Resoluções dos problemas

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1 DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E ARQUITECTURA SECÇÁO DE HIDRÁULICA E RECURSOS HÍDRICOS E AMIENTAIS HIDRÁULICA I Resoluções dos problemas HIDRÁULICA I 1

2 HIDROSTÁTICA PROLEMA.1 O tubo representado na figura está cheio de óleo de densidade igual a 0,85. Determine as pressões nos pontos A e e exprima-as em metros de coluna de água equivalente. 1 RESOLUÇÃO No mesmo fluido é válida a lei geral da hidrostática p + z = cte γ Aplicando esta lei entre os pontos 1 e A, vem: p p p1 pa + z = + z + z1 = + z γ γ γ γ 1 A A p 1 p γ A = z z A 1 0 γ p A =, 5 m (em pressões relativas, p = 0 ) atm 4 4 p =, 5 γ =, 5 0, N m =, N m =, Pa A pa =, Pa (pressões relativas), pa = m =, 5 0, 85 m c. a. =, 15 m c. a pa =, 15 m c. a. Procedendo de modo semelhante entre os pontos 1 e, vem: p p + z = + z γ γ 1 HIDRÁULICA I

3 p1 p p = z z1 = 0, 5 m γ γ p = 0, 5 0, Pa = 4, Pa p = 4, p = 0, 5 0, 85 = 0, 45 m c. a. p = 0, 45 m c. a Pa PROLEMA. Se for injectado gás sob pressão no reservatório representado na figura, a pressão do gás e os níveis dos líquidos variam. Determine a variação de pressão do gás necessária para que o desnível x aumente 5 cm, sabendo que o tubo tem diâmetro constante. RESOLUÇÃO 1) Situação inicial Aplicando a lei geral da hidrostática entre os pontos A e, vem: ( ) p = γ z z sendo A γ = 9800 N m Procedendo de modo análogo entre os ponto C e, vem: pc p + zc = + z 0, 8γ 0, 8γ HIDRÁULICA I

4 pc p p pc = z zc = x p = pc + 0, 8 γ x 0, 8γ 0, 8γ ( ) p = p 0, 8γ x = γ z z 0, 8γ x C A pd pc + zd = + zc 1, 6 1, 6γ p D p C 1, 6γ ( ) = z z p = p + 1, 6γ z z C D D C C D ( ) ( ) p = 1, 6γ z z + γ z z 0, 8γ x D C D A ) Situação final p = γ ( z z + 0, 05) p A p C = x + 0, 05 p = p 0, 8γ ( x + 0, 05) 0, 8γ ( 0, 05) 0, 8 ( 0, 05) p = γ z z + γ x + p C A p C D C = ( z z + 0, 05) p = p + 1, 6γ ( z z + 0, 05) 1, 6γ C D D C C D ( ) ( ) p = 1, 6γ z z + 1, 6γ 0, 05 + γ z z + 0, 05γ 0, 8γ x 0, 8γ 0, 05 D C D A ) Variação de pressão do gás: Final Inicial D D D ( ) p = p p = 1, 6γ 0, , 05γ 0, 8γ 0, 05 = 0, 05γ 1, , 8 = 1, 8 0, 05γ = 676 Pa p = 676 Pa D HIDRÁULICA I 4

5 PROLEMA. Considere o esquema representado na figura, em que existe ar sob pressão acima da superfície D. A comporta ACDE tem 1, 0 m de largura e pode rodar sem atrito em tomo de E. a) Trace os diagramas de pressão na face esquerda da comporta e calcule os valores da pressão nos pontos A,, C, D e E. b) Qual deverá ser a altura de água a jusante, h j, de forma a que se estabeleça o equilíbrio, nas condições da figura, admitindo que o ponto de aplicação do peso da com porta é o ponto C. RESOLUÇÃO a) Diagrama e pressões nos pontos A,, C, D e E. A1 HIDRÁULICA I 5

6 p = 0 P A A1 = 0, 8γ = 554, 7Pa p = 10, 8γ + γ = 147, 4 Pa p = p = 147, 4 Pa C p = p = 147, 4 Pa D p = p + γ = 6, 7 Pa E D b) Cálculo da altura a jusante h j Na presente resolução designa-se por d i o braço da força I i medido em relação ao ponto de rotação E. I d , = 1 = 771, 86 N (diagrama triangular) 1 = 4 + = 4, m I = 554, 7 1= 554, 7 N (base rectangular do diagrama trapezoidal) d =, 5 m I = = 464, 8 N (parte triangular do diagrama trapezoidal) 1 d = + =, m HIDRÁULICA I 6

