Mecânica dos Fluidos Formulário

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1 Fluxo volúmétrico através da superfície Mecânica dos Fluidos Formulário Fluxo mássico através da superfície Teorema do transporte de Reynolds Seja uma dada propriedade intensiva (qtd de por unidade de massa) e uma dada propriedade extensiva: Forma Integral Forças exercidas por fluidos sobre corpos rígidos forças mássicas forças de superfície As forças de superfície podem-se dividir em: Balanço de: Massa pressão tensão de corte Dividindo em (paredes) e (aberturas), tal que (e desprezando tensões de corte nas aberturas: M. Linear velocidade do fluido observada no mesmo referencial (inercial) em que a velocidade do é observada velocidade relativa do fluido à superfície do M. Angular Momento angular: Força que o fluido exerce sobre o quando o atravessa Força total aplicada no ( ) massa no interior do De fluido, descontando a massa 1ª Lei da Termodinâmica para Momentos de força (relativamente a um dado ponto) que o fluido exerce sobre as paredes do ( ) ( ) energia interna específica trabalho fornecido directamente ao, pela fronteira, através de shafts trabalho causado pelas forças de pressão na superfície do trabalho originado devido às tensões de corte de origem viscosa na superfície do Máquinas rotativas:

2 Assim: ( ) ( ) ( ) ( ) Para sistemas abertos, com entradas e saídas: ( ) [( ) ] Velocidade média Equação de Bernoulli Equação de Bernoulli para um escoamento não estacionário de um fluído invíscido (sem viscosidade), ao longo de uma linha de corrente: Factor Correctivo para o balanço de: Qtd de Movimento: Energia: ( ) Análise de Tensões No caso do escoamento ser estacionário e incompressível: O balanço de energia pode ser usado para generalizar a Lei de Bernoulli: 1º índice: face onde está aplicada a força 2º índice: componente da força matriz das tensões simétrica tensão normal No caso de um uma saída: unidimensional, com apenas uma entrada e ( ) Pressão Total aceleração total do fluido aceleração da gravidade Estática de Fluídos Com o fluído em repouso: Válido apenas para um fluído invíscido e incompressível! Fluido incompressível Nunca usar escoamento compressível! para um A pressão de um fluido em repouso depende apenas da cota vertical (a pressão é a mesma em todos os pontos no mesmo plano horizontal)

3 Linha de corrente: curva tangente em todos os ptos ao vector velocidade, num dado instante (não existe escoamento na direcção perpendicuar a uma linha de corrente) Forma Diferencial Trajectória: lugar geométrico dos pontos ocupados previamente por uma dada partícula Derivada material ( ) Equação da Continuidade (coordenadas cartesianas) ( ) Escoamento estacionário: Equação da Continuidade (coordenadas cilíndricas) Escoamento estacionário: Escoamento incompressível: Escoamento incompressível: Equações de Navier-Stokes (para fluidos Newtonianos) Em coordenadas cartesianas: Fluido Newtoniano Em coordenadas cilíndricas: [ ] [ ] [ ] Condições de fronteira e hipóteses simplificativas: parede impermeável: Parede impermeável imóvel: Escoamento estacionário: derivadas temporais nulas Condição de não escorregamento: junto à parede Hipótese de fluído completamente desenvolvido: o perfil de velocidades não varia na direcção do escoamento Fluido invíscido: Interface líquido/gás equação da sup. Livre Se for desprezável: Trocas de calor: Escoamento axissimétrico (em relação ao eixo ): (por esta condição, não é necessáriamente nula)

4 Equações de Euler Para um fluído invíscido: Fluidos não-newtonianos Campo de acelerações de um fluido ( ) ( ) Equação da energia ( ) [ ] Para um fluído com,,, e : Função de Corrente Quando apenas temos dois termos na eq. da continuidade, podemos aplicar o conceito de Função de Corrente. Curvatura das linhas de corrente Escoamento bidimensional, estacionário de um fluído incompressível: Vorticidade Não há curvatura das linhas de corrente (secção A-B): a pressão estática em A é igual à pressão estática em B, pelo que as linhas de corrente são paralelas emas às outras. Há curvatura das linhas de corrrente (secção D-E): a pressão estática em E é menor que a pressão estática em D, pelo que as linhas de corrente são curvadas. Tensão de corte em coordenadas cilíndricas [ ] Velocidade angular em coordenadas cilíndricas

5 Análise Dimensional Quantidades físicas caracterísiticas do escoamento: Velocidade de referência: Comprimento de referência: Equação da Continuidade adimensionalizada [ ] Raio: Nota: Equação de Navier-Stokes adimensionalizada [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Tabela de quantidades adimensionais Tabela de Unidades Condição de Semelhança entre o Protótipo e o Modelo Condição de semelhança completa: o modelo e o protótipo são completamente semelhantes se tiverem todos os números adimensionais relevantes para o problema iguais Condição de semelhança cinemática: Escoamento invíscido com uma superfície livre: Condição de semelhança dinâmica: Escoamento compressível: Escoamento incompressível sem superfície livre: Escoamento incompressível com superfície livre: e, se necessário

