FENÔMENOS DE TRANSPORTE

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1 Universidade Federal Fluminense Escola de Engenharia Disciplina: FENÔMENOS DE TRANSPORTE Aula 8 Análise Dimensional e Semelhança Prof.: Gabriel Nascimento (Dep. de Eng. Agrícola e Meio Ambiente) Elson Nascimento (Dep. de Eng. Civil)

2 Aula 8 Análise Dimensional e Semelhança Parâmetros Adimensionais Análise Dimensional Semelhança

3 Métodos para solução de problemas com fluidos: Métodos Analíticos (eq. integrais e diferenciais) Métodos Numéricos (modelos computacionais) Métodos Experimentais (análise dimensional e semelhança)

4 Parâmetros Adimensionais

5 Definição: É a relação entre as forças de inércia e as forças viscosas atuando num fluido: v L v L Re v onde: - massa específica; v - velocidade; L - comprimento do corpo; - viscosidade dinâmica; e - viscosidade cinemática.

6 Escoamento Laminar X Turbulento

7 Escoamento Laminar X Turbulento Características do escoamento laminar: Predominância dos esforços viscosos As partículas movem-se ao longo de trajetórias bem definidas, em lâminas Características do escoamento turbulento: Irregularidade Difusividade Reynolds elevado Flutuação tridimensional de vorticidade Dissipação de energia Continuidade

8 Escoamento interno (ex.: tubulação) TURBULENTO Re 4000 TRANSITÓRIO 2000 LAMINAR

9 Escoamento externo (ex.: cilindro) Representação gráfica Valor de Re Mín. Máx. Descrição 1-5 Sem descolamento das linhas de corrente Par permanente de recirculações Esteira laminar e periódica Transição para turbulência na esteira Esteira totalmente turbulenta ,5.106 Camada limite turbulenta com esteira estreita e sem vórtices aparentes 6 3, Resurgimento da esteira turbulenta com vórtices observada do regime 4, porém com camada limite turbulenta e esteira mais estreita (Lienhard, 1966)

10 Definição: É a relação entre a força de arrasto do escoamento em torno de corpos imersos e a força dinâmica. C D 1 2 F D U 2 A onde: F D força de arrasto - massa específica U velocidade média A área de referência: Área frontal: esferas, cilindros, carros, mísseis, projéteis e torpedos Área planificada: aerofólios (asas) e hidrofólios Área molhada: superfícies de navios e barcaças em contato com a água Acesso em 27/05/2015.

11 C A = C A,press + C A,atr C A,press : Coeficiente de arrasto de pressão. Arrasto causado pela diferença entre a pressão na região frontal de estagnação e na região traseira descolada C A,atr : Coeficiente de arrasto de atrito. Integral da tensão cisalhante (viscosa) ao longo da superfície do corpo Obs.: Em cilindros, C A,atr é apenas 3% do total. Este valor aumenta para corpos mais compridos.

12 C D 1 2 F D U 2 Exemplo: Arrasto sobre uma esfera A F D C D 1 2 U 2 A Acesso em 28/05/2015.

13 Exemplo 1: [PETROBRAS ENG. PETRÓLEO JÚNIOR ] Um fluido de densidade d = 1,0x10 3 kg/m³ e velocidade V = 10 m/s passa ao redor de uma esfera de raio R = 0,10 m. Calcule a ordem de grandeza da força dinâmica que o fluido exerce sobre a esfera em N. Acesso em 28/05/2015.

14 Efeito da rugosidade (esfera)

15 Efeito da rugosidade (esfera) Disponível em: < Acesso em 27 jun

16 Efeito da rugosidade Disponível em: Acesso em 06/03/2016.

17 Aplicações: automobilismo White (2011) Disponível em : Acesso em 01/12/2015.

18 Aplicações: esportes

19 Aplicações

20 Aplicações

21 Definição: É a relação entre a força de sustentação do escoamento em torno de corpos imersos e a força dinâmica. C L 1 2 F L U 2 A onde: F D força de sustentação - massa específica U velocidade média A área de referência Fonte: Acesso em 01/06/2015

22 C L 1 2 F L U 2 A F L C L 1 2 U 2 A Exemplo: Asa de avião Acesso em 27/05/2015.

23 Definição: É a relação entre a velocidade do escoamento e a velocidade de propagação do som no fluido em questão. onde: Ma V a V velocidade do escoamento; a velocidade da propagação do som.

