Mecânica dos Fluidos I

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1 Mecânica dos Fluidos I Revisão dos primeiros capítulos (Setembro Outubro de 2008) EXERCÍCIO 1 Um êmbolo de diâmetro D 1 move-se verticalmente num recipiente circular de diâmetro D 2 com água, como representado na figura 1. Num dado instante, a velocidade vertical do êmbolo é V 1 (sendo V 1 > 0 quando o êmbolo sobe e V 1 < 0 quando desce). O escoamento é incompressível. O objectivo deste exercício é treinar os balanços integrais num problema relativamente simples, por isso responda com pormenor, identificando bem o volume de controlo e as várias regiões da sua fronteira, a normal exterior unitária, etc., sem recorrer à intuição. Figura 1: Êmbolo com movimento vertical num recipiente com água. 1. Calcule a velocidade vertical média da superfície livre no instante em que a velocidade vertical do êmbolo é V 1. Sugestão: na primeira análise, considere que a superfície livre da água é horizontal; depois, verifique que essa hipótese não é necessária. 2. A velocidade da água depende da aceleração do êmbolo? 3. Um desvio do eixo do êmbolo em relação ao eixo do recipiente altera o resultado? EXERCÍCIO 2 As barragens que se seguram por atrito no terreno designam-se por barragens de gravidade. A barragem de gravidade esquematicamente representada na parte esquerda da figura 2 está cheia até à cota 50 m.

2 2 Figura 2: À esquerda, esquema em corte de uma barragem de gravidade. À direita, esquema da mesma barragem com infiltrações na base, até à extremidade de jusante (ponto B), onde a barragem é estanque. A secção da barragem tem a forma aproximada de um trapézio de 52 m de altura, 100 m na base e 5 m no coroamento. A barragem é constituída por um enrocamento cuja massa volúmica média é 2500 kg/m 3. O coeficiente de atrito 1 médio nas fundações é λ = 0, Calcule as componentes horizontal e vertical da força exercida pela água da albufeira sobre a parede da barragem, por unidade de largura. Considere que a barragem é impermeável, tal como o solo e as fundações da barragem. 2. Verifique que a barragem é estável nas condições da alínea anterior para coeficientes de atrito nas fundações superiores a λ = 0, As fundações da barragem não são totalmente estanques e vão-se saturando de água, conforme o esquema simbólico na parte direita da figura 2. Em contrapartida, mercê de um erro de projecto ou de construção, a barragem é completamente estanque na zona B. Verifique se o atrito na base é suficiente para a barragem não escorregar. Considere que a base AB do paredão está cheia de água à pressão hidrostática da albufeira. 4. Calcule o ponto da base AB onde passa a força resultante, com e sem infiltração na base. Sugestão: Calcule o momento resultante sobre o ponto A. Esta alínea é mais trabalhosa que as anteriores. EXERCÍCIO 3 O depósito de água representado na figura 3 tem dimensões suficientes para se poder considerar que a água está totalmente parada, excepto 1 Recordatória de Física: o coeficiente de atrito estático, λ, entre duas superfícies é a razão entre a força tangencial necessária para elas começarem a escorregar e a força normal de contacto entre elas. Por outras palavras, dada uma força normal f n, não há escorregamento enquanto a força tangencial não atingir (λ f n ).

3 3 junto de um tubo de saída (B na figura 3). O escoamento é estacionário e os efeitos viscosos são praticamente desprezáveis. O tubo de saída está ligado ao depósito à distância h 1 = 0, 3 m da superfície livre. A parte vertical do tubo tem uma altura h 2 = 0, 2 m. A superfície livre está aberta para a atmosfera e a extremidade inferior do tubo descarrega para a atmosfera. Admita que a pressão atmosférica é uniforme. Figura 3: Reservatório e tubo de descarga. 1. Calcule a velocidade de saída da água (D na figura 3). 2. Indique a pressão da água nos pontos (A, B, C e D na figura 3). O ponto A está à mesma cota dos pontos B e C. 3. Considere que o tubo de saída tem um raio R D e que o jacto de água não se mistura com o ar, mantendo uma forma aproximadamente cilíndrica de raio R(y) desde a saída (D na figura 3) até uma distância grande abaixo da saída. Determine o raio R(y) do jacto descendente, em função da cota y medida a partir de D. EXERCÍCIO 4 Considere um canal horizontal de largura constante l e fundo horizontal. O escoamento é estacionário, bidimensional e incompressível (massa volúmica da água ρ = kg/m 3 ). A profundidade a montante é h 1 = 5 m e a velocidade é horizontal. Na parte superior dessa zona, o perfil da componente longitudinal da velocidade é uniforme U 1 = 0, 2 m/s e varia linearmente entre o chão e uma altura δ = 1 m do chão. Em determinada secção do canal existe um relevo de altura H = 4, 345 m, que é galgado pela água, como se mostra na figura 4. Verifica-se que a água acelera ao passar por cima desse obstáculo e forma uma lâmina líquida de profundidade h 2 = 9, 2 cm à saída, com uma distribuição de velocidade praticamente uniforme, U Determine o caudal volúmico escoado por unidade de largura.

4 4 2. Calcule a força horizontal, por unidade de largura l, que a água exerce sobre o obstáculo. Indique correctamente o sentido dessa componente. Figura 4: Canal de largura constante com elevação de altura H. Nota: pode considerar que a pressão da água é hidrostática nas secções de profundidade h 1 e h 2. Na proximidade do obstáculo, nas zonas onde as linhas de corrente são curvas, a pressão não é hidrostática.

