Escoamento em uma curva:

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1 Escoamento em uma curva: A vazão de ar nas condições padrões, num duto plano, deve ser determinada pela instalação de tomadas de pressão numa curva. O duto tem 0,3 m de profundidade por 0,1 m de largura. O raio interno da curva é 0,25 m. Se a diferença medida de pressão entre as tomadas for de 40 mm de água, calcule a vazão aproximada, em volume, admitindo que a velocidade é uniforme na curva.

2 A Equação de Bernoulli A integração da Eq. de Euler ao longo d euma linha de corrente A analise de volume de controle diferencial, conduziu a uma Eq. Diferencial, que quando integrada, levou a uma forma da Eq. de Bernoulli. A fim de dar um claro entendimento físico a respeito das restrições aos resultados, uma dedução adicional será apresentada.

3 Dedução com o emprego de coordenadas de linhas de corrente A Eq. de Euler para escoamento permanente ao longo de uma linha de corrente é dada por: Se uma partícula fluida mover-se de uma distancia, ds, ao longo de uma linha de corrente, então:

4 Assim após multiplicar a Eq. anterior por ds, pode-se escrever:

5 Integrando esta equação: Para o caso especial do escoamento incompressível, ρ = constante, a Eq. anterior torna-se a Eq. de Bernoulli.

6 A Eq. de Bernoulli é um instrumento útil porque relaciona as variações de pressão com as de velocidade e elevação ao longo de uma linha de corrente. Ela dá resultados corretos apenas se aplicada a uma situação de escoamento onde todas as 4 restrições são razoáveis.

7 Pressão estática de estagnação e dinâmica A pressão p da Eq. de Bernoulli, é a pressão termodinâmica que comumente é chamada de pressão estática e é bastante difícil de medir numa situação pratica. Foi demonstrado que não há variação de pressão numa direção normal as linhas de corrente retilíneas. Isto torna possível medir a pressão estática num fluido em movimento usando uma tomada de pressão na parede do duto.

8 Se o orifício for perpendicular a parede do tubo e isento de rebarbas, medições precisas da pressão estática poderão ser feitas pela sua conexão a um medidor adequando. A pressão estática pode ser medida também pelo emprego cuidadoso de uma sonda de pressão. Esta deve ser projetada de modo que os orifícios medidores sejam colocados corretamente com relação à ponta e à haste da sonda. A seção medidora deve ser alinhada coma direção do escoamento local.

9 As sondas de pressão encontram-se disponíveis no comercio em tamanhos tão pequenos quanto 1,5 mm de diâmetro. A pressão de estagnação é obtida quando um fluido em movimento é desacelerado até velocidade zero por meio de um processo sem atrito. No escoamento incompressível a Eq. de Bernoulli pode ser usada para relacionar estas pressões, desprezando diferenças de elevação. Se a pressão estática for p, com velocidade V, a pressão de estagnação p 0 (onde a vel. de estagnação V 0 =0) seria:

10 A Eq. anterior é um anunciado matemático da definição de pressão de estagnação valido para escoamento incompressível. O termo ½ ρv 2 é geralmente chamado de pressão dinâmica.

11 A pressão de estagnação é medida no laboratório usando-se uma sonda com um orifício que fica voltado diretamente para a montante, conforme mostrado na figura. Esse instrumento é chamado de sonda de pressão ou tubo de Pitot. A seção de medição deve ficar alinhada com a direção do escoamento local.

12 Duas possíveis configurações experimentais são mostradas: As figuras mostram a medição simultânea das pressões estática e de estagnação. O Tubo de Pitot estático também é conhecido como Tubo Prandtl.

13 Tubo de Pitot Um tubo de Pitot inserido num escoamento de ar (P atm =715mmHg e T 0 =16 C) a fim de medir a velocidade. O tubo é introduzido de forma que aponta para montante e a pressão sentida pela sonda é a de estagnação. A pressão estática é medida no mesmo ponto do escoamento pelo emprego de uma tomada de pressão na parede. Se a diferença de pressão é de 30 mm de Hg, determine a velocidade de escoamento.