6 Fluido Perfeito: Viscosidade nula A condição de fronteira não pode ser usada em fluido perfeito! Escoamento Potencial / de Fluido Perfeito Escoamento Irrotacional ou Potencial potencial de velocidade Equação de Bernoulli para escoamento de um fluido perfeito em regime estacionário / permanente para escoamento isentrópico (ao longo de uma linha de corrente): Se o escoamento, além de irrotacional for incompressível: Qualquer escoamento irrotacional manter-se-á irrotacional (excepto se for modificado por efeitos de viscosidade) para escoamento incompressível (ao longo de uma linha de corrente): Nota: a constante pode ser diferente de linha de corrente para linha de corrente Escoamento Irrotacional e Incompressível a 2D Potencial complexo Escoamentos Elementares a 2D Fonte e Poço função de corrente Coordenadas cartesianas Caudal por unidade de comprimento: Velocidade complexa Coordenadas polares complexo conjugado da velocidade complexa Fonte / Poço centrado em Velocidade do escoamento Vórtice Escoamento em torno de um diedro, constantes ângulo do diedro Vórtice centrado em Velocidade do escoamento Velocidade do escoamento Velocidade na origem do referêncial (canto do diedro) Diedro côncavo : Diedro convexo : Para um escoamento em torno de um diedro convexo, em fluido perfeito, a velocidade no canto é infinita! Dipolo Escoamento uniforme com e ângulo Equações De Euler Como fluido perfeito (viscosidade nula), este tipo de escoamento obdece às equações de Euler: ângulo do dipolo distância entre a fonte e o poço

7 Método de Rankine Os ângulos de intersecção entre duas ou mais linhas de corrente têm que ser todos iguais! Pontos de Estagnação { { Linha de Estagnação (3) Se o cilindro tiver raio Simplificações de camada limite: Camada Limite Equação de Von-kárman Gradiente de pressão nulo (BLASIUS): Nunca usar a Lei de Bernoulli dentro de uma camada límite! (viscosidade não nula) Tensão de corte na parede: Lei de Bernoulli (fora da camada limite): Solução de BLASIUS (camada limite laminar + gradiente de pressão nulo) Das equações de Navier Stokes: Condições de fronteira: Hipótese de Blasius (hipótese de semelhança): Altura adimensional Velocidade adimensional Caudal para escoamento invíscido Caudal de qtd. de movimento para escoamento invíscido Caudal para escoamento real Caudal de qtd. de movimento para escoamento real Tensão de corte na parede Força de resistência aerodinâmica

8 Défice de caudal Caudal de qtd. de movimento numa secção da camada limite Força de resistência aerodinamica devido às tensões de corte na parede espessura da placa Défice de quantidade de movimento Factor de forma Espessura da camada limite Perfil de Velocidades da Solução de Blasius Coeficiente de resistência de atrito Coeficiente de resistência aerodinâmica Gradiente de pressão Favorável Desfavorável Condições de fronteira da camada limite No ponto de separação da camada limite:

9 Estado Termodinâmico Para se definir o estado de equilíbrio de um sistem atermodinâmico simples (uma só fase), só precisamos de saber o valor de duas variáveis de estado (pressão e temperatura, p.ex.). Equação de Estado (Gás Perfeito) Escoamento Compressível Unidimensional Permanente 1ª Lei da Termodinâmica 2ª Lei da Termodinâmica Gás Perfeito Energia interna específica: Entalpia específica: Processo: adiabático: reversível: adiabático+reversível = = isentrópico: Entropia (se e forem Processo isentrópico Velocidade do som Escoamento estacionário: adiabático: Entropia de Estagnação Definição Entalpia que se obtém após uma desaceleração isentrópica do fluido até ao estado de repouso Temperatura de Estagnação Para gás perfeito: isentrópico: Ponto Crítico Valores para os quais o escomanento se realiza em condições sónicas. Escoamento isentrópico com variação de área Garganta Condições sónicas apenas podem ocorrer numa garganta! (mas não é necessário que aconteçam)

10 Relações Isentrópicas [ ] [ ] Caudal Mássico em função do nº de Mach Nunca usar para um escoamento compressível! Equação de Rankine-Hugoniot Ondas de Choque Normais Para ocorrer uma onda de choque é necessário termos condições sónicas na garganta! ( ) Variação de entropia numa onda de choque [ ] Numa onda de choque tem-se sempre um aumento de pressão! Através de uma onda de choque: Relação entre os nºs de Mach Equação de Prandtl Antes de uma onda de choque temos sempre escoamento supersónico Depois de uma onda de choque temos sempre escoamento subsónico

11 Caudal mássico Localização da onda de choque Funcionamento de uma tubeira convergente Regime subsónico Regime sónico Finalmente: Funcionamento de uma tubeira Convergente/Divergente Em escoamento isentrópico, a pressão de estagnação permanece constante ao longo do escoamento (só podendo diminuir através de uma onda de choque) área da secção imediatamente antes da onda de choque Escoamento supersónico à saída: condições críticas na garganta

12 Matemática Gradiente de um campo escalar Coordenadas cartesianas Coordenadas cilíndricas Divergência de um campo vectorial Coordenadas cartesianas Coordenadas cilíndricas Diferencial exacto Coordenadas cartesianas Rotacional de um campo vectorial Coordenadas cartesianas Circulação Circulação da velocidade ao longo de uma curva fechada: Se a curva raio : for uma circunferência de Teorema da Divergência (permite passar de um integral duplo para um integral triplo e vice-versa) ( ) Teorema de Stokes (permite passar de um integral duplo para um integral de circulação e viceversa) ( ) Funções Trigonométricas Propriedades Propriedades