7 ( ) I4 = 147, 6 1 = 147, 6 N (diagrama rectangular) d4 = 0, 5 m I5 = I4 = 147, 6 N (diagrama rectangular) d5 =, 5 m I6 = 147, 6 = 4946, 7 N (parte rectangular do diagrama trapezoidal) d6 = 1, 0 m I = = 1859, 9 N (parte triangular do diagrama trapezoidal) d I d = = 0, 667 m hj 9800 hj o cos 45 = = 699, 65 hj (diagrama triangular) 1 hj = = 0, 4714 hj cos 45 o o Σ M = 0 I d + I d +... I d G cos 45 I d = 0 ( ) 771, 86 4, + 554, 7, , 8, + 147, 6 0, 5 +, , 7 1, , 9 0, , 65 0, 4714 hj = , , 0 66, 64 hj = 0 66, 64 hj = 8504, 1 N hj =, 60 hj = 1, 76 m hj = 1, 8 m HIDRÁULICA I 7

8 PROLEMA.4 A comporta representada na figura é sustentada pelas barras A espaçadas de 6 m em 6 m. Determinar a força de compressão a que fica sujeita cada barra desprezando o peso da comporta. RESOLUÇÃO Forças γ hc xhc Π h = 6 = = 1058, 4 kn Π = = 5, 8 kn v1 Π = = 5, 8 kn v HIDRÁULICA I 8

9 Pontos de aplicação (braços das forças em relação a C) h 1 = m v1 = 1, 5 m v = 1, 0 m 4 = 6 sen α α = 41, 81 o = 5 cos β β = 5, 1 α + β = 94, 94 o γ = 4, 94 o Equilíbrio de momentos em relação ao ponto C ( ) 1058, 4 + 5, 8 1, 5 + 1, 0 = F cos 4, , 4 = 4, 981F F = 601, 916 kn PROLEMA.5 Na parede C de um reservatório existe uma tampa metálica quadrada de 1 m de lado, conforme se indica na figura. A aresta superior da tampa, de nível, dista m da superfície livre do líquido. Determinar: a) A impulsão total sobre a tampa metálica e as suas componentes horizontal e vertical. b) A posição do centro de impulsão. HIDRÁULICA I 9

10 RESOLUÇÃO a) Cálculo da impulsão e suas componentes: 1º Processo Métodos das Superfícies Planas Profundidade do centro de gravidade da tampa profundidade hg 1 = + =, 5 m Impulsão e suas componentes Π = γ S h = , 55 = 064, 8 N G Π v = Π h = Π cos 45 = 1609, N o º Processo Métodos do Diagrama de Pressões o o ( ) Π = cos cos 45 / = 1609, N v Π h = Π v Π = Π v + Π h = 064, 8 N b) posição do centro de impulsão o o o o 9800 cos 45 cos 45 / cos 45 / cos 45 / x = 1609, , 47 x = = 0, 6 m 1609, x x = = 0, 475 m cos 45 o HIDRÁULICA I 10

11 PROLEMA.6 Um recipiente de forma cúbica, fechado, de 1 m de aresta, contém, até meia altura, um óleo de densidade 0,85, sendo de 7 kpa a pressão do ar na sua parte superior. Determinar: a) A impulsão total sobre uma das faces laterais do recipiente. b) A posição do centro de impulsão na mesma face. RESOLUÇÃO (Método do Diagrama de Pressões) pb = , , 5 = Pa a) Impulsão total numa face Π = , , 5 = 8041, 5 N b) Posição do centro de gravidade (distância ao fundo) ( ) , / 0, 5 0, 5 / y = = 0, 457 m 8041, 5 PROLEMA.7 Qual o peso volúmico mínimo que deverá ter um corpo sólido homogéneo sobre o qual assenta uma membrana de impermeabilização com a forma indicada na figura, para resistir, sem escorregamento, à impulsão da água que sustém? O coeficiente de atrito estático entre os materiais que constituem o corpo e a base onde este assenta é 0,7. HIDRÁULICA I 11

12 Resolução Esquema de forças em jogo: Equilíbrio de forças horizontais e verticais Π h = Π R (sendo R v Π a força de atrito) N = G + Π (sendo N a reacção normal) Π = µ N (sendo µ o coeficiente de atrito) R donde vem: ( ), Π = Π = Π h R v G Efectuando os cálculos por metro de desenvolvimento do corpo, vem: γ h h h Π h = = γ h tg 0 γ h tg 0 Π v = γ h = S G = γ h h tg 0 = γ h tg 0 = γ d h tg 0 S (sendo d a densidade do material do corpo sólido) ( ), Π = Π h v G HIDRÁULICA I 1