5 5 Apontamentos de solução dos exercícios SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 1 Pode fazer-se o balanço de massa num domínio fixo, Ω, coincidente com o espaço ocupado pelo líquido (cf. figura 5): Ω ρ t Γ dω + ρ (v n) dγ = 0, em que ρ é a massa volúmica da água, v é a velocidade da água, Γ é a fronteira de Ω e n é a normal exterior unitária em Γ. Como o escoamento é incompressível, a massa volúmica da água não varia, ρ/ t = 0, e o integral de volume é zero. Por uma questão de clareza, podemos dividir a fronteira nas várias partes indicadas na figura 5 e utilizar coordenadas cilíndricas (r, θ, z) centradas no eixo da instalação: v z n z v r n r v θ n θ v n área Γ A V 2 +1? 0? 0 V 2 π (D 2 2 D 2 1)/4 Γ B? 0 0 1? Γ C? 0 0 1? Γ D V 1 +1? 0? 0 V 1 π D 2 1/4 Γ E 0 1? 0? Γ ρ (v n) dγ = ρ ( π D2 2 D V 2 + π D2 1 4 V 1 ) = 0 Para o cálculo de (v n) só interessa a componente da velocidade normal à fronteira: assim, o resultado não pressupõe nenhuma hipótese relativamente às outras componentes da velocidade e, por isso, o facto de muitas vezes não se conhecer o seu valor, que se assinalou na tabela anterior com o símbolo?, não impede de calcular o produto interno (v n). É em virtude da condição de impermeabilidade da superfície sólida do êmbolo que as componentes normais da velocidade do fluido em Γ D são iguais às da superfície inferior do êmbolo. Vale a pena reparar que o balanço efectuado se refere a um determinado instante de tempo, em que Ω coincide com o volume ocupado pela água. No instante seguinte o êmbolo pode ter atravessado Γ D, ou pode ter entrado ar através de Γ A, caso a superfície livre da água tenha descido. Em qualquer destas situações, a massa volúmica teria variado no domínio Ω e o integral de volume não seria nulo. O facto de o balanço se referir a um determinado instante de tempo não retira valor às conclusões, porque é sempre possível escolher o volume fixo Ω adequado.

6 6 Figura 5: Volume de controlo fixo com identificação de cada parte da fronteira. A resposta à primeira alínea é V 2 = V 1 D 2 1/(D 2 2 D 2 1). Se a superfície livre não for horizontal V 2 será a velocidade média da superfície livre. A velocidade da superfície livre não depende da aceleração, mas apenas da velocidade do êmbolo. A posição relativa do êmbolo em relação ao recipiente não é importante para o balanço de massa, desde que não modifique o volume deslocado por unidade de tempo. SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 2 Nas condições da primeira alínea, o peso da barragem e a força vertical da água totalizam 7, N/m (6, N/m devido ao peso do enrocamento e 1, N/m devido à componente vertical da força exercida pela água sobre a parede de montante). A força horizontal da água sobre a barragem é 1, N/m. Portanto, o coeficiente de atrito limite para a água não deslocar a barragem é λ = 0, 157. Havendo infiltração por baixo, a força horizontal da água sobre a barragem mantém-se, mas a força resultante vertical diminui em 4, N/m. O peso da barragem e a força da água totalizam agora uma força vertical de apenas 2, N/m. Só com um coeficiente de atrito λ 0, 421 é que a barragem não começaria a deslizar pelo vale abaixo. As barragens costumam ter drenagem na base, para evitar este tipo de acidente. Sem infiltrações, a componente horizontal da força da água, 1, (N/m), produz um momento 2, (N/m)m em relação a A; a componente vertical da força da água, 1, (N/m), produz um momento 1, (N/m)m em relação a A; o peso do paredão, 6, (N/m), produz um momento 3, (N/m)m em relação a A. A resultante é 7, (N/m) e produz um momento m = 3, (N/m)m. O módulo da componente vertical da

7 7 resultante é f y = 7, (N/m). A resultante cruza a base A, B do paredão à distância m/f y = 47, 631 m de A. Com infiltrações, é preciso acrescentar uma nova força vertical de 4, (N/m), que produz um momento em relação a A de sentido oposto aos anteriores e módulo 2, (N/m)m. A nova resultante é 3, (N/m) e o seu momento m = 1, (N/m)m em relação a A. O módulo da componente vertical da resultante é f y = 2, (N/m). A resultante cruza a base A, B do paredão à distância m/f y = 43, 638 m de A. O módulo da velocidade em D é v D = 2 g (h 1 + h 2 ) = 3, 13 m/s. A pressão relativa à atmosfera nos pontos indicados é p A = +2, Pa, p C = p B = 1, Pa, p D = 0. A pressão no reservatório é hidrostática em quase todo o lado, excepto junto de B; a pressão no troço B, C é inferior à pressão atmosférica. O módulo da velocidade do jacto descendente é v(y) = vd 2 2 g y, sendo y a cota medida a partir da cota de D (por baixo de D, y < 0); o raio do jacto é SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 3 R(y) = R D v D /v(y) = R D [ v 2 D /(v 2 D 2 g y) ] 1/4. SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 4 O caudal volúmico escoado por unidade de largura é q = 0, 9 m 2 /s. A componente horizontal da força exercida pela elevação, por unidade de largura, é 1, N/m (a força exercida pela água sobre a elevação é simétrica, no sentido do escoamento). Repare que não é a elevação que acelera directamente a água (a resultante da força exercida pela elevação é para trás). A água é acelerada pela resultante hidrostática.