24 Número de Mach: Indica a condição de escoamento em que o fluido pode ser considerado incompressível: Ma 1 Ma a V 0.3

25 Número de Mach: < 1 : Escoamento subsônico = 1 : Barreira do som > 1 : Escoamento supersônico

26 Definição: É a relação entre a energia cinética e a energia potencial gravitacional. Aplicável em escoamentos onde há superfície livre (ex.: canais abertos). Fr V gh onde: V velocidade do escoamento; h altura da lâmina d água. Fr < 1 : Escoamento fluvial Fr = 1 : Escoamento crítico Fr > 1 : Escoamento torrencial

27 Exemplo: Fr V gh onde: V velocidade do escoamento; h altura da lâmina d água. Acesso em 27/05/ Acesso em 27/05/2015.

28 Definição: É a relação entre forças de pressão e de inércia. Também chamado de coeficiente de pressão C p. onde: Eu = p = 1 2 ρv2 p p ρv2 p pressão local; p 0 pressão de referência; e V velocidade média do escoamento.

29 Análise Dimensional

30 Seja um fenômeno que envolve n variáveis dimensionais u i onde: f u, u2,..., 0 u 1 n Redução de um número de variáveis dimensionais (n) a um número menor (k) de variáveis (grupos) adimensionais i :,..., 0, 1 2 k

31 f u, u2,..., 0,..., 0 u 1 n, 1 2 k Teorema de Buckingham Pi: Número de grupos adimensionais necessário para substituir as variáveis da equação original: k n, onde r é o número mínimo de dimensões de referência necessário para descrever as grandezas G. r Ex.: - MLT (r=4) - FLT (r=4) - MLT (r=3) -...

32 f u, u2,..., 0,..., 0 u 1 n Teorema de Buckingham Pi:, 1 2 k Número de grupos adimensionais necessário para substituir as variáveis da equação original: k n r Secionando r grandezas (G k, G l, G m,...) que não formem um adimensional entre elas (independentes), cada grupo adimensional será formado por: i A G i 1 k G 2 l G 3 m

33 Procedimentos: Listar as variáveis dimensionais envolvidas Expressar cada uma delas em função das dimensões básicas Determinar o número necessário de termos pi Escolher as variáveis independentes para formar os pis Obter os termos pi adimensionais Escolher o termo 1 como o que tem a variável dependente e expressar o resultado como uma relação entre os termos pi:, , k

34 Características da Análise Dimensional: Auxilia na obtenção de uma expressão que correlacione as variáveis envolvidas num determinado fenômeno Reduz a quantidade de repetições necessárias para o experimento Baseia-se na consideração das dimensões (L,M,T,...) das variáveis envolvidas no fenômeno, formando-se grupos admensionais Depende de dados experimentais

35 Exemplo 2: Uma partícula esférica cai lentamente (regime laminar) num fluido viscoso. Admita que o arrasto, F D, é função do diâmetro e da velocidade da partícula (d e V) e da viscosidade,. Determine, através da análise dimensional, qual é a relação entre o arrasto e a velocidade da partícula. Variáveis dimensionais: F d d V μ n = 4 k = n r Π 1 = F d μvd 4 3 = 1 f F d,d,v,μ = 0 ϕ Π 1 =0 Π 1 =K F d =K μ V d

36 Exemplo 3: Considere o escoamento em regime permanente, incompressível de um fluido newtoniano num tubo longo, horizontal e que apresenta parede lisa. Utilize os dados experimentais abaixo para obter uma relação entre a queda de pressão por unidade de comprimento (Δp l ) e as demais variáveis. Dados: O diâmetro interno e comprimento são iguais a 12,6 mm e 1,5 m, respectivamente. O fluido utilizado foi água a 16 C ( = 999 kg/m³ e µ = 1,12x10-3 Pa.s). V (m/s) 0,36 0,59 0,89 1,78 3,39 5,16 7,11 8,76 p (Pa) Dica: Utilize escalas logarítmicas para correlacionar os adimensionais.

37 Exemplo 3:... obter uma relação entre a queda de pressão por unidade de comprimento (Δp l ) e as demais variáveis. Dados: D = 12,6 mm; L = 1,5 m; = 999 kg/m³ e µ = 1,12x10-3 Pa.s). V (m/s) 0,36 0,59 0,89 1,78 3,39 5,16 7,11 8,76 p (Pa) , , , , , , , , Variáveis dimensionais: p l, D, V, ρ, μ n = 5 k = n r 5 3 = 2 f p l, D, V, ρ, μ = 0 ϕ Π 1, Π 2 = 0 Π 1 = φ Π 2 Π 1 = D p l ρ V 2 Π 2 = Re = ρ V D μ