13 γ h γ h 0 ( tg + d tg 0) 0, 7 = 1 tg 0 + d 0, 7 = 1 d = 0, 77 γ s = γ d = 74, N m PROLEMA.8 Na parede de um reservatório existe um visor semi-esférico com o peso de 5 kn, ligado à mesma conforme se indica na figura. Calcule as componentes horizontal e vertical da impulsão sobre o visor. Resolução Cálculo da componente vertical da impulsão ( ) v 1 1 Π 1 = γ 1 Π = γ Π = Π Π = γ = peso do volume da semi-esfera 4 π r 4 Π v = γ = 9800 π 0, 5 = 565, 6 N 6 Π = 565, 6 N v HIDRÁULICA I 1

14 Componente horizontal da impulsão Π h = γ Área da projecção do visor h g π Π h = , 5 = 11545, 4 N 4 Π = 11545, 4 N h PROLEMA.9 Uma comporta cilíndrica com m de raio e 10 m de comprimento, prolongada por uma placa plana A, cria num canal um represamento nas condições indicadas na figura. A comporta encontra-se simplesmente apoiada nas extremos do seu eixo em dois pilares. Determinar: a) A componente horizontal da força transmitida a cada pilar quando a comporta está na posição de fechada, admitindo que é nula a reacção em. b) O peso mínimo que deverá ter a comporta para não ser levantada, supondo possível tal Resolução deslocamento e desprezando o atrito. α = 10 o β = 60 o b = sen β = sen 60 = 1, 7 m a = cos 60 = 1m o o a) h = m + 1, 7 m = 4, 7 m Componente horizontal da impulsão (à esquerda): HIDRÁULICA I 14

15 4, 7 Π h = , 7 10 = 1097, kn 1 Idem (à direita): Π = , 5 = 441kN h Componente horizontal da força transmitida a cada pilar Πh Π 1 h F = = 8100 N = 8, 1 kn Área tracejada correspondente ao volume de líquido deslocado por unidade de comprimento da comporta: A = Π 1, 7 1 = 7, 51 m triângulo ab Volume de líquido deslocado: = 10 A = 75, 116 m Impulsão vertical (princípio de Arquimedes) Π = 75, = 76, 1kN v Peso mínimo da comporta: G = Π = 76, 1kN v PROLEMA.10 Considere-se uma comporta de segmento, com 5 m de largura, instalada na descarga de fundo de uma albufeira, nas condições da figura junta. A comporta pode ser manobrada, para abertura, por dois cabos verticais fixados às suas extremidades laterais. Admite-se que os dispositivos de vedação impedem a passagem da água para a zona que se situa superiormente à comporta. Admita que o ponto de aplicação do peso ( G ) da comporta dista m do ponto A. HIDRÁULICA I 15

16 a) Para a comporta de segmento indicada, determinar a.1) As reacções de apoio em A e, supondo esta última vertical. a.) A força F necessária para iniciar o levantamento da comporta. b) Considere o caso de a comporta ser plana em vez de cilíndrica. b.1) Indicar se a força necessária para iniciar o levantamento da comporta aumenta ou diminui em relação à da alínea a.). b.) Calcular o valor dessa força em cada cabo. b.) Indicar se essa força aumenta ou diminui depois de iniciado o movimento de abertura, sabendo que o escoamento a jusante da comporta se faz com superfície livre. Resolução Componente horizontal da impulsão sobre a comporta: Π = γ S h = = 1078 k N h g a = 4 4 cos 0 = 0, 56 m o HIDRÁULICA I 16

17 b = 4 sen0 o = m 0 área da comporta = Π 4 = 4, 189 m / m 60 Volume de água deslocado pela comporta o ( ) 5 4, cos 0 =, 64 m Componente vertical da impulsão: Π v = 9800, , 56 = 98, 155 k N " paralelipípede de pressão" a.1) Reacções de apoio em A e, supondo esta última vertical: Como as pressões na comporta são todas concorrentes em A, não provocam momento. Consequente, o momento resultante do efeito de Π h e de Π v é nulo. Σ M = 0 R 4 cos 0 G = 0 A o, 464 R = N m R = 401, N Σ F v = 0 Π + R G R = 0 v A v = R = N R Av Σ F = 0 Π R = 0 R = N h h A h Ah Av HIDRÁULICA I 17

18 RA v RA h R = N = N = 401N a.) A força necessária para iniciar o movimento da comporta deve provocar um momento em relação ao ponto A igual ao provocado por Consequentemente o 4 F = 4 cos 0 R F = R cos N o R quando a comporta está fechada. Em cada cabo situado numa das extremidades da comporta é necessário exercer uma força F dada por: F b) Comporta plana = N b.1) A componente horizontal da impulsão mantém-se. Como a componente vertical da impulsão diminui no valor correspondente à área tracejada, o valor de F tem que aumentar. Pode chegar-se à mesma conclusão pelo estudo dos momentos em relação a A. O momento em relação a A provocado pelo diagrama de pressões na comporta é não nulo e só pode ser compensado pelo aumento de F. HIDRÁULICA I 18

