinar o número de grandezas que influenciam o fenômeno - n n=5 2º PASSO: Escrevemos a equação dimensional de cada uma das grandezas. [F] = F [V] = L x T -1 [ ] = F x L -4 x T 2 [µ] = F x L -2 x T [D] = L

32 Teorema de Buckingham ou dos 3º PASSO: Determinamos o número de grandezas fundamentais envolvidas no fenômeno - K. K = 3 4º PASSO: Determinamos o número de caracterizam o fenômeno m. números adimensionais que m = n - K m = 2

33 Teorema de Buckingham ou dos 5º PASSO: Estabelecemos a base dos números adimensionais. Definição de base; É um conjunto de K variáveis independentes comuns aos adimensionais a serem determinados, com exceção dos seus expoentes. Variáveis independentes; São aquelas que apresentam as suas equações dimensionais diferentes entre si de pelo menos uma grandeza fundamental. Para o exemplo, temos: F, V,, D ou F, V, µ, D como variáveis independentes. e µ como variáveis dependentes

34 Teorema de Buckingham ou dos 6º PASSO : Escrevemos os números adimensionais, multiplicando a base adotada por cada uma das variáveis que restaram na função característica após a sua retirada. 1 = 1. V 2. D 3. F 2 = 1. V 2. D 3. µ Para obtermos os expoentes da base, substituímos cada uma das variáveis por sua respectiva equação dimensional, inclusive o número adimensional. Finalmente verifica-se que os grupos se encontrem sem dimensão, ou seja, dimensão igual 1.

35 Exemplos

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38 Figura 1

39 Para assegurar a semelhança dinâmica!!! As condições do teste com o modelo devem reproduzir este Número de Reynolds:

40 Esta velocidade é baixa o suficiente para desprezar os efeitos de compressibilidade. Nestas condições, os escoamentos de modelo e protótipo são dinamicamente semelhantes. Portanto,