38 Exemplo 3:... obter uma relação entre a queda de pressão por unidade de comprimento (Δp l ) e as demais variáveis. Dados: D = 12,6 mm; L = 1,5 m; = 999 kg/m³ e µ = 1,12x10-3 Pa.s). V (m/s) 0,36 0,59 0,89 1,78 3,39 5,16 7,11 8,76 p (Pa) , , , , , , , , Π 1 = φ Π 2 0,025 Π 1 = D p l ρ V 2 Π 2 = Re = ρ V D μ 1 0,02 0,015 0,01 0,005 y = 0,150 x -0, Π 1 = 0,150 Π 2 0,244 D p l ρ V 2 = 0,150 ρ V D μ 0,244 2

39 Semelhança

40 Modelo: É a reprodução de um sistema físico em condições controladas com o objetivo de se prever o comportamento de uma determinada variável ou característica. Sistema real Modelo reduzido Acesso em 27/05/ Acesso em 27/05/2015

41 O emprego da semelhança torna os resultados experimentais amplamente aplicáveis Modelo Experimental SEMELHANÇA Fenômeno Real

42 Sendo Π i o grupo adimensional correspondente ao protótipo e Π im ao modelo; e Denominando Π 1 como o grupo adimensional que possui a variável a ser medida: Π 2m = Π 2 Π 3m = Π 3 Π km = Π k Π 1 = Π 1m

43 Exemplo 4: Um modelo em escala 1:10 de um avião deve ser ensaiado num túnel de vento pressurizado para determinar o arrasto no protótipo que deve voar a 107 m/s na atmosfera padrão. Para minimizar os efeitos de compressibilidade, a velocidade do ar na seção de teste do túnel de vento é igual a 107 m/s. a) Determine a pressão do ar na seção de teste do túnel. b) Qual é o arrasto no protótipo que corresponde a uma força de 4,45 N medida no modelo? Admita que a temperatura do ar na seção de teste é a padrão. Variáveis dimensionais: F D, L, V, ρ, μ n = 5 k = n r 5 3 = 2 Π 1 = F D 1 2 ρ V 2 L 2 Π 2 = Re = ρ V L μ Para atendar às condições de semelhança: Π 2m = Π 2 ρ m ρ m V m Lm μ m = ρ V L μ ρ m ρ = L Lm =10 = 10ρ p m = 10p = ,3 kpa = 1013 kpa

44 Exemplo 4: Um modelo em escala 1:10 de um avião deve ser ensaiado num túnel de vento pressurizado para determinar o arrasto no protótipo que deve voar a 107 m/s na atmosfera padrão. Para minimizar os efeitos de compressibilidade, a velocidade do ar na seção de teste do túnel de vento é igual a 107 m/s. a) Determine a pressão do ar na seção de teste do túnel. b) Qual é o arrasto no protótipo que corresponde a uma força de 4,45 N medida no modelo? Admita que a temperatura do ar na seção de teste é a padrão. p m = 1013 kpa Variáveis dimensionais: F D, L, V, ρ, μ n = 5 k = n r 5 3 = 2 Π 1 = F D 1 2 ρ V 2 L 2 Π 2 = Re = ρ V L μ Para atendar às condições de semelhança: Π 2m = Π 2 Então: Π 1 = Π 1m F D = F Dm ρ ρ m L Lm F D 1 2 ρ V 2 L 2 = F Dm 1 2 ρ m Vm 2 Lm 2 2 = 4, = 44,5 N

45 Exemplo 5: Um modelo é utilizado para estudar o escoamento de água numa válvula que apresenta seção de alimentação com diâmetro igual a 610 mm. A vazão na válvula é 0,85 m³/s e o fluido utilizado no modelo também é água na mesma temperatura daquela que escoa no protótipo. O diâmetro da seção de alimentação do modelo é igual a 76,2 mm. Determine a vazão da água no modelo para que haja semelhança. Re m = Re ρ m V m Dm μ m = ρ V D μ V m V = D Dm = 13,2 Q m Q = V m Am V A = V m V Dm D 2 = D Dm Dm D 2 = D m D Q m = Q D m D = 0,85 76,2 610 = 0,106 m³/s

46 Aula 8 Análise Dimensional e Semelhança Parâmetros Adimensionais Análise Dimensional Semelhança

47 Bibliografia: MUNSON, Bruce R. Fundamentos da mecânica dos fluidos. 4. ed. São Paulo: Blucher, WHITE, F.M. Mecânica dos Fluidos, McGraw-Hill, Brasil, 7 a Edição, Fox R.W. & Mc Donald A.T. Introdução à Mecânica dos Fluídos. John Wiley and Sons, N.Y., Tradução: LTC Livros Técnicos e Científicos, RJ.

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