14 Livro texto: P2 - Introdução a Mecânica dos Fluidos R. Fox Cap 3: Escoamentos incompressíveis de fluidos não viscosos. - Introdução às ciências Térmicas - Schimidt, F.W., Cap 4. Escoamento interno e externo - Mecânica dos Fluidos Franco Brunetti

15 Resolução P1 1A. Responder verdadeiro (V) ou falso (F) nos seguintes enunciados: (10 ptos) a) Quando o escoamento é tanto sem atrito como rotacional a equação da quantidade de movimento se reduz a equação de Euler. (F) b) Um escoamento de fluido inicialmente irrotacional pode se tornar rotacional se existirem gradientes de entropia causados por ondas de choques curvas. (V) c) A viscosidade cinemática resulta da relação da viscosidade dinâmica e o volume específico. (F) d) Eq. da viscosidade foi analisada por I. Newton que supôs uma película de lubrificante entre duas laminas, umas das quais é fixa. (V) e) Para o ar em condições padrões, um escoamento pode ser considerado incompressível se a velocidade for menor que cerca de 100 km/h (F)

16 1B. Responder verdadeiro (V) ou falso (F) nos seguintes enunciados: (10 ptos) a) È possível classificar os escoamentos como: permanente ou não permanente, não viscoso ou viscoso, incompressível ou compressível, gás ou liquido. (V) b) Se considera fluxo hipersônico para um N de Mach igual ou acima de 3. (F) c) As abordagens básicas para as analise de problemas de escoamento podem ser: de grande escala, de pequena escala e escala intermédia. (F) d) A equação básica da quantidade de movimento, trata de uma equação vetorial de 8 termos. (F) e) A condição de irrotacionalidade é valida para um escoamento nas quais as forças viscosas são desprezíveis. (V)

17 2A. Responder as seguintes perguntas (20 ptos) Quais são as restrições da Equação de Bernoulli? 1. Escoamento permanente uma hipótese comum, aplicável a muitos escoamentos. 2. Escoamento incompressível aceitável, se o número de Mach do escoamento for menor que 0,3. 3. Escoamento sem atrito muito restritiva, as paredes solidas introduzem efeitos de atrito. 4. Escoamento ao longo de uma linha de corrente linhas de corrente diferentes podem ter diferentes constantes de Bernoulli w0 = p/ρ + V2/2 + gz, dependendo das condições do escoamento. 5. Ausência de trabalho de eixo entre 1 e 2 sem bombas ou turbinas sobre a linha de corrente. 6. Ausência de troca de calor entre 1 e 2 seja calor adicionado, seja calor removido.

18 2B. Responder as seguintes perguntas (20 ptos) Explicar brevemente o fenômeno de cavitação em bombas hidráulicas. CAVITAÇÃO

19 3A e B. Resolver o exercício. (20 ptos) Se z é para cima, quais são as condições sobre as constantes a e b para que o campo de velocidades u = ay, v = bx, w = 0 seja uma solução exata das equações da continuidade e de Navier-Stokes para escoamento incompressível?. O fluxo é irrotacional?.

20 4A. Resolver o exercício. (20 ptos) Considere a turbina extraindo energia através de um conduto forçado em uma barragem, como na figura. Para escoamento turbulento em dutos, a perda de carga por atrito é aproximadamente h f = CQ 2, onde a constante C depende das dimensões do conduto forçado e das propriedades da água. Mostre que para uma dada geometria de conduto forçado e vazão variável Q do rio, a máxima potencia possível da turbina nesse caso é P max = 2ρgHQ/3 e ocorre quando a vazão é Q = [H/(3C)] 1/2.

21 4B. Resolver o exercício. (20 ptos) A bomba da figura cria um jato de água a 20 C, orientado para atingir uma distância horizontal máxima. As perdas por atrito do sistema são de 6,5 m. O jato pode ser aproximado pela trajetória de partículas sem atrito. Qual potencia a bomba deve entregar?

22 5A e B Resolver o exercício. (30 ptos) O acessório horizontal Y da figura, divide em partes iguais a vazão de água a 20 C. Se Q1 = 142 l/s, P1 = 172,4 kpa (manométrica) e as perdas são desprezadas, calcule (a) P2, (b) P3 e (c) o vetor força necessário para manter o Y no lugar.