19 b.) Cálculo da força F ( ) c = cos 0 =, 0705 m Π 1 = , = 1014, 6 kn (pouco interessa porque não provoca momento) 9800, Π = = 101, 5 kn, 0705, , 0705 d = =, , 45 m = = 6 Cálculo de F : Σ M = 0 4 F Π d G = 0 4F = 101, 5 0, F = 46, 5 kn F =, 16 kn b.) Abrindo ligeiramente a comporta, a impulsão diminui por duas razões: a área exposta à acção da pressão da água diminui; o diagrama de pressões deforma-se pelo facto de o bordo inferior da comporta passar a estar à pressão atmosférica. Além disso, o braço da resultante relativamente ao ponto A também diminui pelo facto de desaparecer a base do diagrama de pressões. Consequentemente, o momento provocado pela impulsão diminui e F também. HIDRÁULICA I 19

20 PROLEMA.11 Num canto de um reservatório paralelepipédico encontra-se colocada uma peça com a forma de 1/8 de esfera de raio R. Calcular a impulsão total do líquido sobre esta peça e a inclinação daquela impulsão, sabendo que a altura do líquido no reservatório é h. Resolução Π z = peso do líquido situado acima do 1 8 de esfera γ π R 4 Π z = γ π R h π R h R 4 8 = 4 6 R Π z = γ π h R 4 Π x = Π y = impulsão sobre 1 4 de círculo 4 R h0 = h 0, 44 R = h π π R 4 R Π x = Π y γ h 4 π Componente horizontal da impulsão: R 4 h x y x h γ π R Π = Π + Π = Π = 4 π Impulsão total: HIDRÁULICA I 0

21 γ π R γ π R 4 R Π = Π h + Π y = h R h 4 + = 4 π 4 R γ π R R R h R h h h R R h h γ π R = + = = 4 π 4 9 π 9 π γ π R = h + h R + + R 4 π 9 9 π Ângulo entre a resultante e a recta AO do plano OAC γ π R h R Π 4 α = arc tg = z arc tg Π h γ π R 4 R 4 h π α = arc tg h R 4 R h π PROLEMA.1 Uma esfera homogénea de peso volúmico γ flutua (em equilíbrio) entre dois líquidos de densidades diferentes, de tal maneira que o plano de separação dos líquidos passa pelo centro da esfera, conforme se ilustra na figura. Determinar a relação entre os três pesos volúmicos. HIDRÁULICA I 1

22 Resolução Π v = γ + γ 1 h S Π v = γ1 h S G = γ volume da esfera S área definida pelo respectivo equador + Π = Π γ + γ1 h S = γ + γ1 h S G v v γ + γ1 h S γ 1 = γ + γ 1 h S γ = ( γ 1 + γ ) γ 1 + γ γ = PROLEMA.1 Um camião sobe uma rampa de 10 graus de declive com velocidade constante, transportando líquido, de acordo com o representado na figura. Determinar a máxima aceleração que se pode imprimir ao camião sem que o líquido se entorne. Resolução Sabe-se que ρ f grad p = 0 ρ g a = grad p ( ) A expressão anterior permite afirmar que as isobáricas são perpendiculares ao vector g a ( ) HIDRÁULICA I

23 Nas condições do problema tem-se 1 o 1 = tg 10 b = = 5, 67 m b o tg 10 b 1 A = =, 86 m Imprimindo a aceleração máxima, vem, por igualdade de volumes 1, 1c = A =, 86 m c = 5, 156 m 1, 1 β = arc tg = 1, 04 5, 156 γ = β 10 =, 04 g sen, 04 g sen, 04 = a sen 77, 96 a = = 0, 57 m s sen 77, 96 a = 0, 57 m s ( 90 ) ( 90 1, 04 ) g senγ = a sen β = a sen HIDRÁULICA I

24 PROLEMA.14 Para medir a aceleração de um corpo móvel, usou-se um tubo de vidro ACD de secção uniforme e pequena, parcialmente preenchido com um líquido, com a forma e as dimensões indicadas na figura, onde também se caracteriza a posição do líquido na situação de repouso. O tubo foi fixado ao corpo móvel num plano vertical; o sentido do movimento do corpo é de para C. Desprezando os efeitos da capilaridade e da tensão superficial, qual é a máxima aceleração do corpo que pode ser medida com este dispositivo? Resolução Na situação da máxima aceleração tem-se esquematicamente b 1 α = arc tg = arc tg = arc tg 4b 11 b 11 por outro lado: a a tg α = arc tg g α = g a g = 11 a = g 11 HIDRÁULICA I 4