Mecânica dos Fluidos I

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1 Mecânica dos Fluidos I Aula prática 11 (Semana de 2 a 5 de Dezembro de 2008) EXERCÍCIO 1 A figura 1 representa esquematicamente uma pequena central mini-hídrica com uma conduta de descarga para a atmosfera. A conduta é em aço comercial (rugosidade média ε = 4, m), tem um diâmetro interno d = 0, 3 m e inclui uma válvula de borboleta e duas curvas circulares a 45. O caudal escoado é Q = 0, 106 m 3 /s. Figura 1: Pequena central mini-hídrica. 1. Determine a potência absorvida pela turbina. 2. Determine o valor da pressão à entrada da turbina, relativamente à pressão atmosférica. 3. Represente graficamente de forma qualitativa a evolução da pressão relativa à pressão atmosférica, ao longo do escoamento. Referencie com clareza a pressão nos pontos indicados na figura com os números 1 a Determine o valor da pressão na secção imediatamente a montante da válvula de borboleta quando a válvula se encontra completamente fechada. 5. Calcule o caudal se a turbina embalasse (admita que esta situação é equivalente a retirar completamente a turbina do circuito). Calcule a pressão à entrada da conduta, nesta situação.

2 2 Soluções: Para este diâmetro de tubo, encontraram-se na literatura os seguintes coeficientes de perda de carga (para saber os valores com precisão seria preciso conhecer com mais pormenor as características do equipamento): ligação do depósito ao tubo de entrada k 0 = 0, 5 válvula de borboleta k 1 = 0, 34 cotovelo a 45 k 2 = 0, 2 A potência absorvida pela turbina é 4, W. O coeficiente de atrito é f = 0, As pressões no circuito são: depois da entrada p + 2 = 9, Pa; a queda de pressão na válvula de borboleta é 382 Pa; antes do cotovelo 5 p 5 = 9, Pa; depois do cotovelo 5 p + 5 = 9, Pa; antes do cotovelo 6 p 6 = 3, Pa; depois do cotovelo 6 p + 6 = 3, Pa; (a diferença é 225 Pa); a pressão à entrada da turbina p 7 = 3, Pa; à saída da turbina p 8 = 1, Pa. A pressão a montante da válvula de borboleta, com esta completamente fechada, é 9, Pa, relativamente à pressão atmosférica. Se a turbina embalasse, o caudal seria Q = 0, 786 m 3 /s. Como o número de Reynolds aumentava, o novo coeficiente de atrito seria ligeiramente diferente: f = 0, A pressão à entrada seria p 2 = 6, Pa, relativamente à pressão atmosférica (a pressão absoluta seria cerca de p 2 = +3, Pa). EXERCÍCIO 2 A instalação de distribuição de água representada na figura 2 é constituída por uma tubagem de secção circular, de aço comercial e é alimentada por um reservatório pressurizado cuja pressão, p 0, lida no manómetro diferencial M, é regulável; a cota da superfície livre da água no reservatório mantém-se constante em todas as situações a que se referem as perguntas. Entre A e B existe uma válvula de guilhotina, V 1, parcialmente aberta que, nesta situação, tem um coeficiente de perda de carga k 1 = 5, 2. Nas extremidades dos troços em que a tubagem se bifurca estão instaladas duas válvulas iguais, V 2 e V 3, tendo as suas secções de saída, horizontais, diâmetros iguais a 10 cm, um pouco menores que o do resto da conduta. Imediatamente a montante da válvula V 3 (secção C) existe uma tomada de pressão estática ligada a um manómetro em U, cujo fluido manométrico é mercúrio (massa específica ρ Hg = kg/m 3 ). Com as válvulas V 2 e V 3 fechadas e p 0 = 0, 25 bar, a altura lida no manómetro em U é h 0 = 50 cm. Para determinada pressão p 0, com V 2 fechada e V 3 totalmente aberta, o caudal escoado é Q = 25 l/s e no manómetro em U lê-se h = 40 cm. 1. Determine a pressão em C com V 2 fechada e V 3 totalmente aberta. 2. Calcule o coeficiente de perda de carga na válvula V 3 totalmente aberta,

3 3 Figura 2: Esquema de uma instalação de distribuição de água. As cotas referem-se ao eixo dos tubos e aos diâmetros interiores. referido à energia cinética à saída (diâmetro de 10 cm). 3. Com as válvulas V 2 e V 3 totalmente abertas, abriu-se um pouco mais a válvula V 1, de modo a escoar-se um caudal de 2 l/s no ramo superior. Calcule o caudal que sai do ramo inferior e o novo coeficiente de perda de carga da válvula de guilhotina. Para poder comparar os seus resultados com os da solução apresentada nestas páginas, depois de tirar de tabelas da literatura os coeficientes de perda de carga, certifique-se de que escolheu os mesmos que serviram de base para a solução. Pode haver diferenças, porque há diversos formatos de cotovelos, entradas, entradas, etc. 4. Calcule o caudal escoado através da válvula V 3, com ambas as válvula abertas, para um coeficiente de perda de carga k 1 = 5, 2 na válvula de guilhotina. Esta alínea é mais trabalhosa que as anteriores, porque não é conhecido nenhum caudal é preciso resolver iterativamente um sistema de equações. Como são precisas várias iterações, programe o cálculo no computador, ou faça apenas as primeiras iterações. Soluções: Com V 2 fechada e V 3 totalmente aberta, a pressão em C, relativa à pressão atmosférica, é p c = 3, Pa. Um passo intermédio do cálculo da primeira alínea consistiu em determinar a altura da coluna de água no braço direito do tubo em U com ambas as válvulas fechadas: h = 2, 249 m; e, seguidamente, a altura da coluna de água no braço direito do tubo em U com V 2 fechada e V 3 totalmente aberta: h = 2, 199 m.

4 4 O coeficiente de perda de carga da válvula V 3 é 9,00. Um passo intermédio da segunda alínea foi determinar p D = 8 ρ Q 2 (d 4 D d 4 C)/π 2 = 2, Pa. Admitamos que os tubos são novos e a rugosidade da face interna do tubo é ε = 4, m. Para este diâmetro de tubo, as tabelas usuais da literatura propõem os seguintes coeficientes de perda de carga (para saber os valores com precisão seria preciso conhecer com mais pormenor as características do equipamento): ligação do depósito ao tubo, entrada em A k 0 = 0, 5 válvula de guilhotina V 1, parcialmente aberta bifurcação B, na direcção principal, B, C k 2 = 0, 13 bifurcação B, na direcção do ramal, B, E k 3 = 0, 65 cotovelo E: k 4 = 0, 3 contracções na saída das condutas k 5 0 k 1 = 5, 2 (enunciado) válvulas V 2 e V 3 k 6 = 9 (alínea 2) Sai um caudal Q D = 25, m 3 /s no troço inferior e o novo coeficiente de perda de carga da válvula de guilhotina tem de ser k 1 = 2, 30. Os passos intermédios da terceira alínea foram os seguintes. Com um caudal de 2 l/s no ramo superior, a pressão total à entrada de B tem de ser: P B = (p B ρ v2 A) = 2, Pa. Com essa pressão total à entrada de B, no troço inferior, B, D, atinge-se o caudal: Q D = 25, m 3 /s. Por soma, o caudal no troço comum, A, B, vem: Q A = Q D + Q D = 30, m 3 /s. Para ter este caudal no troço A, B, o novo coeficiente de perda de carga da válvula de guilhotina tem de ser k 1 = 2, 30. Os factores de atrito dos três troços nas condições da alínea 3 são: f AB = 0, 01738, f BD = 0, e f BD = 0, Calculemos agora o caudal pedido na alínea 4. Se o caudal no ramo B, D fosse 25 l/s, o Reynolds seria 2, e o factor de atrito f = 0, A pressão em B, relativa à atmosférica, antes da bifurcação, seria p B = 2, Pa, calculada em relação à pressão de saída a seguir a V 3. Se admitíssemos o mesmo caudal no troço A, B e fizéssemos o cálculo a partir do reservatório, a pressão em B, relativa à atmosférica, antes da bifurcação, seria p B = 2, Pa (difere do cálculo anterior no quarto algarismo, que não apresentámos). Esta estimativa da pressão em B permite obter uma primeira aproximação do caudal no ramal B, D : Q D = 5, m 3 /s. Com esta aproximação, torna-se possível recalcular a pressão em B a partir do depósito. O caudal no troço A, B seria cerca de 30 l/s. O caudal será sem dúvida inferior porque, se com 25 l/s no troço A, B a pressão em B dá origem a um caudal de cerca de 5 l/s em D, um caudal de 30 l/s em A, B implica uma menor pressão em B e, portanto, menos de 5 l/s em D. Conseguimos, assim, enquadrar o caudal que sai do depósito: 25 < Q A < 30 l/s. Por tentativas, podemos calcular os caudais:

5 5 Q A p B Q D Q D (Q D + Q D ) 0,025 m 3 /s 2, Pa 0,025 m 3 /s 0,0052 m 3 /s 0,0302 m 3 /s 0,030 m 3 /s 1, Pa 0,022 m 3 /s 0,027 m 3 /s 2, Pa 0,024 m 3 /s 0,026 m 3 /s 2, Pa 0,0245 m 3 /s 0,0018 m 3 /s 0,0262 m 3 /s 0,0261 m 3 /s 2, Pa 0,0244 m 3 /s 0,0008 m 3 /s 0,0252 m 3 /s 0,02602 m 3 /s 2, Pa 0,0245 m 3 /s 0,0016 m 3 /s 0,0261 m 3 /s Repare-se que, sendo os caudais superior e inferior tão diferentes, é preciso calcular o factor de atrito para cada troço, porque embora os diâmetros sejam iguais, os números de Reynolds são substancialmente diferentes. Os resultados numéricos convergidos são Q A = 0, m 3 /s, Q D = 0, m 3 /s e Q D = 0, m 3 /s; os coeficientes de atrito dos três troços são f AB = 0, 01759, f BD = 0, e f BD = 0, Naturalmente, dadas as incertezas dos dados, só os primeiros algarismos são significativos. A conclusão é que o caudal do ramal superior seria comparativamente muito pequeno ( 1, 5 l/s) em relação ao caudal do ramal inferior ( 24, 5 l/s). A tabela acima também mostra que a resposta à alínea 4 depende pouco do caudal escoado no ramal superior, pelo que não se exigiria uma convergência tão grande das iterações para determinar Q D. EXERCÍCIO 3 A figura 3 representa esquematicamente algumas linhas de corrente de uma expansão que une duas tubagens de diâmetro diferente, d 1 e d 2. Figura 3: Esquema de união de duas tubagens de diâmetro diferente. 1. Calcule o coeficiente de perda de carga desta união, baseado na velocidade da secção mais pequena, admitindo as seguintes simplificações do escoamento: (a) o escoamento está desenvolvido na secção 1 e a velocidade média constitui uma boa aproximação da velocidade;

6 6 (b) o fluido vindo da secção 1 descarrega em jacto na expansão, A, à pressão estática nessa zona; (c) a pressão estática realtiva à hidrostática local não varia entre a expansão A e a secção 2, em que o escoamento já está, de novo, desenvolvido; (d) a velocidade média em 2 constitui uma boa aproximação da velocidade nessa secção. 2. Vê-se, na figura 3, que as linhas de corrente do jacto central vão alargando desde a secção A até à secção 2 e, portanto, pode haver alguma recuperação de pressão estática entre estas duas secções. Admitindo o seguinte modelo simplificado do escoamento, recalcule o coeficiente de perda de carga da expansão brusca, baseado na velocidade da secção mais pequena: (a) tal como no modelo anterior, o escoamento está desenvolvido na secção 1 e a velocidade média constitui uma boa aproximação da velocidade; (b) e o fluido vindo da secção 1 descarrega em jacto na expansão, A, à pressão estática nessa zona; (c) tal como no modelo anterior, na zona central da secção A as linhas de corrente são rectilíneas e paralelas e na região periférica da secção A a velocidade é muito baixa, de modo que a pressão estática relativa à hidrostática local é praticamente uniforme na secção A; (d) também, tal como no modelo anterior, o escoamento já está desenvolvido na secção 2 e a velocidade média em 2 constitui uma boa aproximação da velocidade nessa secção; (e) a diferença em relação à situação anterior é que a pressão estática varia entre a expansão A e a secção 2; (f) para estimar essa diferença de pressão, admita que a distância entre as secções A e 2 é curta e que as tensões de corte na parede são baixas, de modo que a força resultante (tensão integrada na área) é quase nula, entre as duas secções. Soluções: O coeficiente de perda de carga resultante das primeiras hipóteses é k I = 1 ( ) 4 d1. Um balanço de força de quantidade de movimento na direcção longitudinal, entre as secções A e 2 mostra que: p REL 2 p REL 1 = ρ v 2 (v 1 v 2 ). Introduzindo esta diferença de pressão estática relativa à hidrostática local na equação de Bernoulli, obtém-se k II = [ 1 (d 1 /d 2 ) 2] 2. No primeiro modelo do escoamento dissipa-se toda a diferença entre as pressões dinâmicas entre as secções A e 2: a pressão estática mantém-se e a diferença de d 2

7 7 pressões dinâmicas é equilibrada pela perda de carga. No segundo modelo dissipa-se um pouco menos de energia, porque parte da energia cinética se converte em energia de pressão. A figura 4 compara os coeficientes de perda de carga que se obtêm com os dois modelos, em função da relação de diâmetros. A segunda estimativa é a mais próxima do valor experimental a números de Reynolds elevados. Figura 4: Coeficiente de perda de carga numa expansão brusca.